1、指數函數指數函數1、定義域、定義域 .2、值域、值域 .R3、圖象、圖象a10a 0,a1)a 10 a 0,0,且且a1)1)的性質：的性質：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o4.有理數指數冪的運算性質有理數指數冪的運算性質: (a0, b0, r, s Q )(1);rsrsa aa (2) ();rsrsaa (3) ().rrraba b 6.第一象限中第一象限中, ,指數函數底數與圖象的關系指數函數底數與圖象的關系圖象圖象從下到上從下到上, ,底數逐漸變大底數逐漸變大. .01badc 由由 y= =f(x) 的圖象作的圖象作 y= =f(|x|) 的圖象：保留的圖象：保留

2、y= =f(x)中中y軸右側部分軸右側部分,再加上這部分關于再加上這部分關于y軸對稱的圖形軸對稱的圖形.| |(4)22xxyy 與與oxy 【3】說出下列函數的圖象與指數函數】說出下列函數的圖象與指數函數 y=2x 的圖的圖象的關系象的關系,并畫出它們的示意圖并畫出它們的示意圖.變式訓練變式訓練【例【例3】設】設a0且且a1，函數，函數y=a2x+2ax- -1在在- -1, 1上上的最大值為的最大值為14，求，求a的值的值. 1. 對數的概念對數的概念(1)對數的定義對數的定義 如果如果ax=N(a0且且a1)，那么數，那么數x叫做以叫做以a為底為底N的對數的對數, 記作記作_, 其中其中

3、_叫做對數的底叫做對數的底數數 ,_ 叫做真數叫做真數. Nx=logaNa對數形式對數形式特點特點記法記法一般對數一般對數底數為底數為a(a0且且a1)_常用對數常用對數底數為底數為_自然對數自然對數底數為底數為_ln Nlg Nloga N(2) 幾種常見對數幾種常見對數10e2. 對數的性質與運算法則對數的性質與運算法則(1)對數的性質對數的性質負數和零沒有對數負數和零沒有對數; logaa = 1； loga1 = 0.(2) 積、商、冪的對數運算法則：積、商、冪的對數運算法則：( a 0,且且 a 1,M 0, N 0)1loglog.naaMMn log ()loglog;aaaM

4、 NMN logloglog;aaaMMNN loglog(R);naaMnM n 2. 對數的性質與運算法則對數的性質與運算法則(3)對數的重要公式對數的重要公式1) 對數的換底公式對數的換底公式logloglogcacbba ( ,(0,1)(1,),0)a cb 3) 四個重要推論四個重要推論lgllnlog;nglababba loglog;mnaanNNm 1log;logabba logloglog.aabcbc 且且, ,log(010)aNaN aaN 2) 對數恒等式對數恒等式函函 數數y = logax ( a0 且且 a1 )圖圖 象象定義域定義域值值 域域單調性單調性過

5、定點過定點 趨趨 勢勢取值范圍取值范圍(0, +)R增函數增函數(1，0)底數越大，圖象越靠近底數越大，圖象越靠近 x 軸軸0 x1時時, y1時時, y00 x0 x1時時, y0且且a1)求證求證:(1)函數函數f(x)的圖象總在的圖象總在y軸的一側；軸的一側；(2)函數函數f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于圖象上任意兩點連線的斜率都大于0.1122121log (1)log (1)log,1xxxaaaxayyaaa 8分分 說到數形結合思想，我們更多的會想到以說到數形結合思想，我們更多的會想到以“形形”助助“數數”來解決問題事實上，本題是以來解決問題事實上，本題是以“數數”來說明來

6、說明“形形”的問題，同樣體現著數形結的問題，同樣體現著數形結合的思想本題的易錯點是：合的思想本題的易錯點是： 找不到證明問題的切入口如第找不到證明問題的切入口如第(1)問，很問，很多考生不知道求其定義域多考生不知道求其定義域 不能正確進行分類討論若對數或指數的不能正確進行分類討論若對數或指數的底數中含有參數，一般要進行分類討論底數中含有參數，一般要進行分類討論.xy32112,yxyyxyxxxy的圖象的圖象.O 一般地，函數 叫做冪函數yxx是自變量， 是常數(-,0)減(-,0減(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共點(0,+)減增增0,+)增增單調性奇非奇非偶奇偶奇奇偶性

7、y|y00,+)R0,+)R值域x|x00,+)定義域y=x-1y=x3y=x2 y=x 函數性質冪函數的性質冪函數的性質21xy 冪函數的性質冪函數的性質 21,011（） （）所有的冪函數在（0,+ )上都定義，且圖象都經過； （ ）如果，則圖象過原點，且在0,+ )上為增函數； 30,04 xyyxxx 如果，則冪函數圖象在區間上是，在第一象限內，當 從右邊趨向于原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸減函數為奇數，當 趨向于時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸； 當時奇函數為偶，冪函數為；當時，冪函數為數偶函數 1 1、 求函數求函數 的單調區間，的單調區間，并指出其單調性并指出其單調性. .

8、 221()3xxy 設設y=f(t),t=g(x)y=f(t),t=g(x)，則，則 （1 1）當）當f(t)f(t)和和g(x)g(x)的的單調性相同單調性相同時，時，fg(x)fg(x)為增函數；為增函數； （2 2）當）當f(t)f(t)和和g(x)g(x)的的單調性相反單調性相反時，時，fg(x)fg(x)為減函數；為減函數； xaxxf 對號函數對號函數 (a0)(a0)的性質及應用的性質及應用.函數 (a0)的大致圖像 xaxxf xy0 0aa2 a2 a 利用所掌握的函數知識,探究函數 (a0)的性質. xaxxf 1. 定義域定義域2.奇偶性奇偶性(-,0) (0 ,+)

9、奇函數奇函數 f(-x)=-f(x) xaxxf 210,xx上式中為使上式符號確定1212212121121221211212,(0,), 0)的單調區間的單調區間. 當當x (0 ,+)時時,確定某單調區間確定某單調區間 121212, ,.,(,., () ().(,f(x).,(0,f(x).x xax xx xx xx xx xaxf xxx當時 由是任意的 知可無限接近 而在同一個區間取值知a,+ )時都成立 此時 f所以a,+ )時是增函數同時可知a)時是減函數. 當當x (-,0)時時,確定某單調區間確定某單調區間 ,.(,- a), (- a,0).f xf x由是奇函數 圖

10、像關于原點對稱所以在是增函數在是減函數 (- a,0),(0, a).(,- a),( a,+ ), f x在是減函數在是增函數綜上,函數 (a0)的單調區間是 xaxxf 單調區間的分界點為單調區間的分界點為: a的平方根的平方根5.函數 (a0)的值域 xaxxf , 22,aa 1.已知函數 7f xxx (1).1,2 ,.xfx求的值域 (2).2,4 ,.xfx求的最小值 (3).7, 3 ,.xfx 求的值域( ).1,2(2)( )(1)1( )8 , 82xff xff x1 在是減函數 1 即 值域為2 7:( ),7,0,7f xxx 解函數在 07遞減 在7遞增( ).

11、72,4 , ( )( 7)( )2,47xf xff xx2 分析知的最小值為 在最小值為2(3).7, 3( 7)( )( 3)168( )7, 38, -3xff xff xx 在是增函數 16 即- 值域為 32.已知函數 ,求f(x)的最小值,并求此時的x值. 2254xf xx 222222min4 11:4444,15y2,2240225, 02xf xxxxtxtxxf xx解原函數化為1令 y=t+,(t2) 此函數在 1+遞增t 此時 即時3.建筑一個容積為建筑一個容積為800米米3,深深8米的長方體米的長方體水池水池(無蓋無蓋).池壁池壁,池底造價分別為池底造價分別為a元

12、元/米米2和和2a元元/ 米米2.底面一邊長為底面一邊長為x米米,總造價為總造價為y.寫出寫出y與與x的函數式的函數式,問底面邊長問底面邊長x為何值時為何值時總造價總造價y最低最低,是多少是多少?22:S=100,100 2008 (2)xxx解長方體底面積米底面另一邊長為 池壁總面積為米min100t()0,10,t20 y520():,520.xxaa函數 在是減函數 在 10 +是增函數在x=10時 最小值為 元答底面一邊長為10米時 總造價最低為元200100 2(2) 810020016 () (0)yaxaxaa xxx 總造價 函數圖象與變換1平移變換(1)水平方向的變換：yf(

13、xa)的圖象可由yf(x)的圖象沿x軸向左平移(a0)或向右平移(a0)或向下平移(b0)|b|個單位而得到2對稱變換(1)yf(x)與yf(x)的圖象關于y軸對稱(2)yf(x)與yf(x)的圖象關于x軸對稱(3)yf(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱(4)y|f(x)|的圖象是保留yf(x)圖象中位于x軸上方的部分及與x軸的交點，將yf(x)的圖象中位于x軸下方的部分翻折到x軸上方去而得到(5)yf(|x|)的圖象是保留yf(x)中位于y軸右邊部分及與y軸的交點，去掉y軸左邊部分而利用偶函數的性質，將y軸右邊部分以y軸為對稱軸翻折到y軸左邊去而得到例 1作出下列函數的圖象：(1)y2xx

14、1；(2)y|x22x|；(3)yx22|x|.(2)先作函數yx22x的位于x軸上方的圖象，再作x軸下方圖象關于x軸對稱的圖象，得函數y|x22x|的圖象，如圖所示例 1作出下列函數的圖象：(1)y2xx1；(2)y|x22x|；(3)yx22|x|.(3)先作函數yx22x位于y軸右邊的圖象，再作關于y軸對稱的圖象，得到函數yx22|x|的圖象，如圖所示例 1作出下列函數的圖象：(1)y2xx1；(2)y|x22x|；(3)yx22|x|.抓住函數中的某抓住函數中的某些性質，通過局些性質，通過局部性質或圖象的部性質或圖象的局部特征，利用局部特征，利用常規數學思想方常規數學思想方法（如類比法

15、、法（如類比法、賦值法賦值法添、拆項添、拆項等）。等）。高考題和平時的高考題和平時的模擬題中經常出模擬題中經常出 現現 。 抽象性較強；抽象性較強；綜合性強；綜合性強； 靈活性強；靈活性強； 難度大。難度大。 沒有具體給出函沒有具體給出函數解析式但給出數解析式但給出某些函數特性或某些函數特性或相應條件的函數相應條件的函數抽象函數問題抽象函數問題一、研究函數性質“賦值” 策略對于抽象函數，根據函數的概念和性質，通過觀察與分析，將變量賦予特殊值，以簡化函數，從而達到轉化為要解決的問題的目的。【例【例 1】若奇函數若奇函數( )()f xxR，滿足，滿足(2) 1,(2)( )(2)ff xf xf

16、，則，則(1)f等于（等于（ ） A0 B1 C12 D12 (1)(1)令令x=,-2,-1,0,1,2,x=,-2,-1,0,1,2,等特殊值求等特殊值求抽象函數的函數值；抽象函數的函數值；(3)(3)令令y=-x,y=-x,判斷抽象函數的奇偶性；判斷抽象函數的奇偶性；(4)(4)換換x x為為x+T,x+T,確定抽象函數的周期；確定抽象函數的周期；(2)(2)令令x=xx=x2 2,y=x,y=x1 1或或y= ,y= ,且且x x1 1x0且且 ）y=logax(a0且且 ）同上同上1a1a一、一次一、一次函數模型函數模型:f(x+y)=f(x)+f(y) 解：解：xy令)()()0(

17、,xfxff則0 yx又令0)0(f得 fxf x()( )2)1()1(ff故，ff()() 221424 12)(，上的值域為：，在xf)()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf2121,xxxx且任取)()()()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf則)()()(2121xxfyxfyxf21xx 021xx0)(21 xxf則根據題意有為增函數在函數Rxxf)(12)(2)1(0)(，在求，xffxf都有對任意的實數已知函數yxxf,)(時且當0)()()(xyfxfyxf例例1:1:上的值域解法解法2：0)(12xxfRxxxx2121，且設012 xx則,

18、 0)(0 xfx時，由條件知當，)()(1122xxxfxf又 的增函數。為Rxxf)()()()(1112xfxfxxf54)1(32)1()2()12()3(fffff又)1()22(2faaf則的解集。求不等式時，當有對任意已知函數3)22(, 5)3(2)(0),(2)()(,)(2aaffxfxyxfyfxfRyxxf例例2： 解解： 31|3)22(2aaaaf的解集為：因此不等式 2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(yxfyfxf2121,xxxx且任取2)()(2)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf則)()()(2121xxfyxfyxf21xx021xx0)(21 xxf則根據題意有3)1( f為增函數在函數Rxxf)(1222aa即31a得令xy二二. . 指數指數函數模型函數模型:f(x