1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體的基本運(yùn)動(dòng)可以分為剛體的基本運(yùn)動(dòng)可以分為平動(dòng)平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的，剛體的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。 剛體的平動(dòng)是指剛體在運(yùn)剛體的平動(dòng)是指剛體在運(yùn)動(dòng)過程中其中任意兩點(diǎn)的連動(dòng)過程中其中任意兩點(diǎn)的連線始終保持原來的方向（或線始終保持原來的方向（或者說，在運(yùn)動(dòng)的各個(gè)時(shí)刻始者說，在運(yùn)動(dòng)的各個(gè)時(shí)刻始終保持彼此平行）。終保持彼此平行）。 特點(diǎn)：其中各點(diǎn)在任意相同的時(shí)間內(nèi)具有相同的位特點(diǎn)：其中各點(diǎn)在任意相同的時(shí)間內(nèi)具有相同的位移和運(yùn)動(dòng)軌跡，也具有相同的速度和加速度。因而移和運(yùn)動(dòng)軌跡，也具有相同的速度和加速度。因

2、而剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)的剛體可看作質(zhì)點(diǎn)。平動(dòng)的剛體可看作質(zhì)點(diǎn)。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)比較復(fù)雜，我們只研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)比較復(fù)雜，我們只研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是指剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是指剛體上各點(diǎn)都繞同一直線剛體上各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身在空間的位置保持不動(dòng)的在空間的位置保持不動(dòng)的一種轉(zhuǎn)動(dòng)，這條直線稱為一種轉(zhuǎn)動(dòng)，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)： 1. 1.剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在作圓周運(yùn)動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)圓周剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在作圓周運(yùn)動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不一定相等。運(yùn)動(dòng)的半

3、徑不一定相等。 2. 2.各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸線上，這個(gè)平面我們稱為線上，這個(gè)平面我們稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面。 3. 3.各質(zhì)點(diǎn)的位矢在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是相同的。各質(zhì)點(diǎn)的位矢在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是相同的。o 描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。Px在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，過在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，過O O點(diǎn)作點(diǎn)作一極軸，設(shè)極軸的正方向一極軸，設(shè)極軸的正方向是水平向右，則是水平向右，則OPOP與極與極軸之間的夾角為軸之間的夾角為 。1.1.角坐標(biāo)角坐標(biāo) 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的特點(diǎn)，我們用角量來描述剛根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的特點(diǎn)，我們用角量

4、來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)較為方便，而且只要描寫轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)較為方便，而且只要描寫轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)從圓心到某一質(zhì)點(diǎn)矢徑的轉(zhuǎn)動(dòng)情況就足夠了。從圓心到某一質(zhì)點(diǎn)矢徑的轉(zhuǎn)動(dòng)情況就足夠了。 角稱為角稱為角坐標(biāo)（或角位置）角坐標(biāo)（或角位置）。角坐標(biāo)為標(biāo)量。但可有正負(fù)。角坐標(biāo)為標(biāo)量。但可有正負(fù)。2.2.角位移角位移描寫剛體位置變化的物理量。描寫剛體位置變化的物理量。角坐標(biāo)的增量角坐標(biāo)的增量：稱為剛體的稱為剛體的角位移角位移xyP p2v1vR3.3.角速度角速度描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。的物理量。tt0limdtd角速度角速度方向：方向：滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向右旋大拇指指向。

5、滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向右旋大拇指指向。 角速度是矢量，但對于剛體定軸角速度是矢量，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向只有兩個(gè)，在表轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向只有兩個(gè)，在表示角速度時(shí)只用角速度的正負(fù)數(shù)值示角速度時(shí)只用角速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角速度的方向，不必用矢就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。量表示。剛體上任一質(zhì)元的速度表示為：剛體上任一質(zhì)元的速度表示為：rvvr4.4.角加速度角加速度tt0limdtdrv,rdtdrdtdvat剛體上任一質(zhì)元的切向加速度和法向加速度表示為：剛體上任一質(zhì)元的切向加速度和法向加速度表示為：22,rrvan00 角加速度是矢量，但對于角加速度是矢量，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)

6、動(dòng)角加速度的方剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的方向只有兩個(gè)，在表示角加速向只有兩個(gè)，在表示角加速度時(shí)只用角加速度的正負(fù)數(shù)度時(shí)只用角加速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的方向，值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。不必用矢量表示。說明：說明： 角坐標(biāo)、角位移、角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度等角量角速度和角加速度等角量是用來描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體是用來描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的整體運(yùn)動(dòng)，也可用來描的整體運(yùn)動(dòng)，也可用來描述質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)；述質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)；1 . .力對固定點(diǎn)的矩力對固定點(diǎn)的矩FrM 這種情況相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)繞固定這種情況相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)繞固定點(diǎn)點(diǎn)O O轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。2 . .力對固定軸的矩力對固定軸的矩（

7、1）力垂直于轉(zhuǎn)軸）力垂直于轉(zhuǎn)軸OPdrrFM（2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直）力與轉(zhuǎn)軸不垂直FF轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸o rFz轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面 可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。 平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果，平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果，該力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。該力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。FrM大?。捍笮。簊inrFMa) 必須指明是對誰的角動(dòng)必須指明是對誰的角動(dòng)量量；大?。捍笮。篖 r m v sin 方向：方向：右手螺旋定則判定右手螺旋定則判定質(zhì)點(diǎn)對一固定參考點(diǎn)的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)對一固定參考點(diǎn)的角動(dòng)量：v vm mr rP Pr rL LmoprP PP Lro

8、b)作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 L r m v c)角動(dòng)量是描述轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量角動(dòng)量是描述轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量；d)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量又稱為動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量又稱為動(dòng)量矩。注意：注意：LdtvmrddtLd)(dtvmdrvmdtrd)(FrirPov在以角速度在以角速度作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體內(nèi)取一質(zhì)點(diǎn)內(nèi)取一質(zhì)點(diǎn) mi ，則其對則其對OZOZ軸軸的角動(dòng)量為：的角動(dòng)量為：對于整個(gè)剛體，各質(zhì)點(diǎn)對定軸的角動(dòng)量都具有相同的對于整個(gè)剛體，各質(zhì)點(diǎn)對定軸的角動(dòng)量都具有相同的方向。則定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量就是對組成剛體的所方向。則定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量就是對組成剛體的所有質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量求和。

9、有質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量求和。iiiirvmL)(iiirvmL)(2iirm)(2iirmJ2iirmJ稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體dtdLM JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：amFdtJdM)(對對進(jìn)行處理得到：進(jìn)行處理得到：00000)(JJJdMdtJJtt剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理dtJd)(J剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義是：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義是：六、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量六、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量niiirmJ12若剛體為連續(xù)體，則用積分代替求和：若剛體為連續(xù)體，則用積分代替求和：dmrJ2JM amF,比較以下兩個(gè)式子：比較以下兩個(gè)式子：轉(zhuǎn)動(dòng)慣

10、量是表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量。例例1、長為長為 l、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿，繞與桿的勻質(zhì)細(xì)桿，繞與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。xo解：解：建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxxdmxJ22121ml222lldxlmx例例2、長為長為 l、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。解：解：xodxxdmxJ2ldxlmx02231mlJ 與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)例例3：在無質(zhì)輕桿的在無質(zhì)輕桿的 b 處與處與 3b 處

11、各系質(zhì)量為處各系質(zhì)量為 2m 和和 m 的質(zhì)點(diǎn)，可繞的質(zhì)點(diǎn)，可繞 o 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：質(zhì)點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。解：解：221iiirmJ22)3(2bmmb211mbbb3omm2例例4、半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。RModmdmRJ2解：解：2MRRM例例5、半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂直于圓的圓盤，繞垂直于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。rdr解：解：分割圓盤為圓環(huán)分割圓盤為圓環(huán)rdrRMdm22dmrJ22

12、21MRRrdrRMr0222定理表述：定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JC 加上剛體質(zhì)量與加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積：兩軸間的距離平方的乘積：2mdJJC 剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小CJJmR221mRJC如：如：2mRJJC2221mRmR dmxJy2,dmrJz2dmxdmy22yxJJdmyx)(22zyxodmxyrdmyJx2證明：證明：定理表述：定理表述：質(zhì)量質(zhì)量平面分布平面分布的剛體，繞垂直于的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)平面軸的轉(zhuǎn)

13、動(dòng)慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和：動(dòng)慣量之和：yxzJJJ例例6、半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓盤，求繞直徑軸的圓盤，求繞直徑軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jy。解：解：圓盤繞垂直于盤面的質(zhì)心圓盤繞垂直于盤面的質(zhì)心 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：動(dòng)慣量為：221MRJzyxzJJJzyJJ21zyJ2241MRyx例例7、長為長為 l、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的細(xì)桿，初始時(shí)的角速度的細(xì)桿，初始時(shí)的角速度為為 0，由于細(xì)桿與桌面，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時(shí)間的摩擦，經(jīng)過時(shí)間 t 后桿后桿靜止，求摩擦力矩靜止，求摩擦力矩 M阻阻。lo解：解：由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式: :t

14、0t0細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量231mlJ摩擦阻力矩為：摩擦阻力矩為：JM阻tml02311m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：amTgm111 （1）amT22 （2 2）JRTT)(21（3 3）221MRJ例例8 8、質(zhì)量為質(zhì)量為 m1 和和m2 兩個(gè)物兩個(gè)物體，跨在定滑輪上體，跨在定滑輪上 m2 放在光放在光滑的桌面上，滑輪半徑為滑的桌面上，滑輪半徑為 R，質(zhì)量為質(zhì)量為 M，求：求：m1 下落的加下落的加速度，和繩子的張力速度，和繩子的張力 T1、T2。Ra（4 4）聯(lián)立方程，求解得：聯(lián)立方程，求解得：2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT當(dāng)當(dāng) M= =0 時(shí)：時(shí)：212121mmgmmTT1m2mRM