1、1.3.2 函數極值與導數函數極值與導數 知識回顧知識回顧: :如果在某個區間內恒有如果在某個區間內恒有 ,則則 為常數為常數.0)( xf)(xf用用“導數法導數法” ” 求單調區間的步驟求單調區間的步驟: :注意：注意：函數函數定義域定義域求求( )fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的遞遞增增區區間間解解不不等等式式的的遞遞減減區區間間求單調區間求單調區間aoht 0h a ht問題：如圖表示高臺跳水運動員的高度問題：如圖表示高臺跳水運動員的高度 隨時間隨時間 變化的函數變化的函數 的圖象的圖象 2( )4.96.510h ttt單調遞增單調遞增單調遞減單調遞

2、減0)( th0 )(thaat at 歸納歸納: 函數函數 在點在點 處處 ,在在 的附近的附近, 當當 時時,函數函數h(t)單調遞增，單調遞增， ; 當當 時時,函數函數h(t)單調遞減單調遞減, 。( )h tta0)( ah0)( th0)( thyxaob yf x （3 3）在點）在點 附近附近, , 的導數的符號有的導數的符號有 什么規律什么規律? ?,a b yf x （1）函數）函數 在點在點 的函數值與這些點的函數值與這些點 附近的函數值有什么關系附近的函數值有什么關系? yf x,a b（2 2）函數）函數 在點在點 的導數值是多少的導數值是多少? ? yfx,a b(

3、圖一圖一)問題：問題：0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfxy yf xohgfedc(圖二圖二)yxaob yf x(圖一圖一)0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfxy yf xohgfedc(圖二圖二)極大值極大值f(b)點點a a為函數為函數y=f(x)的的極小值點極小值點，f(a a)叫做函數叫做函數y=f(x)的的極小值極小值.點點b b為函數為函數y=f(x)的的極大值點極大值點，f(b b)叫做函數叫做函數y=f(x)的的極大值極大值.極小值點極小值點、極大值點極大值點統稱統稱極值點極值點，極大值極大值和和極小值極小值統稱為統稱為極

4、值極值.極小值極小值f(a)思考：思考：極大值一定大于極小值嗎？極大值一定大于極小值嗎？ yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1 1）如圖是函數）如圖是函數 的圖象的圖象, ,試找出函數試找出函數的極值點的極值點, ,并指出哪些是極大值點并指出哪些是極大值點, ,哪些是極小值點？哪些是極小值點？o（2）如果把函數圖象改為導函數）如果把函數圖象改為導函數 的圖象的圖象? ? yfx yf x yf x答：答： yfx1、x1,x3,x5,x6是函數是函數y=f(x)的極值點，其中的極值點，其中x1,x5是函是函數數y=f(x)的極大值點，的極大值點，x3,x6函數函數y=f(x)的極小值點

5、。的極小值點。2、x2,x4是函數是函數y=f(x)的極值點的極值點,其中其中x2是函數是函數y=f(x)的極大值點，的極大值點，x4是函數是函數y=f(x)的極小值點。的極小值點。 下面分兩種情況討論下面分兩種情況討論: : （1 1）當）當 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2時時; ;（2）當）當 ，即，即-2 x2時。時。例例4：求函數求函數 的極值的極值. 31443fxxx 31443fxxx 2422fxxxx 0fx 0,fx 解解: : 0fx 當當x x變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表： ,fxf x x fx f x, 2 2,22,28343當當

6、x=-2x=-2時時, f(x), f(x)的極大值為的極大值為 28( 2)3f 423f 令令解得解得x=2,或或x=-2.0022單調遞增單調遞增單調遞減當當x=2時時, f(x)的極小值為的極小值為22n探索探索: x =0是否為函數是否為函數f(x)=x3的極值點的極值點?x yOf ( (x) ) x3 3v 若尋找可導函數極值點若尋找可導函數極值點,可否可否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2 當當f (x)=0=0時，時，x =0=0，而而x =0=0不是不是該函數的極值點該函數的極值點. .f (x0) =0 =0 x0 是可導函數是可

7、導函數f(x)的極值點的極值點 x0左右側導數異號左右側導數異號 x0 是函數是函數f(x)的極值點的極值點 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件是函數取得極值的必要不充分條件（2）如果在）如果在 附近的左側附近的左側 ，右側，右側 ， 那么那么 是極小值是極小值歸納：歸納：求函數求函數y=f(x)極值的方法是極值的方法是:（1）如果在）如果在 附近的左側附近的左側 ，右側，右側 ， 那么那么 是極大值；是極大值；解方程解方程 ，當當 時：時： 0fx 0f x 0fx 0 x00fx0f x0 x 0fx 0fx 0fx 練習：練習： 下列結論中

8、正確的是（下列結論中正確的是（ ）。）。 A、導數為零的點一定是極值點。、導數為零的點一定是極值點。 B、如果在、如果在x0附近的左側附近的左側f(x)0,右側右側f(x)0, 那么那么 f(x0)是極大值。是極大值。 C、如果在、如果在x0附近的左側附近的左側f(x)0,那么那么f(x0)是極大值。是極大值。 、極大值一定大于極小值。、極大值一定大于極小值。B 3f xx0 xy(最好通過列表法最好通過列表法)鞏固練習鞏固練習：求函數求函數 的極值的極值 33f xxx x fx f x, 1 1,11,20011單調遞增單調遞減單調遞減當當 時時, 有極大值，并且極大值為有極大值，并且極大

9、值為2)(xf)(xf當當 時時, , 有極小值，并且極小值為有極小值，并且極小值為 2.2.1x1x x解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分兩種情況討論：下面分兩種情況討論：（1）當）當 ，即，即 時；時；（2）當）當 ，即，即 ，或，或 時。時。當當 變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表： 33f xxx 0fx 23 3fxx 23 30fxx1x 1.x 0fx 11x 1x 1x ,fxf x思考：思考：已知函數已知函數 在在 處取得處取得極值。極值。（1）求函數）求函數 的解析式（的解析式（2）求函數）求函數 的單調區間的單調區間 322f xaxbxx2,

10、1xx f x f x f x f x解：解：（1） 在在 取得極值取得極值, 即即 解得解得 （2） ， 由由 得得 的單調增區間為的單調增區間為 由由 得得 的單調減區間為的單調減區間為 2322fxaxbx f x2,1xx 124203220abab11,32ab 3211232fxxxx 22fxxx 0fx 12xx 或 0fx 21x ) 1 , 2(, 21, 和0) 1 (, 0)2( ff 函數函數 在在 時有極值時有極值1010，則，則a，b的值為（的值為（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不對以上都不對 223)(abxaxxxf 1 x3,

11、3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 baC，解解:由題設條件得：由題設條件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或注意：注意：f/(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件是函數取得極值的必要不充分條件注意代注意代入檢驗入檢驗 課堂小結課堂小結: 一、方法一、方法: (1)確定函數的定義域確定函數的定義域(2)求導數求導數f(x)(3)求方程求方程f(x) =0的全部解的全部解(4)檢查檢查f(x)在在f(x) =0的根左的根左.右兩邊值的符號右兩邊值的符號,如果左正如果左正右負右負(或左負右正或左負右正),那么

12、那么f(x)在這個根取得極大值或極小值在這個根取得極大值或極小值二、通過本節課使我們學會了應用數形結合法去求函數二、通過本節課使我們學會了應用數形結合法去求函數的極值，并能應用函數的極值解決函數的一些問題的極值，并能應用函數的極值解決函數的一些問題 作業：作業： P32 5 今天我們學習函數的極值今天我們學習函數的極值,并利用導數求函數的極值并利用導數求函數的極值 abxy)(xfyO abxy)(xfyO 函數函數 f(x) 的定義域為開區間的定義域為開區間導函數導函數 在在 內的圖像如圖所示，則函數內的圖像如圖所示，則函數在開區間在開區間 內有（內有（ ）個極小值點。）個極小值點。 A.1 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfAf (x) 0f (x) =0注意：注意：數形結合以及原函數與導函數圖像的區別數形結合以及原函數與導函數圖像的區別32( )f xaxbxcx2.2.已知函數已知函數在點在點 處取得極大值處取得極大值5,其導函數其導函數 的圖像的圖像(如圖如圖)過