1、質點動力學質點動力學 第1頁 共21頁在傾角在傾角30的光滑斜面（固定的光滑斜面（固定于水平地面）上有兩物體通過滑輪相于水平地面）上有兩物體通過滑輪相連，已知連，已知m1=3kg ，m2 =2kg ，且滑，且滑輪和繩子質量可略試求每一物體的輪和繩子質量可略試求每一物體的加速度加速度a 及繩子的張力及繩子的張力FT （重力加速（重力加速度度g 取取9.80m s-2 ） 1122sin30TTFm gm am gFm a TTFF20.98m s,a17.64NTF質點動力學質點動力學 第2頁 共21頁將質量分別為將質量分別為m1 ，m2，m3 和和m 的四個物體連接，桌的四個物體連接，桌面與這

2、些物體之間的摩擦系數都是面與這些物體之間的摩擦系數都是 . 設桌子與滑輪位置設桌子與滑輪位置不變，繩子質量、滑輪質量及繩與滑輪間的摩擦可忽略不不變，繩子質量、滑輪質量及繩與滑輪間的摩擦可忽略不計求該系統的加速度以及各物體之間的張力計求該系統的加速度以及各物體之間的張力FT1 、FT2 、FT3 可將可將m1 、m2 、m3 視為一整體視為一整體并設并設FN 為三物體共同為三物體共同對桌面的總壓力對桌面的總壓力33123123()()TTNNmgFmaFFmmm aFmmm g1231231233123()(1)()TmmmmagmmmmmmmmFgmmmm質點動力學質點動力學 第3頁 共21頁

3、FTm 為研究對象為研究對象FT 以以m 為研究對象為研究對象111TFm gm a111123()(1)TFm agmm gmmmm2122TTFFm gm a122123(1)()Tmm mgFmmmm質點動力學質點動力學 第4頁 共21頁質量為質量為M 的斜面裝置的斜面裝置,可在水可在水平面上做無平面上做無摩擦的滑動摩擦的滑動, 斜面傾角為斜面傾角為 , 斜面上放一質量為斜面上放一質量為m 的木塊的木塊,也可也可做無摩擦的滑動做無摩擦的滑動. 現要保證木塊現要保證木塊m 相相對于斜面靜止不動對于斜面靜止不動, 問對問對M 需作用的需作用的水平力水平力F0 有多大？有多大？ 此時此時m 與

4、與M 間的間的正壓力為多大？正壓力為多大？ M 與水平面間的正與水平面間的正壓力為多大？壓力為多大？m 相對相對M 靜止，則靜止，則m 與與M 應有應有相同的加速度相同的加速度用隔離體法分別畫出用隔離體法分別畫出M與與 m的示力圖的示力圖牛頓運動定律列出方程牛頓運動定律列出方程質點動力學質點動力學 第5頁 共21頁對于Mx方向MaFFNsin0y方向0NF conmg對于mx方向sinNFmay方向0NNF conMg()NmM gNNFF,cosNNmgFF0() tanFMm g質點動力學質點動力學 第6頁 共21頁小球在水平面內運動，則作用在小球小球在水平面內運動，則作用在小球上的張力上

5、的張力FT 和重力和重力mg 均在豎直平面內，均在豎直平面內，這是一個圓錐擺擺長為這是一個圓錐擺擺長為 ,小球質量為小球質量為m , 欲使小球欲使小球在錐頂角為在錐頂角為 的圓周內做勻速圓周運動，給予小球的速率的圓周內做勻速圓周運動，給予小球的速率應為多大？應為多大？ 此時繩子的張力此時繩子的張力FT 有多大？有多大？l設某一任意時刻設某一任意時刻, 在在FT 和和mg 所在平面內將所在平面內將力進行分解力進行分解小球在豎直方向沒有運動小球在豎直方向沒有運動0cosmgFT水平方向的分力恰好是小球做圓周運動的向心力水平方向的分力恰好是小球做圓周運動的向心力rmFT2sinvsin2lmvgsi

6、n,coslvcosTmgF質點動力學質點動力學 第7頁 共21頁取豎直向下為正方向取豎直向下為正方向,一質量為一質量為m 的物體在流體中下落的物體在流體中下落,物體所受到的黏滯物體所受到的黏滯阻力與物體運動速率成正比阻力與物體運動速率成正比,即即 .設物體受到的浮設物體受到的浮力為力為F,求該物體在下落過程中下落速率求該物體在下落過程中下落速率 和時間和時間t 的關系的關系式，以及終極速率式，以及終極速率 t （設（設t =0 時時, = 0）lddmgFkmamtvvdd,tmgFkmvv00ddttmgFkmvvv(1) ,ktmmgFekv,mgFtk vf = -kvvvv質點動力學

7、質點動力學 第8頁 共21頁t 時刻時刻 m , t +t 時刻時刻 m +m ，車廂速率，車廂速率不變不變一輛運沙車以一輛運沙車以2m s-1 的速率從卸沙漏斗正下方駛過，的速率從卸沙漏斗正下方駛過，沙子落入運沙車廂的速率為沙子落入運沙車廂的速率為400kg s-1 要使車廂速率保要使車廂速率保持不變，需要多大的牽引力拉車廂？（設車廂和地面鋼軌持不變，需要多大的牽引力拉車廂？（設車廂和地面鋼軌的摩擦力可略）的摩擦力可略）水平方向上動量增量為水平方向上動量增量為()pmmm vvm v根據動量定理根據動量定理ptFtpFmtv400 2800(N)質點動力學質點動力學 第9頁 共21頁根據根據

8、動量定理微分形式動量定理微分形式一質量為一質量為1kg 的質點在變的質點在變力力F =6 t (N )作用下沿作用下沿x 軸軸運動，設運動，設t =0 時，質點速率時，質點速率 0= 2m s-1 ，質點位，質點位x0=0 m ，試求質點在試求質點在1s 末的速率和坐標位置末的速率和坐標位置ddF tmvddF tmv6 d,t tm201d6 dtt tmvv2203ttvv111 ,5m stsv又由又由dddxtvdddxtv得得1200d(23 )dxxtt2,23,tv3100(2)xxtt，3mx v質點動力學質點動力學 第10頁 共21頁水平方向不受力水平方向不受力,動量守恒動量

9、守恒一輛靜止在水平光滑軌道上且質量為一輛靜止在水平光滑軌道上且質量為M 的平板車上的平板車上站著兩個人站著兩個人,設人的質量均為設人的質量均為m ,試求他們從車上沿同方向試求他們從車上沿同方向以相對于平以相對于平板車水平速率板車水平速率u 同時跳下和依次跳下時平板車同時跳下和依次跳下時平板車的速率大小的速率大小(1)兩個人同時跳下兩個人同時跳下,取取人和平板車為一個系統人和平板車為一個系統,設兩人跳下后平板車的速率為設兩人跳下后平板車的速率為 , 人相對地的速率為人相對地的速率為02()Mmuvv22muMmv(2)兩個人兩個人依次依次跳下跳下,先取先取人和平板車為一個系統人和平板車為一個系統

10、，設第一個人跳下后平板車的速率為設第一個人跳下后平板車的速率為 1 110()()Mmmuvv12muMmv第二個人跳下時，取第二個人跳下時，取平板車和平板車和人為一個系統人為一個系統，設第二個人跳下后平板車的速率為設第二個人跳下后平板車的速率為 2122()()MmMmuvvv22mumuMmMmvvuvvv質點動力學質點動力學 第11頁 共21頁水平方向水平方向動量動量守恒守恒一炮彈以速率一炮彈以速率 0沿仰角沿仰角 的方向發射出去后的方向發射出去后,在達到在達到最高點處爆炸為質量相等的兩塊最高點處爆炸為質量相等的兩塊,一塊以一塊以45仰角向上飛仰角向上飛,一塊以一塊以30的俯角向下沖的俯

11、角向下沖,求剛爆炸后這兩塊碎片的速率各求剛爆炸后這兩塊碎片的速率各為多大（炮彈飛行時的空氣阻力不計）為多大（炮彈飛行時的空氣阻力不計） ?得得0122coscos45cos30mmmvvv在爆炸的瞬間，炮彈受的重力相對于爆炸內力可忽略在爆炸的瞬間，炮彈受的重力相對于爆炸內力可忽略方向方向動量動量近似守恒近似守恒120sin45sin30mmvv014cos,26vv024cos13vvv質點動力學質點動力學 第12頁 共21頁沿沿y 方向的位移始終為零方向的位移始終為零質點質點M 在力在力F 作用下沿坐標軸作用下沿坐標軸ox 運動運動,力力F 的大的大小和方向角小和方向角 隨隨x 變化的規律分

12、別為變化的規律分別為F = 3x ,cos=0.8-0.2x ,其其中中F 的單位為的單位為N , x 、y 的單位為的單位為m .試求質點從試求質點從x1=2m處運動處運動到到x2=3m 處的過程中處的過程中,力力F所做的功所做的功ddcos d3 (0.80.2 )dxWF xFxxxx213223 (0.80.2 )d(2.40.6)d2.2JxxWxxxxxx質點動力學質點動力學 第13頁 共21頁自然下垂自然下垂時時B 端端為為坐標坐標原點原點，一條長為一條長為 、質量為、質量為M 的勻質軟繩的勻質軟繩, 其其A 端掛在屋端掛在屋頂的鉤子上頂的鉤子上, 自然下垂自然下垂. 再將再將B

13、 端沿豎直方向提高到與端沿豎直方向提高到與A 端端同一高度處同一高度處, 求該過程中重力所作的功求該過程中重力所作的功l重力在位移元重力在位移元dy 上做的元功為上做的元功為繩提起部分所受重力為繩提起部分所受重力為yglM211dd2MWyg yl 總總功為功為011dd24lMWWyg yM gll B 端端為為坐標為坐標為y 時時質點動力學質點動力學 第14頁 共21頁由動能定理由動能定理一個質量為一個質量為m 的小球系在輕繩的一端的小球系在輕繩的一端, 繩的另一端固繩的另一端固定在定在O點點, 繩長為繩長為 .若先拉動小球使繩保持水平靜止若先拉動小球使繩保持水平靜止, 然后松然后松手使小

14、球下落手使小球下落. 求當繩與水平夾角為求當繩與水平夾角為 時小球的速率時小球的速率l0cos dsinABWmgmgl 小球從小球從A 落到落到B 的過程中，的過程中，合外力合外力 對它做的功為對它做的功為TFmgdBAmgrd cosBAmgrddrl() dBABTAWFmgr21,2ABWmv0,ABvvv221122ABBAbAWEEmmvv2singlv質點動力學質點動力學 第15頁 共21頁 由動由動能能定理定理一質量為一質量為10kg 的物體沿的物體沿x 軸無摩擦地滑動軸無摩擦地滑動,t =0 時時物體靜止于原點物體靜止于原點. (1) 若物體在力若物體在力F =3 + 4 t

15、（ N）的作用下）的作用下運動了運動了3 s , 它的速率增為多大它的速率增為多大? (2) 物體在力物體在力F =3+ 4x（ N）的作用下移動了的作用下移動了3m , 它的速率增為多大？它的速率增為多大？得得0d0tF tmv0dtFtmv3034d10tt-12.7m s 由動量定理由動量定理201d02xF xmv320022(34 )dd10 xFxxxmv12.3m sv質點動力學質點動力學 第16頁 共21頁 一輕繩跨過一個定滑輪一輕繩跨過一個定滑輪, 兩端分別拴有質量為兩端分別拴有質量為m 及及M 的物體的物體, M 離地面的高度為離地面的高度為h , 若滑輪質量及摩擦力不計若

16、滑輪質量及摩擦力不計, m 與桌面的摩擦也不計與桌面的摩擦也不計, 開始時兩物體均為靜止開始時兩物體均為靜止, 求求M 落到地落到地面時的速率面時的速率 (m 始終在桌面上始終在桌面上). 若物體若物體m 與桌面的靜摩與桌面的靜摩擦系數與動摩擦系數均為擦系數與動摩擦系數均為, 結果如何？結果如何？物體物體m 與桌面有摩擦與桌面有摩擦, 根據功能原理根據功能原理以以m 和和M 及地球作為系統及地球作為系統,系統的機械能守恒系統的機械能守恒22111122mMMghvv12MghmMv22111122mghmMMghvv12()Mm ghmMvv質點動力學質點動力學 第17頁 共21頁 一勁度系數

17、為一勁度系數為k 的彈簧上端固定的彈簧上端固定, 下下端掛一質量為端掛一質量為m 的物體的物體. 先用手托住，使彈簧保持原長先用手托住，使彈簧保持原長 . 設設x 軸向下為正軸向下為正, 取彈簧原長處為坐標原點取彈簧原長處為坐標原點O. (1) 若將物體托住而緩慢若將物體托住而緩慢放放下下, 達靜止時達靜止時, 彈簧的最大伸長量彈簧的最大伸長量x1 是多少？是多少？(2)若將物體突然若將物體突然放手放手, 物體到達最低位置時物體到達最低位置時, 彈簧的伸長彈簧的伸長x2 是多少？是多少？取物體、彈簧和地球為系統取物體、彈簧和地球為系統 緩慢放下，物體在整個下落過程中，可以緩慢放下，物體在整個下

18、落過程中，可以近似認為是受力平衡的到達平衡位置時靜止近似認為是受力平衡的到達平衡位置時靜止 若突然放手若突然放手, 系統在物體下落的過程中外力做功系統在物體下落的過程中外力做功和非保守內力做功都為零和非保守內力做功都為零, 系統機械能守恒系統機械能守恒,210222mgxkx ,01kxmgkmgx 122mgxk質點動力學質點動力學 第18頁 共21頁 要使飛船脫離地球的引力范圍要使飛船脫離地球的引力范圍, 求從地面發射該飛求從地面發射該飛船的速度最小值（第二宇宙速度）為多大？船的速度最小值（第二宇宙速度）為多大？ 選飛船和地球為研究對象選飛船和地球為研究對象, 系統機械能應守恒系統機械能應

19、守恒飛船剛離開地面時的速度飛船剛離開地面時的速度 ，飛船遠離地球時的速度，飛船遠離地球時的速度vv選取無限遠處為萬有引力勢能的零點選取無限遠處為萬有引力勢能的零點2211()022MmmGmR vv當飛船離地球越來越遠時，引力勢能當飛船離地球越來越遠時，引力勢能 0 ，取取 02GMRv111.2km sv速度最小值速度最小值kg105.977M,m104 . 6246Rv質點動力學質點動力學 第19頁 共21頁試利用角動量守恒定律證明關于行星運動的開普勒試利用角動量守恒定律證明關于行星運動的開普勒第二定律：在太陽系中一行星對太陽的位矢在相等的時間第二定律：在太陽系中一行星對太陽的位矢在相等的

20、時間內掃過的面積相等即掠面速度不變內掃過的面積相等即掠面速度不變任一行星在太陽任一行星在太陽(位于位于o 點點)的的萬有引力場中做橢圓軌道運動萬有引力場中做橢圓軌道運動行星對太陽的角動量守恒行星對太陽的角動量守恒0LrmLv路程掃過的面積為掃過的面積為11ddsind22Srsrt面積v行星的掠面速度為行星的掠面速度為d1sin2Srdt面積v常量12rv2Lm02LmddStv質點動力學質點動力學 第20頁 共21頁擊中瞬時擊中瞬時, 沿沿 0 方向動量守恒，方向動量守恒，在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上, 放著質量為放著質量為M 的木塊的木塊, 木塊木塊與一彈簧相連與一彈簧相連, 彈簧的另一端固定在彈簧的另一