1、第五節 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式輔助角公式：輔助角公式：222222cos;sin),sin(cossinbaababxbaxbxa 其其中中一、溫故知新一、溫故知新 sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(: 正正弦弦公公式式 sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(: 余余弦弦公公式式 tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan( 正正切切公公式式：二、二倍角公式的變形二、二倍角公式的變形 22sin22cos1,cos22cos1 升冪公式升冪公式降冪公式降冪公式 2sin1)cossin(22c

2、os1sin,22cos1cos222 一、溫故知新一、溫故知新 cossin22sin 2222sin212cos1cos22cossincos2cos 2tan1tan22tan 二倍角公式二倍角公式 二倍角公式中的二倍角公式中的sin2,cos2sin2,cos2能否用能否用tantan來表示？來表示？ 提示提示: :能能. . 2222sin cos2tansin22sin cossincos1tan ，22222222cossin1tancos2cossin.cossin1tan 1.cos331.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177的值為的

3、值為( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析解析】選選B.cos33B.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177=cos33=cos33sin3sin3-sin33-sin33cos3cos3=sin(3=sin(3-33-33)=-sin30)=-sin30= .= .12123232122.2.已知已知tan(+)=3,tan(-)=5,tan(+)=3,tan(-)=5,則則tan2=tan2=（ ）(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析】【解析】選選D.tan2=tanD.tan

4、2=tan(+)+(-)(+)+(-)18184747tan()tan()3584.1tan() tan1 3 5147 3.3.如果如果coscos2 2-cos-cos2 2=a=a，則，則sin(+)sin(-)sin(+)sin(-)等于等于（ ）（A A） （B B） （C C）-a -a （D D）a a【解析】【解析】選選C.sin(+)sin(-)C.sin(+)sin(-)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=sin=sin2 2coscos2 2-cos-cos2 2sinsin2 2=

5、(1-cos=(1-cos2 2)cos)cos2 2-cos-cos2 2(1-cos(1-cos2 2)=cos=cos2 2-cos-cos2 2=-a.=-a.a2a21.cos33cos87+sin33cos177的值為的值為2.已知已知tan(+)=3,tan(-)=5,則則tan2=（ ）3tan()42，4.若若 則則2sin2-cos2=_.cos3sin1212若若 則則 =_.1tan2012,1tan1tan2cos2cos103sin10_.1 cos804.4.若若 則則2sin2sin2 2-cos-cos2 2=_.=_.【解析】【解析】由由 得，得，2+2ta

6、n=3-3tan,2+2tan=3-3tan,答案答案: :3tan()423tan()42，1tan3,1tan21tan.5 222222222sincos2tan12sincossincostan1 而212325.126125 23265.5.化簡：化簡： =_.=_.【解析】【解析】答案答案: :cos3sin121213cos3sin2( cossin)12122122122(coscossinsin)3123122cos()2cos2.312421.1.兩角和與差的三角函數公式的理解兩角和與差的三角函數公式的理解(1)(1)正弦公式概括為正弦公式概括為“正余，余正符號同正余，余正

7、符號同”“符號同符號同”指的是前面是兩角和，則后面中間為指的是前面是兩角和，則后面中間為“+”+”號；號；前面是兩角差，則后面中間為前面是兩角差，則后面中間為“-”-”號號. .(2)(2)余弦公式概括為余弦公式概括為“余余，正正符號異余余，正正符號異”. .(3)(3)二倍角公式實際就是由兩角和公式中令二倍角公式實際就是由兩角和公式中令=可得可得. .特別地，對于余弦特別地，對于余弦:cos2=cos:cos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-1=1-2sin2sin2 2，這三個公式各有用處，同等重要，特別是逆用即為，這三個公式各有用處，同等重要，特別

8、是逆用即為“降冪公式降冪公式”，在考題中常有體現，在考題中常有體現. .2.2.弦切互化公式弦切互化公式對于弦切互化對于弦切互化 有時也起到有時也起到簡化解題過程的作用簡化解題過程的作用. . 22tansin21tan ，221tancos21tan 三角函數式的化簡三角函數式的化簡【例【例1 1】化簡下列各式：】化簡下列各式：(1)(1)【審題指導】【審題指導】對于含有根式的三角函數，化簡一般采用倍角對于含有根式的三角函數，化簡一般采用倍角公式轉化為完全平方式后開根號，若含有常數可采用倍角公公式轉化為完全平方式后開根號，若含有常數可采用倍角公式將常數化掉式將常數化掉. .1 sincos(

9、sincos )22022cos ；【自主解答】【自主解答】(1)(1)原式原式因為因為00，所以，所以所以所以所以原式所以原式=-cos.=-cos.2222(2sincos2cos)(sincos )222224cos2cos(sincos)coscos2222.coscos22022，cos0,2【規律方法】【規律方法】三角函數的給角求值或化簡，所給角往往是非三角函數的給角求值或化簡，所給角往往是非特殊角特殊角. .解決的基本思路是：解決的基本思路是： 三角函數的求值三角函數的求值【例【例2 2】(2011(2011東城模擬東城模擬) )已知已知-2cos+sin=0-2cos+sin=

10、0，(, ).(, ).(1)(1)求求sin(+ );sin(+ );(2)(2)求求tan(+ ).tan(+ ).【審題指導】【審題指導】由已知結合同角三角函數關系式可得由已知結合同角三角函數關系式可得sin,sin,cos,tan,cos,tan,從而再利用兩角和的公式可得（從而再利用兩角和的公式可得（1 1）（）（2 2）. .3244【自主解答】【自主解答】(1)(1)由由-2cos+sin=0-2cos+sin=0即即sin=2cos.sin=2cos.又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1得得 又又(, ),(, ),(2)(2)由（由（1 1）可得）可得tan=

11、2tan=2，24sin.5 322 55sin,cos,55 sin()sin coscos sin4442(sincos )222 553 10().25510 1tan12tan()3.41tan12 已知已知cos(+)+cos(-)= sin(+)+sin(-)= 求求(1)tan; 22cos3sin122.2sin()44,53,5【規律方法】【規律方法】三角函數的求值是三角變換中常見題型，它分三角函數的求值是三角變換中常見題型，它分為非條件求值（特殊的化簡）和條件求值為非條件求值（特殊的化簡）和條件求值. .條件求值中又有給值求值和給值求角，此類問題的關鍵是把條件求值中又有給值

12、求值和給值求角，此類問題的關鍵是把待求角用已知角表示：待求角用已知角表示：(1)(1)已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和與差已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和與差. .(2)(2)已知角為一個時，待求角一般與已知角成已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍倍”的關系或的關系或“互余互補互余互補”關系關系. .(3)(3)對于角還可以進行配湊，常見的配湊技巧有：對于角還可以進行配湊，常見的配湊技巧有：= =(+)-=-(-) =(+)-=-(-)= = (+)+(-)(+)+(-)，對于給值求角，關鍵是求該角的某一個三角函數值，再根據對于給值求角，關鍵是求該角的某一個三角函數值，

13、再根據范圍確定角范圍確定角. .12().424 2【互動探究】若將本例中的【互動探究】若將本例中的范圍修改為范圍修改為(0, ),(0, ),則如則如何求何求cos( -2)cos( -2)和和sin( -2)?sin( -2)?【解析】【解析】由本例可得由本例可得: : 又又(0, ),(0, ),故故23624sin,5 2 55sin,cos,55 2 554sin22sin cos2,555 2253cos22cos12 ()1,55 2133425254 3310 （），sin(2 )sincos2cossin26661334()252534 3.10 cos(2 )coscos2

14、sinsin2333 【變式訓練】已知【變式訓練】已知0 0 ，且，且cos(- )=cos(- )= 求求cos(+)cos(+)的值的值. .【解析】【解析】0 ,0 0)x(0)的最的最小正周期為小正周期為 (1)(1)求求的值；的值；（2 2）若函數）若函數y=g(x)y=g(x)的圖象是由的圖象是由y=f(x)y=f(x)的圖象向右平移的圖象向右平移 個個單位長度得到單位長度得到, ,求求y=g(x)y=g(x)的單調增區間的單調增區間. .2.32【審題指導】【審題指導】本例可將原函數平方展開本例可將原函數平方展開, ,利用同角三角函數基利用同角三角函數基本關系式及倍角公式和兩角和

15、與差的逆用化為一個角的一個本關系式及倍角公式和兩角和與差的逆用化為一個角的一個三角函數，再利用周期可求三角函數，再利用周期可求，利用圖象變換可求，利用圖象變換可求g(x)g(x)的單的單調增區間調增區間. .【規范解答】【規范解答】(1)f(x)=sin(1)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x+2sinxcosxx+2sinxcosx+1+cos2x=sin2x+cos2x+2+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,= sin(2x+ )+2,依題意得依題意得 故故(2)(2)依題意得依題意得由由解得解得故故g(x)g(x)的單調增區間為的單調增

16、區間為2422,233.2 5g x2sin3(x)22sin(3x)2.24452k3x2k(kZ)242227kxkkZ .34312227k,kkZ .34 312【規律方法】【規律方法】高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數性質中二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數性質中. .需要利用需要利用這些公式，先把函數解析式化為這些公式，先把函數解析式化為y=Asin(x+ )y=Asin(x+ )的形式，再的形式，再進一步討論其定義域、值域和最值、單調性、奇偶性、周期進一步討論其定義域、值域和最值、單調性、奇偶

17、性、周期性、對稱性等性質性、對稱性等性質. .【變式備選】已知【變式備選】已知f(x)=sinf(x)=sin2 2x(0)x(0)的最小正周期為的最小正周期為.求求函數函數f(x)f(x)在區間在區間 上的值域上的值域. .【解析】【解析】= - cos2x= - cos2x，其周期為，其周期為.=1.f(x)=- cos2x+ .=1.f(x)=- cos2x+ .當當xx0, 0, 時，時，2x2x0, 0, . .cos2xcos2x-1,1-1,1.f(x).f(x)0,10,1. .203， 21 cos2 xf xsinx2 121212122343【變式訓練】已知函數【變式訓練

18、】已知函數 (0)(0)的最小正周期為的最小正周期為.(1)(1)求求f(x);f(x);(2)(2)當當xx 時，求時，求f(x)f(x)的值域的值域. . 2f xsinx3sin xsin( x)2 ,12 2 三角函數、三角恒等變換的綜合問題三角函數、三角恒等變換的綜合問題【典例】（【典例】（20102010湖南高考）已知函數湖南高考）已知函數(1)(1)求函數求函數f(x)f(x)的最大值；的最大值；(2(2）求函數）求函數f(x)f(x)的零點的集合的零點的集合. .【審題指導】【審題指導】由已知利用降冪公式及由已知利用降冪公式及 將函數化為同一個角的三角函數，而后求解即可得將函數

19、化為同一個角的三角函數，而后求解即可得結果結果. .第第(2)(2)問可解方程求解問可解方程求解. . 2f x3sin2x2sin x.22asinxbcosxabsin(x) 兩角和與差及倍角公式解答題的答題技巧兩角和與差及倍角公式解答題的答題技巧【典例】（【典例】（1212分）（分）（20102010北京高考）已知函數北京高考）已知函數f(x)=2cos2x+sinf(x)=2cos2x+sin2 2x.x.(1)(1)求求 的值；的值；(2(2) )求求f(x)f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. .【審題指導】【審題指導】利用倍角公式展開和同角三角函數關系轉化求利用倍角公式展開

20、和同角三角函數關系轉化求解，也可利用倍角公式逆用轉化求解解，也可利用倍角公式逆用轉化求解. .f( )3【規范解答】【規范解答】方法一方法一: : 4 4分分(2)f(x)=2(2cos(2)f(x)=2(2cos2 2x-1)+(1-cosx-1)+(1-cos2 2x)x)=3cos=3cos2 2x-1,xR.x-1,xR.cosxcosx-1,1-1,1,cos,cos2 2xx0,10,1，1010分分當當cosx=cosx=1 1時時,f(x),f(x)maxmax=2.=2.當當cosx=0cosx=0時，時，f(x)f(x)minmin=-1. 12=-1. 12分分21f(

21、)2cos(2)sin333（ ）22312cossin1.3344 方法二方法二:(1):(1)由由f(x)=2cos2x+sinf(x)=2cos2x+sin2 2x x得得 4 4分分(2)xR,cos2x(2)xR,cos2x-1,1-1,1. . 9 9分分 1212分分 1cos2x31f x2cos2xcos2x222，321311f( )cos.3232424 max31f x2,cos2x1,22此時 min31f x1,cos2x1.22 此時【失分警示】【失分警示】本題考查二倍角公式的正用、逆用及其性質，本題考查二倍角公式的正用、逆用及其性質，屬容易題，掌握好公式是關鍵，

22、其失分原因主要有：一是特屬容易題，掌握好公式是關鍵，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函數值記不清，二是運算錯誤造成失分殊角的三角函數值記不清，二是運算錯誤造成失分. .解決此類問題的失分點主要是：解決此類問題的失分點主要是：1.1.不能對所給函數式準確化簡造成失分不能對所給函數式準確化簡造成失分. .2.2.求最值或取值范圍問題忽略相應變量的取值范圍造成失分求最值或取值范圍問題忽略相應變量的取值范圍造成失分. .【變式訓練】已知函數【變式訓練】已知函數f(x)=sinf(x)=sin2 2x+ sinxsin(x+ )x+ sinxsin(x+ )(0)(0)的最小正周期為的最小正周期為.(

23、1)(1)求求的值；的值；(2)(2)求函數求函數f(x)f(x)在區間在區間0 0， 上的取值范圍上的取值范圍. .3223【解析】【解析】 函數函數 的最小正周期是的最小正周期是_. 2f xsin (2x)42.（2010全國全國）已知）已知 則則cos(-2)=（ ）(A) (B) (C) (D)2sin,3 53191953已知已知為第二象限角，為第二象限角， 則則tan2=_.3sin,5 1.(20111.(2011福州模擬福州模擬) )將函數將函數 的圖象向左平的圖象向左平移移m m個單位個單位(m0)(m0)，若所得圖象對應的函數為偶函數，則，若所得圖象對應的函數為偶函數，則

24、m m的最的最小值是小值是( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析】【解析】選選A.A.由由 向左平移向左平移m m個個單位后得單位后得g(x)=2sin(x- +m),g(x)=2sin(x- +m),若若g(x)g(x)是偶函數是偶函數, ,則則m- =m- =k+ (kZ),k+ (kZ),m=k+ (kZ),mm=k+ (kZ),mminmin= .= . f x3sinxcosx233856 f x3sinxcosx2sin(x)666223232.(20102.(2010陜西高考陜西高考) )對于函數對于函數f(x)=2sinxcosxf(

25、x)=2sinxcosx，下列選項中，下列選項中正確的是正確的是( )( )(A)f(x)(A)f(x)在在 上是遞增的上是遞增的(B)f(x)(B)f(x)的圖象關于原點對稱的圖象關于原點對稱(C)f(x)(C)f(x)的最小正周期為的最小正周期為22(D)f(x)(D)f(x)的最大值為的最大值為2 2【解析】【解析】選選B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增區間為其增區間為 kZkZ且且f(x)f(x)是奇函數是奇函數, ,圖象關于原點對稱，圖象關于原點對稱，最小正周期最小正周期T=T=，f(x)f(x)maxmax=1,=1,故

26、選故選B.B.(,)4 2 k,k,443.(20113.(2011銀川模擬銀川模擬) )已知已知 且且sin-cos1,sin-cos1,則則sin2=sin2=（ ）【解析】【解析】選選A.sin= sin-cos1,cos1,cos0,在第二象限，在第二象限，4sin5 4C5 24A25 12B25 24D254,53cos,5 4324sin22sincos2().5525 4.(20114.(2011長沙模擬長沙模擬) )已知已知cos( -)= ,cos( -)= ,則則的值為的值為( )( )【解析】【解析】選選B.B. 1122A B - C D -33336335sin(2

27、 )6 5sin(2 )6 22sin(2 )23cos(2 )2cos () 136312 ()1.33 5.(20115.(2011南通模擬南通模擬) )滿足滿足 的銳角的銳角x=_.x=_.【解題提示】【解題提示】利用兩角和的余弦公式的逆用化為一個角的三利用兩角和的余弦公式的逆用化為一個角的三角函數后解方程可得角函數后解方程可得. .【解析】【解析】由題意知由題意知即即 故故 又因為又因為x x為銳角，為銳角，故故答案答案: :1sinsinxcoscosx,55241sinsinxcoscosx5521cos(x),52 2x2k ,kZ53 ，7x.15715一、選擇題一、選擇題(

28、(每小題每小題4 4分，共分，共2020分分) )1.(20111.(2011山師大附中模擬山師大附中模擬) )若若 則則的值為的值為( )( )【解析】【解析】選選D.D.故故1sin(),63 2cos(2 )3 1177A B C D33991cos()sin(),363 227cos(2 )2cos () 1.339 2.(cos152.(cos15-cos75-cos75)(sin75)(sin75+sin15+sin15)=( )=( )(A) (B) (C) (D)1(A) (B) (C) (D)1【解析解析】選選C.C.原式原式=(cos15=(cos15-sin15-sin1

29、5)(cos15)(cos15+sin15+sin15) )=cos=cos2 21515-sin-sin2 21515=cos30=cos30= .= .122232323.3.已知已知 則則f()f()取得最大值時取得最大值時的值是的值是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D) 1cos2f,(0,),12tan2tan2 64325【解析】【解析】選選B. B. 當當 即即 時，函數時，函數f()f()取得最大值取得最大值. . 222221cos22cosf1tancossin222tan2sincos222cossincossin cos122sin2

30、 ,cos2cossin22 22 ，4 4.(20114.(2011長沙模擬長沙模擬) )函數函數y=2sin( -x)-cos( +x)y=2sin( -x)-cos( +x)(x(0,)(x(0,)，則函數，則函數( )( )(A)(A)有最小值有最小值-1,-1,無最大值無最大值(B)(B)有最大值有最大值1 1，無最小值，無最小值(C)(C)有最小值有最小值 最大值最大值1 1(D)(D)有最小值有最小值-1-1，最大值，最大值365,5【解析】【解析】選選A.y=2sin cosx-2cos sinx-A.y=2sin cosx-2cos sinx-cos cosx+sin sinxcos cosx+sin sinx= cosx- sinx=co