1、1首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-203.8 傳遞函數矩陣的實現問題一、實現問題的 基本概念給定傳遞函數陣給定傳遞函數陣W（s），若有狀態空間表達式），若有狀態空間表達式使之成立使之成立則稱該狀態空間表達式為傳遞函數陣則稱該狀態空間表達式為傳遞函數陣W（s）的一個實現。）的一個實現。可實現條件可實現條件： （1） 中每個元中每個元 的分子分母多項式系數均為實常數。的分子分母多項式系數均為實常數。（2） 的元的元 是真有理分式。是真有理分式。說明說明：真有理分式：分子多項式的階數低于或等于分母的階數。真有理分式：分子多項式的階數低于或等于分母的階數。嚴格真有理分式：分子多項式的階數

2、低于分母的階數。嚴格真有理分式：分子多項式的階數低于分母的階數。( )W s1( )()W sC sIABD: XAXBUYCXDU( )W s( )ijw s( )ijw s2首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20q 當傳遞函數陣當傳遞函數陣 中所有元的分子多項式階數低于分母多項式的階中所有元的分子多項式階數低于分母多項式的階數時，則必有數時，則必有q 當傳遞函數陣當傳遞函數陣 中哪怕只有一個元的分子多項式階數等于分母多中哪怕只有一個元的分子多項式階數等于分母多項式的階數時，則項式的階數時，則 ，且，且q 此時，應先由此時，應先由 得到得到 再實現再實現【例例3-83-8】( )

3、W s0D 0D lim( )sDW s1()( )C sIABW sD1()C sIAB:( , ,)A B C1111( )11211sssW ssss 01lim( )102sDW s11112011111()( )1111 2102211211sssssC sIABW sDsssss( )W s3首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20二、能控標準型實現和能觀標準型實現先把嚴格真有理分式的傳遞函數寫成如下形式：先把嚴格真有理分式的傳遞函數寫成如下形式：這里，這里，則其能控標準型實現為：則其能控標準型實現為：11101110( )nnnnnssW ssss(0,1,1)iin該

4、傳遞函數陣的特征多項式系數(0,1,1)iinmr維常數陣4首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-2001120000000000rrrrrrrrcrrrrrrnrrrnr nrIIAIIIII000rrcrrnr rBI011cnn mrCrIrr維單位陣0rrr維零陣5首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20其能觀標準型實現為：其能觀標準型實現為：01210000000000mmmmmmmmommmmmmmmnmmn mnIIIAIIII0121onnmn rB00ommmm mrCImImm維單位陣0mmm維零陣6首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20【例例

5、3-93-9】求求 的能控標準型實現和能觀標準型實現。的能控標準型實現和能觀標準型實現。解解：( )W s2113( )112sssW sssss 10lim( )11sDW s12232222322111101313()( )11111121256321611656431153621154636116sssssC sIABW sDssssssssssssssssssssss7首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20所以：所以：直接寫出其能控標準型如下：直接寫出其能控標準型如下：012012625311,6354116,11,6,012000001000001000000010000

6、000160060110600611rrrcrrrrrrIAIIII00000000000101rcrrBI012653211635411cC 8首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20能觀標準型如下：能觀標準型如下：012000060000006000000111000001110000601000061mmmommmmmmIAIIII012626353541111oB 00000001000001ommmCI9首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20三、最小實現1、最小實現的定義、最小實現的定義傳遞函數傳遞函數W（s）的一個實現：）的一個實現：如果不存在其它實現如果不存

7、在其它實現使得使得 的維數小于的維數小于X的維數，則稱的維數，則稱X實現為最小實現。實現為最小實現。即無窮多個實現中維數最小的那個實現。即無窮多個實現中維數最小的那個實現。2、尋求最小實現的步驟、尋求最小實現的步驟傳遞函數傳遞函數W（s）的一個實現）的一個實現為最小實現的充要條件是：為最小實現的充要條件是： 既是能控的又是能觀既是能控的又是能觀的。的。（1）對于給定的）對于給定的W（s），初選一種實現），初選一種實現 ，一般選取能控標準型或能觀標準型。一般選取能控標準型或能觀標準型。（2）對）對 ，找出其能控且能觀的部分，找出其能控且能觀的部分: XAXBUYCX: XAXBUYCXX: XA

8、XBUYCX:( , ,)A B C:( , ,)A B C:( , ,)A B C:( , ,)A B C10首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20那么此實現就是最小實現。那么此實現就是最小實現。【例例3-103-10】試求傳遞函數陣的最小實現。試求傳遞函數陣的最小實現。解：將解：將W W（s s）寫成標準形式：）寫成標準形式：由于由于m m1 1，r r2 2，n n3 3（為傳遞函數陣特征多項式的階數）（為傳遞函數陣特征多項式的階數）能控型實現為能控型實現為nrnr6 6維，能觀型實現維維，能觀型實現維mnmn3 3維，故宜采維，故宜采用能觀標準型實現。用能觀標準型實現。11

9、( )(1)(2)(2)(3)m rW sssss321 13 1(3)(1)( )(1)(2)(3)(1)(2)(3)6116sssW ssssssssss0120126,11,6,3 1 ,1 1 ,0011首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20判斷判斷 的能控性（因為是能觀標準型，所以的能控性（因為是能觀標準型，所以肯定能觀，只需檢驗能控性）。肯定能觀，只需檢驗能控性）。 能控！能控！所以所以 為其最小實現。為其最小實現。01200600001110601mmmommmmmmIAIIII012311100oB00001ommmCI:(,)ooooA B C3006613111

10、11113003511rankn:(,)ooooA B C12首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-203.9 零極點對消與能控性和能觀性之間的關系q對于SISO系統，系統能控能觀的充要條件是傳遞函數的分子分母間沒有零極點對消。對MIMO系統，沒有零極點對消只是最小實現的充分條件，而非必要條件，及時出現零極點對消，系統仍然可能是能控能觀的。q證明見教材p136q如果傳遞函數中出現了零極點對消，系統肯定不是能控且能觀的，但是到底是不能控，還是不能觀，或者是既不能控也不能觀的，仍然不能確定。q比如，對于傳遞函數它可以有以下三種實現：（1）(2.5)( )(2.5)(1)sW sss101,1002.51XXuyX 13首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20該實現是能控但不能觀的。其結構圖如下圖a）：（2）該實現是能觀但不能控的，結構圖如b）所示。101,1 102.50XXuyX 14首頁上頁下頁末頁結束自動控制理論2022-3-20（3）該實現是既不能控也不能觀的，結構圖如c）所示。101,1002.50XXuyX