1、第二編 函數與基本初等函數2.1 2.1 函數及其表示函數及其表示 要點梳理要點梳理1.1.函數的基本概念函數的基本概念 （1 1）函數定義）函數定義 設設A A，B B是非空的是非空的 ，如果按照某種確定的對應，如果按照某種確定的對應 關系關系f f, ,使對于集合使對于集合A A中的中的 一個數一個數x x, ,在集合在集合B B中中數集數集任意任意基礎知識基礎知識 自主學習自主學習都有都有 的數的數f f( (x x) )和它對應，那么就稱和它對應，那么就稱f f: :A AB B為為 從集合從集合A A到集合到集合B B的一個函數，記作的一個函數，記作y y= =f f( (x x),

2、),x xA A. .(2)(2)函數的定義域、值域函數的定義域、值域在函數在函數y y= =f f( (x x),),x xA A中，中，x x叫做自變量叫做自變量, ,x x的取值范圍的取值范圍A A 叫做函數的叫做函數的 ；與；與x x的值相對應的的值相對應的y y值叫做函數值叫做函數值，函數值的集合值，函數值的集合 f f( (x x)|)|x xA A 叫做函數的叫做函數的 . .顯顯然，值域是集合然，值域是集合B B的子集的子集. .(3)(3)函數的三要素：函數的三要素： 、 和和 . .(4)(4)相等函數：如果兩個函數的相等函數：如果兩個函數的 和和 完完全一致，則這兩個函數

3、相等，這是判斷兩函數相等的全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據依據. . 唯一確定唯一確定定義域定義域值域值域定義域定義域值域值域對應關系對應關系定義域定義域對應關系對應關系2.2.函數的表示法函數的表示法表示函數的常用方法有：表示函數的常用方法有： 、 、 . .3.3.映射的概念映射的概念設設A A、B B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f f， 使對于集合使對于集合A A中的任意一個元素中的任意一個元素x x, ,在集合在集合B B中中 確定的元素確定的元素y y與之對應，那么就稱對應與之對應，那么就稱對應f f：A AB B為為 從

4、集合從集合A A到集合到集合B B的一個映射的一個映射. .4.4.由映射的定義可以看出，映射是由映射的定義可以看出，映射是 概念的推廣，函概念的推廣，函 數是一種特殊的映射，要注意構成函數的兩個集合數是一種特殊的映射，要注意構成函數的兩個集合A A, , B B必須是必須是 . . 解析法解析法圖象法圖象法列表法列表法都有唯都有唯一一函數函數非空數集非空數集基礎自測基礎自測1.1.設集合設集合MM=x x|0|0 x x22，N N=y y|0|0y y22，那么下面，那么下面 的的4 4個圖形中，能表示集合個圖形中，能表示集合MM到集合到集合N N的函數關系的的函數關系的 有有 ( ) (

5、 ) A.A. B. B. C.C. D.D.解析解析 由映射的定義，要求函數在定義域上都有圖由映射的定義，要求函數在定義域上都有圖象，并且一個象，并且一個x x對應著一個對應著一個y y，據此排除，據此排除，選，選C.C.C2.2.給出四個命題：給出四個命題：函數是其定義域到值域的映射；函數是其定義域到值域的映射；f f（x x）= = 是函數；是函數；函數函數y y=2=2x x（x xN N）的圖象）的圖象是一條直線；是一條直線；f f（x x）= = 與與g g( (x x)=)=x x是同一個函數是同一個函數. .其中正確的有其中正確的有（）A.1A.1個個 B.2B.2個個 C.3

6、C.3個個 D.4D.4個個解析解析 由函數的定義知由函數的定義知正確正確. .滿足滿足f f（x x）= = 的的x x不存在，不存在，不正確不正確. .又又y y=2=2x x（x xN N) )的圖象是一條直線上的一群孤立的的圖象是一條直線上的一群孤立的 點，點，不正確不正確. . 又又f f（x x）與）與g g（x x）的定義域不同，）的定義域不同，也不正確也不正確. . xx23xx2Axx233.3.下列各組函數是同一函數的是下列各組函數是同一函數的是 ( )( )xyxxxyxyxxyxxxxyxyyxxy與與與與1.12| 1|.1,11, 1| 1|.1|.23DCBA解析

7、解析 排除排除A A； 排除排除B B；當當 即即x x11時時, ,y y=|=|x x|+|+|x x-1|=2-1|=2x x-1,-1,排除排除C C. .故選故選D D. . 答案答案 D , 0, 1, 0, 1|xxxxy, 1,1, 1, 1| 1|xxxxxy, 01, 0 xx4.4.函數函數 的定義域為的定義域為 . .解析解析 若使該函數有意義，則有若使該函數有意義，則有x x-1-1且且x x2,2,其定義域為其定義域為 x x| |x x-1-1且且x x2.2. xxy211 x x| |x x-1-1且且x x22,0201xx5.5.已知已知f f（ ）= =

8、x x2 2+5+5x x, ,則則f f( (x x)=)= . . 解析解析)0(512xxx).()(),()()(),(,0510511510110222 xxxxfttttttfttxtxx故故即即令令x1題型一題型一 求函數的定義域求函數的定義域【例例1 1】（20092009江西理，江西理，2 2）函數函數的定義域為的定義域為（）A.A.（-4-4，-1-1）B.B.（-4-4，1 1）C.C.（-1-1，1 1）D.D.（-1-1，1 1 求函數求函數f f( (x x) )的定義域，只需使解析式有的定義域，只需使解析式有 意義，列不等式組求解意義，列不等式組求解. .解析解析

9、 43) 1n(12xxxy思維啟迪思維啟迪 1.1解得0,430,1由2 xxxxC題型分類題型分類 深度剖析深度剖析探究提高探究提高 （1 1）求函數的定義域，其實質就是以函）求函數的定義域，其實質就是以函 數解析式所含運算有意義為準則數解析式所含運算有意義為準則, ,列出不等式或不等列出不等式或不等 式組，然后求出它們的解集，其準則一般是：式組，然后求出它們的解集，其準則一般是：分式中，分母不為零；分式中，分母不為零；偶次方根中，被開方數非負；偶次方根中，被開方數非負；對于對于y y= =x x0 0，要求，要求x x00；對數式中，真數大于對數式中，真數大于0 0，底數大于，底數大于0

10、 0且不等于且不等于1 1；由實際問題確定的函數，其定義域要受實際問題由實際問題確定的函數，其定義域要受實際問題的約束的約束. .（2 2）抽象函數的定義域要看清內、外層函數之間的）抽象函數的定義域要看清內、外層函數之間的關系關系. . 知能遷移知能遷移1 1 (2008(2008湖北湖北) )函數函數 的定義域為的定義域為（）A.A.（-，-4-42 2，+）B.B.（-4-4，0 0）（0 0，1 1）C.C.-4-4，0 0）（0 0，1 1D.D.-4-4，0 0）（0 0，1 1） 23112xxxxfn()()432 xx解析解析答案答案 D ).,(,)(,.,.,1004043

11、23404323110040043023222222 的的定定義義域域為為所所以以函函數數時時當當舍舍去去不不滿滿足足題題意意時時當當的的解解集集為為不不等等式式組組xfxxxxxxxxxxxxxxx題型二題型二 求函數的解析式求函數的解析式【例例2 2】 （1 1）設二次函數）設二次函數f f( (x x) )滿足滿足f f( (x x-2)=-2)=f f(-(-x x-2)-2)， 且圖象在且圖象在y y軸上的截距為軸上的截距為1 1，被，被x x軸截得的線段長為軸截得的線段長為 ，求，求f f( (x x) )的解析式；的解析式；（2 2）已知）已知（3 3）已知）已知f f( (x

12、x) )滿足滿足2 2f f( (x x)+ =3)+ =3x x, ,求求f f( (x x).). 問題（問題（1 1）由題設）由題設f f（x x）為二次函數，）為二次函數， 故可先設出故可先設出f f（x x）的表達式，用待定系數法求解；）的表達式，用待定系數法求解； 問題（問題（2 2）已知條件是一復合函數的解析式，因此）已知條件是一復合函數的解析式，因此可用換元法；問題（可用換元法；問題（3 3）已知條件中含）已知條件中含x x， ，可用，可用解方程組法求解解方程組法求解. . 22);(,2) 1(xfxxxf求)1(xfx1思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）f f（x x）為二次

13、函數，）為二次函數，設設f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)，且，且f f( (x x)=0)=0的兩根為的兩根為x x1 1, ,x x2 2. .由由f f( (x x-2)=-2)=f f（- -x x-2-2），得），得4 4a a- -b b=0.=0.由已知得由已知得c c=1.=1.由由、式解得式解得b b=2,=2,a a= ,= ,c c=1,=1,f f（x x）= = x x2 2+2+2x x+1.+1.84,22|4|22221aacbaacbxx又2121).()(,)()()().()(),()(,)(.1),(

14、)(1111111122111112111222222 xxxfxxxxxxxfxxxftttfxxxftxttx且且得得代入代入則則設設方法二方法一).()(,)()()()()(,)()(,)(012363231231231213 xxxxfxxxfxxfxfxxfxfxxfxfxx所以所以得得聯立方程聯立方程得得換成換成把題目中的把題目中的探究提高探究提高 求函數解析式的常用方法有求函數解析式的常用方法有:(1):(1)代入法，代入法，用用g g( (x x) )代入代入f f( (x x) )中的中的x x, ,即得到即得到f fg g( (x x) )的解析式；的解析式；(2)(2)

15、拼湊法，對拼湊法，對f fg g( (x x) )的解析式進行拼湊變形，的解析式進行拼湊變形，使它能用使它能用g g( (x x) )表示出來，再用表示出來，再用x x代替兩邊的所有代替兩邊的所有“g g( (x x) )”即可；即可；(3)(3)換元法，設換元法，設t t= =g g( (x x),),解出解出x x, ,代入代入 f fg g( (x x) )，得，得f f( (t t) )的解析式即可；的解析式即可；(4)(4)待定系數法，待定系數法，若已知若已知f f( (x x) )的解析式的類型，設出它的一般形式的解析式的類型，設出它的一般形式, ,根根據特殊值，確定相關的系數即可

16、；據特殊值，確定相關的系數即可；(5)(5)賦值法，給變賦值法，給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式量賦予某些特殊值，從而求出其解析式. . 知能遷移知能遷移2 2 （1 1）已知）已知f f( +1)=l( +1)=lg g x x，求，求f f（x x）；）；(2)(2)已知已知f f( (x x) )是一次函數，且滿足是一次函數，且滿足3 3f f( (x x+1)-2+1)-2f f( (x x-1) -1) =2 =2x x+17+17，求，求f f（x x）；）；(3)(3)設設f f( (x x) )是是R R上的函數，且上的函數，且f f(0)=1,(0)=1,對任意對任意x

17、 x，y yR R 恒有恒有f f( (x x- -y y)=)=f f( (x x)-)-y y(2(2x x- -y y+1)+1)，求，求f f( (x x) )的表達式的表達式. .x2解解 （1 1）（2 2）設）設f f（x x）= =axax+ +b b（a a00），則，則3 3f f（x x+1+1）-2-2f f（x x-1-1）=3=3axax+3+3a a+3+3b b-2-2axax+2+2a a-2-2b b= =axax+ +b b+5+5a a=2=2x x+17+17，a a=2=2，b b=7=7，故，故f f（x x）=2=2x x+7.+7.（3 3）方

18、法一方法一 f f（x x- -y y）= =f f（x x）- -y y（2 2x x- -y y+1+1），），令令y y= =x x，得，得f f（0 0）= =f f（x x）- -x x（2 2x x- -x x+1+1），），f f（0 0）=1=1，f f（x x）= =x x2 2+ +x x+1.+1.方法二方法二 令令x x=0=0，得，得f f(-(-y y)=)=f f(0)-(0)-y y(-(-y y+1)=+1)=y y2 2- -y y+1,+1,再再令令y y=-=-x x, ,得得f f( (x x)=)=x x2 2+ +x x+1.+1. ,12,12t

19、xtx則令)., 1 (,12g1)(,12g1)(xxxfttf題型三題型三 分段函數分段函數【例例3 3】設函數】設函數f f( (x x)= )= 若若f f(-4)=(-4)=f f(0),(0),f f(-2)=-2,(-2)=-2,則關于則關于x x的方程的方程f f( (x x)=)=x x解的個數為解的個數為 （）A.1 B.2A.1 B.2C.3C.3D.4D.4 求方程求方程f f( (x x)=)=x x的解的個數，先用待定系的解的個數，先用待定系 數法求數法求f f（x x）的解析式，再用數形結合或解方程）的解析式，再用數形結合或解方程. . , 0, 2, 0,2xx

20、cbxx思維啟迪思維啟迪解析解析 由由f f(-4)=(-4)=f f(0),(0),得得b b=4,=4,再由再由f f(-2)=-2,(-2)=-2,得得c c=2,=2,x x0 0時，顯然時，顯然x x=2=2是方程是方程f f( (x x)=)=x x的解的解; ;x x00時，方程時，方程f f（x x）= =x x即為即為x x2 2+4+4x x+2=+2=x x，解得，解得x x=-1=-1或或x x=-2.=-2.綜上，方綜上，方程程f f（x x）= =x x解的個數為解的個數為3.3.答案答案 C 分段函數是一類重要的函數模型分段函數是一類重要的函數模型. .解決分解決

21、分段函數問題，關鍵要抓住在不同的段內研究問題段函數問題，關鍵要抓住在不同的段內研究問題. .如如本例，需分本例，需分x x00時，時，f f（x x）= =x x的解的個數和的解的個數和x x00時，時，f f（x x）= =x x的解的個數的解的個數. .探究提高探究提高知能遷移知能遷移3 3 設設 則則f f g g(3)=_,(3)=_, =_.=_. 解析解析 g g(3)=2,(3)=2, f f g g(3)=(3)=f f(2)=3(2)=32+1=72+1=7， )(,)()()(xgxxxxxf00132,)()( 12122xxx)(21 fg16317 7.)()()(,

22、)()(1631412412141212122 gfgf題型四題型四 函數的實際應用函數的實際應用【例例4 4】 （1212分）某摩托車生產企業，上年度生產摩托分）某摩托車生產企業，上年度生產摩托 車的投入成本為車的投入成本為1 1萬元萬元/ /輛，出廠價為輛，出廠價為1.21.2萬元萬元/ /輛，年輛，年 銷售量為銷售量為1 0001 000輛輛. .本年度為適應市場需求本年度為適應市場需求, ,計劃提高計劃提高 產品檔次，適度增加投入成本產品檔次，適度增加投入成本. .若每輛車投入成本增若每輛車投入成本增 加的比例為加的比例為x x(0(0 x x1)1)，則出廠價相應提高的比例為，則出廠

23、價相應提高的比例為 0.750.75x x, , 同時預計年銷售量增加的比例為同時預計年銷售量增加的比例為0.60.6x x. .已知年已知年 利潤利潤=(=(出廠價出廠價- -投入成本投入成本) )年銷售量年銷售量. .(1)(1)寫出本年度預計的年利潤寫出本年度預計的年利潤y y與投入成本增加的比與投入成本增加的比 例例x x的關系式；的關系式；（2 2）為使本年度利潤比上年有所增加，問投入成本）為使本年度利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例增加的比例x x應在什么范圍內？應在什么范圍內？ 準確理解題意，構建函數模型準確理解題意，構建函數模型. .解解 （1 1）依題意）依題意, ,本

24、年度每輛摩托車的成本為本年度每輛摩托車的成本為1+1+x x( (萬萬元元) )，而出廠價為，而出廠價為1.21.2(1+0.75(1+0.75x x) () (萬元萬元) )，銷售量為銷售量為1 0001 000(1+0.6(1+0.6x x) () (輛輛).).故利潤故利潤y y= =1.21.2(1+0.75(1+0.75x x)-(1+)-(1+x x) )1 0001 000(1+0.6(1+0.6x x),),4 4分分整理得整理得y y=-60=-60 x x2 2+20+20 x x+200 (0+200 (0 x x1).0,1 0000, 8 8分分即即-60-60 x

25、x2 2+20+20 x x+200-2000,+200-2000,即即3 3x x2 2- -x x0.0.1010分分解得解得00 x x , ,適合適合00 x x1.1.故為保證本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加故為保證本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例的比例x x的取值范圍是的取值范圍是00 x x .-3-3 B. B.x x|-3|-3x x22C.C.x x| |x x22D.D.x x|-3|-3-3,-3,N N=x x| |x x2.2.MMN N=x x|-3|-3x x2.11時，時，- -x x=2,=2,x x=-2(=-2(舍去舍去). ). ,)

26、(113xxxxfxloglog3 32 29.9.函數函數 的定義域為的定義域為_._. 解析解析 要使要使f f( (x x) )有意義，有意義， f f( (x x) )的定義域為的定義域為 x x| |x x44且且x x5.5.54 |)(xxxf,| 540504xxxx則則 x x| |x x44且且x x55三、解答題三、解答題10.10.求下列函數的定義域：求下列函數的定義域： 解解 借助于數軸借助于數軸, ,解這個不等式組解這個不等式組, ,得函數的定義域為得函數的定義域為 (2)-(2)-x x2 2+2+2x x0,0,即即x x2 2-2-2x x0.0. 00 x

27、x22，函數的定義域為函數的定義域為(0,2).(0,2).).(log)( ;coslg)(xxyxxy22251222 ,Z)(,cos)( kkxkxxx222255002512得得由由.,(),(),52322235 3 000 3 000元時元時, ,可全部租出可全部租出. .當每輛車的月租金每增加當每輛車的月租金每增加 5050元時，未租出的車將會增加一輛元時，未租出的車將會增加一輛. .租出的車每月租出的車每月 需要維護費需要維護費150150元，未租出的車每輛每月需要維護元，未租出的車每輛每月需要維護 費費5050元元. . (1) (1)當每輛車的月租金定為當每輛車的月租金定為3 6003 600元時，能租出多元時，能租出多 少輛車？少輛車？ (2)(2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的 月收益最大？最大月收益是多少？月收益最大？最大月收益是多少？解解 （1 1）當每輛車的月租金定為）當每輛車的月租金定為3 6003 600元時，未元時，未租出的車輛數為租出的車輛數為 ，所以這時租出，所以這時租出了了8888輛車輛車. .（2 2）設每輛車的月租金定為）設每輛車的月租金定為x x元，則租賃公司的月元，則租