1、15.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法正弦量的基本概念正弦量的基本概念5.3 單一參數正弦交流電路單一參數正弦交流電路5.4 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式5.5 RLC串聯電路串聯電路5.8 功率因數功率因數5.9 串、并聯諧振串、并聯諧振模塊三模塊三正弦交正弦交流電路流電路2正弦量的基本概念正弦量的基本概念iI3正弦量的基本概念正弦量的基本概念4 2 Tit OT周期，單位秒（周期，單位秒（s）Tf1f頻率，單位赫（頻率，單位赫（Hz）正弦量的基本概念正弦量的基本概念5 itIi sinmIm 2 Tit O正弦波的參數？正弦波的參數？正弦量的基本概念正弦量的基本概念

2、6書寫方法：書寫方法：Im、Um、EmfT22正弦量的基本概念正弦量的基本概念7 顯然，相位反映了正弦量隨時間變化的整個進程。)sin(mtIi 確定了正弦量計時始的位置，初相規定。(1)相位(2)初相相位是隨時間變化的電角度，是時間t 的函數。初相是對應 t =0時的確切電角度。正弦量與縱軸相交處若在正半周，初相為正。-正弦量與縱軸相交處若在負半周，初相為負。相位、 角頻率和初相)sin(mtIi正弦量的基本概念正弦量的基本概念8)sin( ),sin(imumtIitUuiuiuiutttt)()( 顯然，兩個同頻率正弦量之間的相位之差，實際上等于它們的。已知(四) 相位差，求電壓與電流之

3、間的相位差。 不同頻率的正弦量之間不存在相位差的概念。相位差不得超過180!正弦量的基本概念正弦量的基本概念9 90iu 900 iu 0 iu 180iu uiuiOuiuiOuiui Ouiui90O 相位差的幾種特殊關系相位差的幾種特殊關系正弦量的基本概念正弦量的基本概念10)sin(mutUu )2sin(310 uft V)30314sin(310 tu/Vt O正弦量的基本概念正弦量的基本概念11A)60314sin(1 .14 t)sin(mitIi u/Vt Oi/A正弦量的基本概念正弦量的基本概念12 例例 5-2 求兩個正弦電流i1(t)=14.1 sin(t120)， i

4、 2(t)=7.05 cos(t60)的相位差12 。 解解 把i1和i2寫成標準的解析式， 求出二者的初相， 再求出相位差。 則)sin()sin()()sin()sin()(3005. 7906005. 7601 .141801201 .1400020001ttttttii303060306000021120201，正弦量的基本概念正弦量的基本概念13 例5-3 三個正弦電壓三個正弦電壓u uA A( (t t)=311sin314)=311sin314t tV V， u uB B( (t t)=311 sin(314)=311 sin(314t t+2+2/3) V/3) V， u uC

5、 C( (t t)=311sin(314)=311sin(314t t22/3) V/3) V， 若以若以 u uB B為參為參考正弦量，考正弦量， 寫出三個正弦電壓的解析式。寫出三個正弦電壓的解析式。 解解 先求出三個正弦量的相位差，先求出三個正弦量的相位差， 由已知得由已知得3203232234323232320)()(CABCAB以以uB為參考正弦量，為參考正弦量， 它們的解析式為它們的解析式為 VttVtttVtuuuCAB)32314sin(311)()32314sin(311)(314sin311)(正弦量的基本概念正弦量的基本概念14交流電的有效值交流電的有效值與它的熱效應相等的

6、直與它的熱效應相等的直流電流的數值。流電流的數值。dtRiT20 RTI2 正弦量的基本概念正弦量的基本概念15則有則有 TtiTI02d1 TttIT1022mdsin2mI 注意：注意：交流電壓、電流表測量數據和交流電壓、電流表測量數據和交流交流設備銘牌標注的電壓、電流均為有效值設備銘牌標注的電壓、電流均為有效值同理：同理： ，mm70702U.UU mm70702E.EE 正弦量的基本概念正弦量的基本概念16 例 5-4 一個正弦電流的初相角為一個正弦電流的初相角為6060，在，在 時電流的時電流的值為值為5A5A， 試求該電流的有效值。試求該電流的有效值。 解 該正弦電流的解析式為該正

7、弦電流的解析式為 4T)sin()sin()sin()(32560456000ITIIimmmtt由已知得 或 AAIIIImmm07.7210255651021)6/5sin()sin( 對應的有效值 則 正弦量的基本概念正弦量的基本概念17正弦量的基本概念正弦量的基本概念18（2）瞬時值表達式）瞬時值表達式)sin(m tUu（1）波形圖）波形圖UU ut O191j 20abarctan22barracosrbsin)sinj(cossinjcosrr rA 21rAje sinjcosej 可得可得: rrrjrbaA jesincosj rA 由歐拉公式由歐拉公式:2jeesinjj

8、 ,2eecosjj 2211111jrbaA 22122jrb2aA +1+jO231111AbaA1j2122Ab2aA1j221211AAAA242+1+jO1212509010j 26 90e90j旋轉旋轉 90900 0 因子：因子：j90sinj90cosej90 rAj1e 相量相量A1乘以乘以+j 時，將逆時時，將逆時針旋轉針旋轉900 ，得到，得到jA1。超前。超前A1 900。+1+jo 相量相量A1乘以乘以-j 時，將順時針時，將順時針旋轉旋轉900 ，得到，得到-jA1。滯后。滯后A1 900。27)(sinmtIi 設正弦量設正弦量:1i1ti0 xyOmIit O2

9、8Ii0sinm )(sinmtIi1 )(sinmtIi 1i1ti0 xyOmIit O2930mmI U、I U、)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U31)(sinmtIi 設正弦量設正弦量: IIeI j 32)(sinmtIi 設正弦量設正弦量:rrrjrbaA jesincosj IeII mjmm 33i Iu U)jsincos(ejUUUU UIUI34)(sinmtIiIeImjm 35IU36例例 5-5 已知正弦電壓u1(t)=141 sin(t+/3) V， u2(t)=70.5 sin(t-/6) V， 寫出u1和u2的相量， 并

10、畫出相量圖。V V3 35 50 03 32 27 70 0. .5 5U Uu uV V3 31 10 00 03 32 21 14 41 1U Uu u. .2 22 2. .1 11 1相量圖如圖5.7所示1U1.U2.63 圖 5.7 例5.5圖 37例例 5.6 已知兩個頻率均為50 Hz的正弦電壓， 它們的相量分別為 V, V， 試求這兩個電壓的解析式。6 6U U. .1 13803 3U U. .2 2 220解解 =2f=250=314 rad/su 1= U 1m sin(t+ 1 )=380 sin(314t+/6)Vu 2= U 2m sin(t+ 2 )=220 si

11、n(314t-/3) V223839)sin(iU2)sin(iU(t)u)sin(iU2)sin(iU(t)u2212m21111m1 利用三角函數， 可以得出它們之和為同頻率的正弦量， 即)sin(2)()()(21tUtututu1. 兩個同頻率正弦量的相量之和兩個同頻率正弦量的相量之和 設有兩個同頻率正弦量22112212221122211coscossinsinarctan)sinsin()coscos(UUUUUUUUU40可以看出，可以看出， 要求出同頻率正弦量之和，要求出同頻率正弦量之和， 關關鍵是求出它的有效值和初相。鍵是求出它的有效值和初相。可以證明，可以證明， 若若u=u

12、 1+u 2， 則有則有2.1.UUUI2.I2.I1.I2.(a)I2.I1.I2.I2.I1.I2.I1.(b)I1. 圖 5.8 兩個相量加減的三 角形法則2. 求相量和的步驟求相量和的步驟 (1) 寫出相應的相量，寫出相應的相量， 并表示為代數形式。并表示為代數形式。 (2) 按復數運算法則進行按復數運算法則進行相量相加，相量相加， 求出和的相求出和的相量。量。(3) 作相量圖，作相量圖， 按照矢量按照矢量的運算法則求相量和。的運算法則求相量和。41例5.7 u uA(A(t t)=220 sin)=220 sinttV V， u uB(B(t t)=220 sin()=220 sin

13、(tt- -120120) V) V， 求求u uA+A+u uB B 和和 u uA-A-u uB B 。 解 (1) (1) 相量直接求和。相量直接求和。 22)V)V3030(sin(sint t2 2380380u uu u)V)V6060(sin(sint t2 2220220u uu uV V60603803803 3j110j110330330U UU Uu uu uV V60602202203 3j110j110110110U UU Uu uu uV V3 3j110j110110110) )120120j220sin(j220sin() )120120220(cos(220(

14、cos(120120220220U Uu uj0Vj0V2202200 0220220U Uu u0 0B BA A0 0B BA A0 0B B. .A A. .B BA A0 0B B. .A A. .B BA A0 00 00 0B B. .B B0 0A A. .A A/ / / / /42 (2) (2) 作相量圖求解。作相量圖求解。 見圖見圖5.105.10， 根據等邊三角形和根據等邊三角形和頂角為頂角為120120的等腰三角形的性質可以得出上述同樣的的等腰三角形的性質可以得出上述同樣的結果，結果， 讀者自行分析。讀者自行分析。 120120120603030UA.UB.UC.UB

15、.UB.UA.UB.UA.UB. 圖 5.10 例4.7圖 U1.U2.U3.U2.U.U3.U4.U1.U2.U3.U. U4.= 圖 5.9 相量加減的多邊形法則 431I2I超前超前落后落后？A)60(sin281 tiA)03(sin262 tiA608 1 IA3062I 2I 301I2I 落后于落后于1I604410AA68 222221 III1 .2330abarctan有效值有效值 I =10 A總電流瞬時值表達式：總電流瞬時值表達式：2I 301I60 IA) .12(sin210 3ti45V)54(sin1411tuA)03(sin6 .842tuO5 45100V4

16、2141 1.UO0- 3060V326 .84 2.U462.U.U1.U222112221)sinsin()cos( UUUUU1cos 129V V oooo22)30sin(6045sin100)30cos(6045cos100 4721concon 212211sinsinarctan UUUU)con(-3000con45 oooo601)30sin(6045sin100arctan o 4 .18332. 0arctan V)4 .18(sin2129tu2.U 3045.U1.U 48)V30604100( .21.O5 UUU)V309 .517 .707 .70( JJ V

17、J 4 .18129 )V7 .406 .122( V)4 .18(sin2129tu5051Riu+_僅有電阻參數的交流電路。僅有電阻參數的交流電路。iRu 根據歐姆定律根據歐姆定律:瞬時值符合歐姆定律瞬時值符合歐姆定律設設)(2itisinI則則)(2)(2UittsinsinURIRiu52RUI 0 iu 相位差相位差 ： 相量式：相量式：0II RIUU 0RI+_UU相量圖相量圖I)(2)(2UittsinsinURIu53iup 1. 瞬時功率瞬時功率 p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積瞬時電壓與瞬時電流的乘積tItUsinsinmm tI2U2sin2 結論結論: （耗能元件）（耗能

18、元件）, ,且隨時間變化。且隨時間變化。0ptUutIisin2sin2 pi tuO tpOiu直流分量直流分量2倍頻交流分量倍頻交流分量)2cos(1tUI 0i54TTtiuTtpTP00d1d1UI ttUITTd)2cos(110 單位單位:瓦瓦(W)UIP 2RI RU2pp tORiu+_55tiLeuLdd 關聯參考方向時，關聯參考方向時，iu+-eL+-L)90(sin)(cosiitLItLImm設：設：)(mitIisinttILuid)sind(m)()90(sinm tU56 U =I L 90iu 相位差相位差90utu iiO討論討論)90(sinm tLIutI

19、isinm 57LUI LXIU 則則: :f = 0, XL =0，電感，電感L視為視為短路短路LfLXL 2 fLXL2 L IUfXL有效值符合歐姆定律有效值符合歐姆定律58IXILULjj 90IU超前超前)90(sinm tLIutIisinm 根據：根據： 0II 9090LIUULIUIU j90 則：則：U相量圖相量圖I590d)(2sind1oo ttUIT1tpTPTT)90(sinsinmm ttIUuiptUI2sintIUttIU2sin2cossinmmmm)90(sinm tLIutIisinm 60p 0分析：分析：uiptUI2sinui+-ui+-ui+-u

20、i+-+p 0p 0p 0p XC 時時， 0 ，u 超前超前 i 呈呈感性感性當當 XL XC 時時 ， 0 感性感性)XL XCcosUURsinUUxURUCLUU XUCUIRU( 0 容性容性)XL XC CULUCLUUU RjXL-jXCRU+_LU+_CU+_U+_I82RXXXXRZCLCL arctan)(22 ZIXRIXXRIUUUUCLCLR )()(222222 由阻抗三角形：由阻抗三角形：cosZR sinZX URUCLUU XUZRCLXXX83)2cos(cos)2cos(cossin)sin(tUIUItUIttIUmmiupRLCRu+_Lu+_Cu+_

21、u+_iUIcostTtpTPTT00d1d1)2cos(costUIUI84單位單位: WURU XUUIcosPUISUIQsin單位：單位：var單位：單位：VA8522QPS QPSSQPUIS cosIUP sinIUQ 86SQP22)(CLXXRZ sincosZXZR2)(CL2RUUUUsincosUUUUXR22QPSsincosSQSPRUUCLUU將電壓三角形的有效值同除將電壓三角形的有效值同除I得到阻抗三角形得到阻抗三角形將電壓三角形的有效值同乘將電壓三角形的有效值同乘I得到功率三角形得到功率三角形RCLXX Z87一、一、基爾霍夫節點電流定律的相量形式 根據正弦量的

22、和差與它們相量和差的對應關系，根據正弦量的和差與它們相量和差的對應關系，可以推出：可以推出： 正弦電路中任一節點，與它相連正弦電路中任一節點，與它相連接的各支路電流的相量代數和為零，接的各支路電流的相量代數和為零，相量形式相量形式為：為： 二、回路電壓定律的相量形式 同理可以推出正弦電路中，同理可以推出正弦電路中， 任一閉合回路，任一閉合回路， 各段電壓的相量代數和為零，各段電壓的相量代數和為零，簡稱KVL的相量形式。 0.I0.U基爾霍夫定律相量形式880 ki0 ki0 ku0 kI0 kU基爾霍夫定律相量形式89ZUI 21ZZZ IZZIZIZUUU)( 212121 +U1U2U1Z

23、2Z+-+-I通式通式: kZZ+UZ-I基爾霍夫定律相量形式902121ZUZUIII 2121ZZZZZ ZUI 對于阻抗模一般對于阻抗模一般21111ZZZ +U1Z-I2Z1I2I+UZ-I21111ZZZ 通式通式: k11ZZ基爾霍夫定律相量形式91有兩個阻抗有兩個阻抗 ，它們并聯接在它們并聯接在的電源上。的電源上。求求:和和并作相量圖。并作相量圖。j431 Zj682 ZV0220 U21II、I+U1Z-I2Z1I2I26.54.4710.511.81650j68j4337105352121 ZZZZZ基爾霍夫定律相量形式92同理：同理：A5344A535022011 ZUIA

24、3722A3701022022 ZUI所以：所以：A26.549.226.54.470220 ZUI或或A26.549.2A3722A53-44 21 III基爾霍夫定律相量形式93 21III1IUI2I533726.5 21III注意：注意：V0220UA53441 IA37222 I基爾霍夫定律相量形式94Ee 、Ii 、UuX C 、XL 、 RRCLjj基爾霍夫定律相量形式95升壓升壓變壓器變壓器輸電線輸電線降壓降壓變壓器變壓器96知識點回顧知識點回顧有功功率、無功功率、視在功率有功功率、無功功率、視在功率能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量S=UI

25、 cosUIP sinUIQ 97SP視在功率有功功率 cos 1cos1cos cosUIUI98例：例：已知某發電機的視在功率為已知某發電機的視在功率為1000KVA。（1）若）若1cos（2）若若7 . 0cos能發出能發出( ) KW的有功功率的有功功率只能發出只能發出( ) KW的有功功率的有功功率cos991cos0.6cos800kvarsinNN IUQ600kWcosNNIUP1000kWcosNN IUPAkV1000NNNIUS100 cosUIP )U/(PI cos 101(費電費電)設輸電線和發電機繞組的電阻為設輸電線和發電機繞組的電阻為 :r要求要求:(、定值定值

26、)時時cosIUP cosUPI rIP2cos( (導線截面積導線截面積) )IS102 日常生活中多為日常生活中多為感性負載，感性負載，如電如電動機、日光燈，其等效電路及相量動機、日光燈，其等效電路及相量關系如圖。關系如圖。 IURULU相量圖相量圖+U-RLXI+RU-+-LU感性等效電感性等效電路路A0.182A22040 UPI cosIUP 1cos例例:103A0.364A0.522040co sUPI40W220V日光燈日光燈 0.5cos 。 0.85cosIURULU相量圖相量圖+U-RLXI+RU-+-LU感性等效電感性等效電路路A0.182A22040 UPI 1cos1040)()9090()90(1cos0.30.2cos0cos0co1s0.90.7cos0.60.5cos105CICURLI1I106CICURLI1I 107coscos(1) 電路的總電流電路的總電流 ，電路總功率因數，電路總功率因數Icos電路總視在功率電路總視在功率S1cos 不變不變感性支路的感性支路的功率因數功率因數不變不變感性支路的電流感性支路的電流I1,1081IIU2 1CI211sinsin IIIC CUIC 11s