1、第二次第二次 測測 驗驗 )2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn 公式公式)1(稱為二元函數稱為二元函數),(yxf在點在點),(00yx的的n階泰勒公式階泰勒公式, ,而而nR的表達式的表達式)2(稱為稱為拉格朗日型拉格朗日型余項余項. .00000020000100(,)(,)(,)11(,)(,)2!1(,),(01)(1)!nnf xh ykf xyhkf xyxyhkf xyhkf xyxynxyhkf xh yknxy(1) ) 3 (,!122)1(maxsincos!1!1112 1 , 0111nnnnnnMnxxnMkhnMR利用其中其中.22k

2、h 由由)3(式式可可知知, ,誤誤差差nR是是當當0 時時比比n 高高階階的的無無窮窮小小. .說明：說明：)sink,cos(h 22kh)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn當當0 n時時, ,公公式式)1(成成為為),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式稱為上式稱為二元函數的拉格朗日中值公式二元函數的拉格朗日中值公式. 在在泰泰勒勒公公式式)1(中中, ,如如果果取取0, 000 yx, ,則則)1(式式成成為為n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0

3、, 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函數求函數)1ln(),(yxyxf 的三階麥的三階麥克勞林公式克勞林公式. .解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0

4、(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0 , 0( f, ,故故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR1 1、二元函數的泰勒公式；、二元函數的泰勒公式；四、小結四、小結2 2、二元函數的拉格朗日中值公式；、二元函數的拉格朗日中值公式；n3 3、 階麥克勞林公式；階麥克勞林公式；4 4、極值充分條件的證明、極值充分條件的證明.

5、 .第九節第九節 多元函數的極值多元函數的極值及其求法及其求法一、多元函數的極值一、多元函數的極值二、多元函數最大值和最小值二、多元函數最大值和最小值三、條件極值的拉格朗日乘數法三、條件極值的拉格朗日乘數法 設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于有定義，對于該鄰域內異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數，則稱函數在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數在，則稱函數在),(00

6、yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數極值的定義、二元函數極值的定義極極大大值值、極極小小值值統統稱稱為為極極值值. .使使函函數數取取得得極極值值的的點點稱稱為為極極值值點點. .例例1 1處處有有極極小小值值在在函函數數)0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數函數)0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數函數)0 , 0(xyz zxyoxyzoxyzoxyzo定定理理 1 1（必必要要條條件件）設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx具具有有偏偏導導數數，且且在在點點),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點點的的偏偏導導數數必必然然

7、為為零零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數取得極值的條件、多元函數取得極值的條件不不妨妨設設),(yxfz 在在點點),(00yx處處有有極極大大值值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內內任任意意 ),(yx),(00yx都有都有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當當0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數說明一元函數),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣 如如果果三三元元函函數數),(zyxfu 在在點

8、點),(000zyxP具具有有偏偏導導數數，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要條條件件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例如例如, 點點)0 , 0(是函數是函數xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的的點，均稱為函數的駐點駐點.駐點駐點極值點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？定定理理 2 2（充充分分條條件件）設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx的的

9、某某鄰鄰域域內內連連續續，有有一一階階及及二二階階連連續續偏偏導導數數，注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論證證

10、 依二元函數的依二元函數的一階一階泰勒公式，泰勒公式，對對于于任任一一)(),(0100PUkyhx 有有),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6()1( 設設02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因),(yxf的的二二階階偏偏導導數數在在)(01PU內內連連續續, ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在點點0P的的鄰鄰域域)()(0102PUPU , ,使使得得對對任任一一)(),(0200PUkyhx 有有

11、. 02 xyyyxxfff)8(注注: :將將),(yxfxx在在點點),(00kyhx 處處的的 值值記記為為xxf, ,其其他他類類似似. . 由由)8(式式可可知知, ,當當)(),(0200PUkyhx 時時, ,xxf及及yyf都都不不等等于于零零且且兩兩者者同同號號. .于于是是)6(式式可可寫寫成成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 當當kh、不不同同時時為為零零且且)(),(0200PUkyhx 時時, ,上上式式右右端端方方括括號號內內的的值值為為正正, ,所所以以f 異異于于零零且且與與xxf同同號號. . 又又由由),(yxf的的二二階階偏偏導導

12、數數的的連連續續性性知知xxf與與A同同號號, ,因因此此f 與與A同同號號, ,當當0 A時時),(00yxf為為極極小小值值, ,當當0 A時時),(00yxf為為極極大大值值. .)2( 設設02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先先假假定定, 0),(),(0000 yxfyxfyyxx則則. 0),(00 yxfxy分分別別令令hk 及及hk , ,則則由由)6(式式可可得得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyh

13、xfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其其中中.1,021 當當0h時時, ,以以上上兩兩式式方方括括號號內內的的式式子子分分別別趨趨于于極極限限),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 從而當從而當h充分接近零時充分接近零時, ,兩式方括號內的值有兩式方括號內的值有相反的符號相反的符號, ,因此因此f 可取不同符號的值可取不同符號的值, ,所以所以),(00yxf不是極值不是極值. .).,(21002yhxfhfxx 當當h充充分分接接近近零零時時, , f 與與),(00yxfxx同同號號. .但但如如果果取取 ,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy 其其中中

14、s是是異異于于零零但但充充分分接接近近于于零零的的數數, ,則則可可發發現現, ,當當s充充分分小小時時, , f 與與),(00yxfxx異異號號. . 如如此此證證明明了了: :在在點點),(00yx的的任任意意鄰鄰近近, , f 可可取取不不同同符符號號的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是極極值值. .)3(考察函數考察函數42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 求求函函數數),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數數解解，得得駐駐點點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點)

15、,(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數數的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z確定的函數確定的函數),(yxfz 的極值的極值將將方方程程兩兩邊邊分分別別對對yx,求求偏偏導導 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數數取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點點為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導導數數,解解,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,

16、函函數數在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代入原方程代入原方程,有有6, 221 zz,當當21 z時時，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當當62 z時時，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值.求最值的一般方法求最值的一般方法： 與一元函數相類似，我們可以利用函數的與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值極值來求函數的最大值和最小值.3 3、多元函數的最值、多元函數的最值求出 ),(yxf在 D內的所有駐點及不可導點處的函數值： ),(., ),( ),(2211mmyxfyxfyxf求出 ),(yxf D的邊界上的最

17、大值和最小值：通過比較，得到在 ),(yxf在 D上的最大值和最小值。(1) 一般問題較復雜較復雜(2) 實際問題根據實際問題的性質，可知函數 ),(yxf的最值(最大值或最小值)一定在D 的內部取到，而函數在D 內又只有一個駐點，那么，可以斷定函數在該駐點處的值就是函數 ),(yxf在 D 上的最值(最大值或最小值).較簡單較簡單例例 5 5 求求二二元元函函數數)4(),(2yxyxyxfz 在在直直線線6 yx，x軸軸和和y軸軸所所圍圍成成的的閉閉區區域域D上上的的最最大大值值與與最最小小值值.解解先先求求函函數數在在D內內的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖如圖,解方程組解方程組 0)

18、4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得區域得區域D內唯一駐點內唯一駐點)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大

19、值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得得駐駐點點)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所所以以最最大大值值為為21，最最小小值值為為21 .因因為為01lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件外，并無其他條件.實例：實例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他種急需物品：計算機

20、磁盤和錄音磁帶，設他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數為效果函數為 設每張磁設每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達到最佳效果元以達到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實質：求問題的實質：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點yxyxUlnln),( 200108 yx三、條件極值拉格朗日乘數法三、條件極值拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 要找函數要找函數),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點，可能極值點，先構造函數先構造函數),(),(),(yxyx

21、fyxF ，其中其中 為某一常數，可由為某一常數，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點的坐標就是可能的極值點的坐標.條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數要找函數),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構造函數先構造函數 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為

22、常數，可由均為常數，可由 偏導數為零及條件解出偏導數為零及條件解出tzyx,，即得極值點的坐標，即得極值點的坐標.求條件極值的方法求條件極值的方法 (1)將條件極值化為無條件極值將條件極值化為無條件極值 有時可以把條件極值問題化為無條件極值問題有時可以把條件極值問題化為無條件極值問題. . 這就把求條件極值問題轉化成了求無條件極值問題這就把求條件極值問題轉化成了求無條件極值問題. . 方法：從約束條件中求出隱函數，把求得的隱函數方法：從約束條件中求出隱函數，把求得的隱函數 代入目標函數代入目標函數 (2)用拉格朗日乘數法用拉格朗日乘數法 在多數情況下較難把條件極值轉化為無條件極值在多數情況下較

23、難把條件極值轉化為無條件極值, , 需要需要用一種求條件極值的專用方法用一種求條件極值的專用方法, , 這就是拉格朗日乘數法這就是拉格朗日乘數法. . v拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 1、 要找函數要找函數z f(x, , y)在附加條件在附加條件 (x, , y) 0下的可能極值點下的可能極值點, , 可以先作輔助函數：可以先作輔助函數： F(x, , y) f(x, , y) (x, , y), , (拉格朗日函數拉格朗日函數) 其中其中 為某一常數為某一常數(拉格朗日乘子拉格朗日乘子). . 4、對于所求得的可能的極值點對于所求得的可能的極值點, ,用極值判別法判定，用極值判別法判定，

24、在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定. . 0),(0),(),(),(0),(),(),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx. 2、對輔助函數分別關于對輔助函數分別關于 求偏導數，得到方程組：求偏導數，得到方程組： , ,x y3、解方程組，得駐點。解方程組，得駐點。 （方程組的解方程組的解(x, y)就是所要求的可能的極值點就是所要求的可能的極值點,） （未必解出）。函數的最大值、最小值問題函數的最大值、最小值問題1、若最大值或最小值在、若最大值或最小值在D的內部取到，在最值點必為駐點，的內部取到，在最值點必為駐點， 也必為也必

25、為D的內點，所以，首先求的內點，所以，首先求 的駐點。的駐點。 ( , )zf x y 設二元函數設二元函數 在區域在區域D上連續，則一定可取到上連續，則一定可取到最大值最大值M和最小值和最小值m. 極值點在極值點在D的內部或邊界上。的內部或邊界上。( , )zf x y( , )zf x y2、若最大值或最小值在、若最大值或最小值在D的邊界上取到，則應把邊界方程作為的邊界上取到，則應把邊界方程作為 約束條件，用拉格朗日乘子法，求出約束條件，用拉格朗日乘子法，求出 的駐點。的駐點。 ( , )zf x y3、計算所有駐點的函數值，加以比較，找出最大值或最小值、計算所有駐點的函數值，加以比較，找出最大值或最小值例例 7 7 將將正正數數 12 分分成成三三個個正正數數zyx,之之和和 使使得得zyxu23 為為最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故故最最大大值值為為例例 8 8 在第一卦限內作橢球面在第一卦限內作橢球面 1222222 czbyax的的切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標體積最