1、1一、直線的投影特性一、直線的投影特性三、直線上的點三、直線上的點四、兩直線的相對位置四、兩直線的相對位置二、一般位置線段的實長及傾角二、一般位置線段的實長及傾角2 兩點確定一條直線，將兩點的同兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。名投影。ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影積聚為一點投影積聚為一點 積聚性積聚性直線平行于投影面投影直線平行于投影面投影與空間直線平行且相等與空間直線平行且相等 ab=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosABabAMBabmaa a b b b3

2、2 2、直線的三面投影特性直線的三面投影特性投影面投影面平行線平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面投影面垂直線垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側平線（平行于面）側平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面4YWg gH HVABXW1 1）投影面平行線投影面平行線oZYbaba正平線正平

3、線ag規定：直線與規定：直線與H面的夾角面的夾角 a a直線與直線與V面的夾角面的夾角 直線與直線與W面的夾角面的夾角XoZYHaabaabaa b 反映反映CD實長實長aab /OX軸軸ab/OZ軸軸gabab5b a aba b b aa b ba 在其平行的那個投影面上的投影，反映實長及直在其平行的那個投影面上的投影，反映實長及直線與另兩投影面傾角的實大。線與另兩投影面傾角的實大。另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。水平線水平線側平線側平線正平線正平線投投 影影 特特 性：性：實長實長實長實長實長實長ba aa b b 6 直線投影特性例題直線

4、投影特性例題n 已知側平線已知側平線AB的實長為的實長為20 mm,與與H面的夾面的夾角為角為60，求線段，求線段AB的投影。的投影。20 mma關鍵：分析側平關鍵：分析側平線的投影特點線的投影特點obaXZYHYWaabb有幾解？有幾解？b7鉛垂線鉛垂線2） 投影面垂直線投影面垂直線a(b)abbaBAoWHVXZYXYWZYH0a(b)abba8 反映線段實長。且垂直于相反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。應的投影軸。鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側垂線側垂線 另外兩個投影另外兩個投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影積聚成點投影積聚成點。投影特性投影特性: :c (d )cdd

5、c a b a(b)a b e f efe (f )投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性93）一般位置直線）一般位置直線BbbbaaaoXZYHWVAa aabb a b a 三面投影均傾斜于投影軸且小于實長與軸的夾角不反映直線與投影面夾角的實大投影特點：投影特點：10a”b”鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線正平線正平線dd”e”acbedca (b)(e)c”例一：判斷例一：判斷AB、CD、DE直線的空間位置，并找出直線的空間位置，并找出其第三投影其第三投影Back11a Cb A|ZA-ZB|ZA-ZB|二、一般位置直線的實長和傾角二、一般位置直線的實長和傾角1、過、過A點作點作AC/ab

6、2、過、過b點作點作bc0ab,ab,且且bc0=BC3、連接、連接ac0BabHc0XOb ab長長bc0ac0=AB等于等于AB對投影面對投影面H的傾角的傾角a Va|ZA-ZB|12CDE直線的實長與傾角的空間狀況直線的實長與傾角的空間狀況直線的投影存在三個三角形：直線的投影存在三個三角形：斜邊與投影的夾角為直線的傾角斜邊與投影的夾角為直線的傾角直角邊直角邊直線段兩端點對直線段兩端點對 該該投影面的距離差投影面的距離差直角邊直角邊投影長投影長斜邊斜邊實長實長直角三角形的四個要素任知其中直角三角形的四個要素任知其中兩個，可畫出此三角形兩個，可畫出此三角形每個三角形有四個要素：每個三角形有四

7、個要素：13a Xab ba b ABABa b |YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|ABbb aa CXO|YA-YB|14ZXabaOYHYWabbXZYOABbbabaag g|XA-XB|XA-XB|g15ababABABABABa|zA-zB|a aAB|z zA-z zB|b Xa bAB|yA-yB|ABa b |yA-yB|例二例二: 已知已知 線段的實長線段的實長AB，求它的水平投影。，求它的水平投影。ABABABABaba16BC例三例三: : 已知線段已知線段ABAB的投影，試定出屬于線段的投影，試定出屬于線段ABAB的點的點C C的的投影，投影， 使使BCBC

8、的實長等于已知長度的實長等于已知長度L L。Xbb a acLBCABzA-zBc abABbbaaDXOcCc17 一般位置直線一般位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。三個投影與各投影軸都傾斜。 投影面平行線投影面平行線 在其平行的投影面上的投影反映線段實長在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。應的投影軸。 投影面垂直線投影面垂直線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且平行于相應的投影軸。另兩個投影反映實長且平行于相應的投影軸。直線的投影特性小結Ba

9、ck18 19點點C不在不在直線直線AB上上例四：判斷點例四：判斷點C是否在線段是否在線段AB上。上。abca b c c abca b 點點C在直在直線線AB上上判斷條件：從屬性。判斷條件：從屬性。20m m不在不在c cd d上，上，不不符合點在直線上符合點在直線上的投影特性（從屬的投影特性（從屬性），故點不在性），故點不在直線上。直線上。YWXZYH例五例五:判斷點是否在直線上判斷點是否在直線上判斷方法一：判斷方法一：求第三面投影求第三面投影判斷方法二：據判斷方法二：據定比性直接判斷定比性直接判斷cm：md cm：md點不在直線上點不在直線上此法要求比值能明顯看出不等21(2)MmDmc

10、 Xd cdm dmcmXOCcc dd m HV判斷方法三判斷方法三:據定比性作圖判斷據定比性作圖判斷121(m )22例六例六: 已知已知CAB線段，線段，AC CB1 2求求C點，點，ababX0cc等分線段作圖在畫工程圖上常用到，比如畫樓梯。23 點的投影在直線的同名投影上。點的投影在直線的同名投影上。屬于線段上的點分割線段之比等于其屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比投影之比直線與點小結直線與點小結Back24平行平行相交相交交叉交叉垂直相交垂直相交25 兩直線平行投影特性：投影特性： 空間兩直線平行，則其各同名投同名投影影必相互平行，反之亦然。aVHc bcdABCDb d a

11、 （一）兩直線平行（一）兩直線平行26abcdc a b d 對于對于一般位置直一般位置直線線，只要有兩個同名，只要有兩個同名投影互相平行，即可投影互相平行，即可判定空間兩直線平行判定空間兩直線平行AB/CD兩直線平行兩直線平行（續續1）27b ab d c a cbdd a c 對于對于特殊位置直線特殊位置直線，只有兩個同名投影互相只有兩個同名投影互相平行，空間兩直線不一平行，空間兩直線不一定平行。定平行。求出側面投影后可知求出側面投影后可知： ABAB與與CDCD不平行。不平行。例例2 2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。方法一：求出方法一：求出側面投影側面投影如何判

12、斷？如何判斷？兩直線平行兩直線平行（續續2）28判斷方法二：判斷方法二：badd b a c cXO將判斷直線將判斷直線ABAB與與CDCD轉換為判斷直轉換為判斷直線線ADAD與與CBCB。見圖。見圖設設ABAB與與CDCD兩直線平行，則兩直線平行，則A A、B B、C C、D D四點共面四點共面因為因為 ADAD與與CBCB為交叉兩直線為交叉兩直線, ,所以所以A A、B B、C C、D D四點不共面四點不共面，這與前述，這與前述假設矛盾，假設錯誤。假設矛盾，假設錯誤。所以所以 直線直線ABAB、CDCD是交叉兩直線是交叉兩直線兩直線平行兩直線平行（續續3）29HVcABCDKabdka b

13、 c k d abcdb a c d kk 投影特點：投影特點：若空間兩直線相交則：若空間兩直線相交則：1 1、其同名投影必相交、其同名投影必相交 2 2、交點的投影、交點的投影必符合空間點的投影規律必符合空間點的投影規律投影交點的連線垂直于投影軸投影交點的連線垂直于投影軸交點是兩直交點是兩直線的共有點線的共有點30cabb a c d k kd例：過例：過C C點點作水平線作水平線CDCD與與ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影兩直線相交（續兩直線相交（續1）31a直線相交（續直線相交（續2）例七：已知三條直線A、B、C，作直線DE平行直線C，并與直線A、B交于D、E點abbcced

14、ed注意平行、相交及投影面垂直線的投影特點32d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但投影的交點投影的交點不符合空間不符合空間一個點的投影規律一個點的投影規律。 同名投影可能平行，但同名投影可能平行，但不可能三個同名投影都不可能三個同名投影都平行平行、是面的重影點，是面的重影點，、是是H面的重影點。面的重影點。為什么？為什么？3 4 兩直線相交嗎？兩直線相交嗎？12 投影的投影的交點是兩直線上交點是兩直線上一一 對對重影點的投影重影點的投影。33IIIIIIVCcVH1(2)3(4)ABDabba dc d 判斷重影點的可判斷重影

15、點的可見性時，需要看重影見性時，需要看重影點在另一投影面上的點在另一投影面上的投影，離投影面遠的投影，離投影面遠的點投影可見，反之不點投影可見，反之不可見，不可見點的投可見，不可見點的投影加括號表示。影加括號表示。判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性341例八例八 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c分析 點若為交點，則它同時位于兩條直線上。它顯然位于AB上，是否位于CD上，則需要作圖判斷 結論 點只屬于AB,不屬于CD，所以不是交點，AB、CD是交叉兩直線。35bdcac(d)例九： 判定下列圖中兩直線的相對位置abcdacdabcababdcbd

16、abcddcab交叉相交平行交叉36 平行平行 相交相交 交叉（異面）交叉（異面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交點是兩直線的共有同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規律。點，且符合空間一個點的投影規律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交點交點”不符合空間一個點的投影規律。不符合空間一個點的投影規律。“交交點點”是兩直線上一對重影點的投影。是兩直線上一對重影點的投影。兩直線的相對位置小結37直角的投直角的投影定理：影定理： 若兩直線垂直，其中至少有一邊平行于投若兩直線垂直，其中至少有一邊平行于投影面，則它們在該投影面上的投影仍垂直。影面

17、，則它們在該投影面上的投影仍垂直。設設 直角邊直角邊BC/H面面因因 BCAB, 同時同時BCBb所以所以 BCABba平面平面直線在直線在H面上的投影互相垂直面上的投影互相垂直即即 abc為直角為直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.證明：證明：38 若兩直線的投影垂直，其中至少有若兩直線的投影垂直，其中至少有一條線平行該投影面，則兩直線垂直一條線平行該投影面，則兩直線垂直直角投影直角投影逆定理：逆定理：設設 直角邊直角邊BC/H面面因因 bcBb, bcab所以所以 bcABba平面平面直線在直線在H面上的投影互相垂直面上的投

18、影互相垂直即即 ABC為直角為直角所以所以 BCAB所以所以 BC ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.證明：證明：39cabcbcaXO分析：AB為水平線，在H面上反映直角有無窮多解為什么？例例1010：過點作直線垂直于過點作直線垂直于, ,為任意長度為任意長度40兩條互相垂直的直線，如果其中有一條是水平線，則它們的水平投影互相垂直兩條互相垂直的直線，如果其中有一條是水平線，則它們的水平投影互相垂直兩條互相垂直的直線，如果其中有一條是正平線，則它們的正面投影互相垂直兩條互相垂直的直線，如果其中有一條是正平線，則它們的正面投影互相垂直ccbaabmnefefnmbbacaceemnnffm41f例例11 11 過點過點E E 作線段作線段ABAB、CD CD 的公垂線的公垂線EFEF。fOcbaabXcddee分析1.題給條件未說明是相交垂直，一般情況下是交叉垂直2.EF垂直正平線AB，其正面投影必定呈現垂直，同理ef與cd垂直42aacdcdbbb0ab0=所求距離例12：確定點A到正平線CD的距離XO43c (d)e例例1313：求直線：求直線ABAB和和CDCD的距