1、第2章 自動控制系統的數學模型 2.1 控制系統的微分方程 2.2 控制系統的傳遞函數 2.3 方塊圖2.4 控制系統的信號流圖 數學模型：系統的輸入/輸出時間函數描述物理模型物理模型任何元件或系統實際上都是很復雜的，難以任何元件或系統實際上都是很復雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統稱為該元件或系統的物理模型。簡化是化后的元件或系統稱為該元件或系統的物理模型。簡化是有條件的，要根據問題的性質和求解的精確要求來確定出有條件的，要根據問題的性質和求解的精確要求來確定出合理的物理模型合理的物理模型。數學模型數

2、學模型物理模型的數學描述。是指描述系統輸入、物理模型的數學描述。是指描述系統輸入、輸出以及內部各變量之間動態關系的數學表達式。輸出以及內部各變量之間動態關系的數學表達式。數學建模數學建模從實際系統中抽象出系統數學模型的過程。從實際系統中抽象出系統數學模型的過程。建立物理系統數學模型的方法 機理分析法機理分析法 對系統各部分的運動機理進行對系統各部分的運動機理進行分析，按分析，按 照它們遵循的物理規律、化學規律列照它們遵循的物理規律、化學規律列出各物理量之間的數學表達式出各物理量之間的數學表達式,建立起系統的數建立起系統的數學模型。學模型。 實驗辯識法實驗辯識法 對系統施加某種測試信號（如對系統

3、施加某種測試信號（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本輸出響應階躍、脈沖、正弦等），記錄基本輸出響應（時間響應、頻率響應），估算系統的傳遞函（時間響應、頻率響應），估算系統的傳遞函數。數。機理分析法建立系統數學模型的步驟機理分析法建立系統數學模型的步驟確定系統的輸入量、輸出量；確定系統的輸入量、輸出量；根據物理定律列寫原始方程；根據物理定律列寫原始方程；消去中間變量，寫出表示系統輸入、消去中間變量，寫出表示系統輸入、輸出關系的線性常微分方程。輸出關系的線性常微分方程。2.1 控制系統的微分方程 2.1.1 機械系統 2.1.2 電路系統 2.1.3 機電系統1 質量、彈簧、阻尼器系統 。假設壁摩擦

4、為粘性摩擦，試建立系統的微分方程。22dd( )ddyyr tbkyMtt2.1.1 機械系統22dd( )ddyyMbkyr ttt2 設有一倒立擺安裝在帶有電動機的驅動車上，控制力作用于小車上，假設擺桿的重心位于其幾何中心，試求這個系統的微分方程。 2.1.1 機械系統 簡化物理模型 列寫控制系統各部分的微分方程 在平衡點附近線性化 22d(sin )dmxHt22d( cos )dmVmgt22ddxMuHt 各部分的微分方程：sincosIVH線性化的方程：IVH()m xH0Vmg 系統的微分方程：()Mm xmu2()Imm xmg 2.1.1 機械系統1由電阻、電感和電容組成的無

5、源網絡如圖所示，試列寫以為輸入量，為輸出量的網絡微分方程。 id ( )1( )d( )( )di tLi ttRi tu ttCo1( )( )du ti ttC消去中間變量 ，可得該無源網絡的微分方程為( )i t2oooi2d( )d( )( )( )ddu tu tLCRCu tu ttt2.1.2 電路系統2 一有源電路如圖所示，試求其輸出電壓與輸入電壓之間的關系。 123iii0uui11uuiRo2d()duuiCto32uuiRooi21dduuuCtRR有源網絡的微分方程為 2.1.2 電路系統1直流電動機，控制電壓可以作用于激磁磁場，也可以作用于電樞兩端。 f fk i1a

6、1 f fa( )( ) ( )Mki tk k i t i t2.1.3 機電系統電樞控制式直流電動機 ：磁場控制式直流電動機 ：2.1.3 機電系統)()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaamemaaaa)()()()(21tMKtuKtdttdTcam)()(tutCae電樞控制式直流電動機微分方程 為2.1.3 機電系統磁場控制式直流電動機微分方程為 22( )( )( )( )( )( )ffffmfcffcdtdtL JL fR JR ftk utdtdtdMtLR Mtdt22( )( )( )( )ffffmfdtdtL JL fR JR ftk utdtdt2.1.3 機電系統2試列寫下圖所示的速度控制系統以轉速為輸出量，給定電壓為輸入量的微分方程。 2.1.3 機電系統速度控制系統的微分方程為 ccigigmM