1、重心定義：重心是三角形三邊中線的交點，可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。已知：ABC,D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O,CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。證明：根據燕尾定理，SAAOB=S；AAOC,又SAAOB=SABOQSAAOC=SABOC再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。重心的性質：1 、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4、三角形內到三邊距離之積最大的點。5、 在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為(x1

2、x2x3)/3,(y1y2y3)/3)；空間直角坐標系橫坐標：(x1x2x3)/3縱坐標：(y1y2y3)/3豎坐標：(z1z2z3)/3外心定義：外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點，該點叫做三角形的外心。外心性質：三角形的外心是三邊中垂線的交點,且這點到三角形三頂點的距離相等。設d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的數量積c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3重心坐標：(c2c3)/2c，(c1c3)/2c，(c1c2)/2c)垂心定義：三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。性質：

3、銳角三角形垂心在三角形內部直角三角形垂心在三角形直角頂點鈍角三角形垂心在三角形外部設d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的數量積。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3垂心坐標：(c1/c，c2/c，c3/c)九點圓三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點九點共圓，這個圓為九點圓或歐拉圓或費爾巴哈圓.)九點圓性質：1 .三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；即r九點圓：r外接圓=2：i2 .九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;3 .三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切設d

4、1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的數量積c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3垂心坐標：(2c1c2c3)/4c，(c12c2c3)/4c，(c1c22c3)/4c)歐拉線定義：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。歐拉線定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。歐拉線的性質：1、在任意三角形中，以上四點共線。2、歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。可編輯歐拉線的證法1交外接圓于點 Do連結AD、CD、AH、CH、如

5、圖作ABC的外接圓，連結并延長BO,OH。作中線AM,設AM交OH于點G'BD是直徑/BAD/BCD是直角AD±AB,DC±BCCH±AB,AHI±BCDA/CH,DC/AH四邊形ADCH是平行四邊形AH=DCM是BC的中點，O是BD的中點OM=-DC2OM=-AH2OM/AHOMGhagAG2=一GM1G'是ABC勺重心G與G'重合O、G、H三點在同一條直線上歐拉線的證法2如圖設H,G,O,分別為ABC勺垂心、重心、外心。連接AG并延長交BC于D,則可知D為BC中點。連接ODO為外心OD±BC連接AH并延長交BC于EH

6、為垂心AE±BCOD/AE,有/ODA=ZEAD=由于G為重心，貝UGA:GD=2:1。連接CG并延長交BA于F則可知F為AB中點同理，OFCM/OFC=ZMCF連接FDFD/AC,DF:AC=1:2/DFC=ZFCA,/FDA=ZCAD又/OFC=ZMCF/ODA=ZEAD相減可得/OFD=/HCA,/ODF=/EAC .OFDHCAOD:HA=DF:AC=1:2又GA:GD=2:1OD:HA=GA:GD=2:1又/ODA=ZEAD .OGDHGA/OGD=ZAGH又連接AG并延長 ./AGH+/DGH=180° ./OGD吆DGH=180°即O、G、H三點共線

7、歐拉線的證法3設H,G,O,分別為ABC勺垂心、重心、外心則OH=OA+OB+OCOG=(OA+OB+OC)/3，3XOG=OHO、 G 、 H 三點共線(注：OH,OA,OB,OC,OG均為向量)費馬點定義：在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點。費馬點的判定(1)對于任意三角形4ABC,若三角形內或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費馬點。(2)如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是費馬點；如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。費馬點性質：(1)平

8、面內一點P到ABC三頂點的之和為PA+PB+PC,當點P為費馬點時，距離之和最小。(2) .特殊三角形中，三內角皆小于120°的三角形，分別以AB,BC,CA,為邊，向三角形外側做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點P,則點P就是所求的費馬點.(3) .特殊三角形中，若三角形有一內角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是費馬點（4片寺殊三角形中，當ABC等邊三角形時，此時外心與費馬點重合證明(1)費馬點對邊白張角為120度在CCiB和AAiB中BC=BA1,BA=BC1,CBC1=/B+60=ABA1, CC1B和AA,B是全等三角形

9、./PCB=PA1B同理可得/CBP=CA1P由PAiB+CAiP=60,得/PCB+ZCBP=60, ./CPB=120同理,/APB=120,/APC=120(2)PA+PB+PC=AA1將BPC以點B為旋轉中心旋轉60與BDA1重合，連結PD,則4PDB為等邊三角形 ./BPD=60又/BPA=120因此A、P、D三點在同一直線上又/CPB=A1DB=120,ZPDB=60,PDA=180A、P、D、A1四點在同一直線上故PA+PB+PC=AA1（3）PA+PB+PC最短在ABC內任意取一點M（不與點P重合），連結AM、BM、CM,將BMC以點B為旋轉中心旋轉60與BGA1重合，連結AM

10、、GM、A1G（同上），則AA1VA1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費馬點到三個頂點A、B、C的距離最短。可編輯梅涅勞斯定理內容：如果一條直線與4ABW邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點,那么FBBDCExx=1oDCEA或設X、Y、Z分別在ABC勺BC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是AZZBBXCYxx=1XCYA證明一：如圖過點A作AG/BC交DF則”二空FBBD三式相乘得：BDBDCE的延長線于G,DCDCDCEA''oAGAFxFBBDCEAG證明二:AFFBDC過點=xEABDBDxDCDC=1AGC作CP/DF交AB于BDCEA

11、Fxx=一DCEAFBFBxPF它的逆定理也成立：若有三點AF滿足AFFBBDCExx=1,DCEAP,則PFxAFBDFBDCPF=1F、D、E分別在CEPFEAAFABC勺邊AB、BC、CA或其延長線上，且則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。證明三：過ABC三點向三邊引垂線AA'BB'CC',AD:DB=AA':BB',BE:EC=BB':CC',CF:FA=CC':AA'.AFBDCE.-人人1FBDCEA可編輯在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點,又分比是入=BL/LC

12、、科=CM/MA、丫=AN/NB。于是L、M、N三點共線的充要條件是人口=1。第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E,F,D三點共線，則sinACFsinBADsinCBAxx=1sinFCBsinDACsinABE即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積第二角元形式的梅涅勞斯定理sin AOF sin BODxsin DOB sin DOC在平面上任取一點O,且EDF共線，則xsinCOA=1。(O不與點a、b、c重合)sinAOE塞瓦定理內容：在ABC內任取一點O直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法：(I)本題可利用梅涅勞斯定理

13、證明：ADC被直線BOE所截(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1而由ABD被直線COF所截(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1+：即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1(n)也可以利用面積關系證明BD/DC=SAABD/SACD=SABOD/SACOD=(SABD-SABOD)/(SACt-SACOD)=SAAOB/SAOC同理CE/EA=SBOC/SAOBAF/FB=SAOC/SBOCXX得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點：設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,根據塞瓦定理逆定理，.(AD:D

14、B)*(BE:EC)*(CF:FA尸(CD*ctgA)/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，三條高CD、AE、BF交于一點。可用塞瓦定理證明的其他定理；三角形三條中線交于一點(重心)：如圖5D,E分別為BC,AC中點BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1AF=BFAF/FB=1AF=FB，三角形三條中線交于一點可用定比分點來定義塞瓦定理：在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是入=BL/LC、科=CM/MA、丫=AN/NB。于孰L、BM、CN三線交于一點的充要條件是入林=1。塞瓦定

15、理推論：1 .設E是ABD內任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F,則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1(塞瓦定理)(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB尸K(K為未知參數)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG尸K(K為未知參數)又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12 .塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是(sin/BAD/sin/DAC)*(sin/ACF/sin/FCB)*(sin/CBE/sin

16、/EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證3 .如圖，對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F,直線AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關系易證4.1. 能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,根據塞瓦定理逆定理，.(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA尸(CD*ctgA/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1,三條高CD、AE、BF交于一點。燕尾定理燕尾定理，因此圖類似燕尾而

17、得名，是一個關于三角形的定理（如圖ABC,D、E、F為BC、CA、AB上的點，AD、BE、CF交于O點）SAABC中,SAAOB:SAAOC=SABDOSACDO=BDCD同理，SAAOCSABOC=SAAFO:SABFO=AF:BFSABOCSABOA=SACEOSAAEO=ECEA卜面的是第一種方法：相似三角形法已知：ABC勺兩條中線AD、CF相交于點O,連接并延長BO,交AC于點E。求證：AE=CE證明：如圖1,過點O作MN/BC,交AB于點M,交AC于點N;過點O作PQ/AB,交BC于點P,交AC于點Q。 MN/BC .AMSABD,AN8ACDMQBD=AO:AD,NO:CD=AO:

18、ADMOBD=NO:CDAD是ABC的一條中線BD=CDMO=NO PQ/AB CP8CBF,CQSCAFPO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CFPO:BF=QO:AFCF是ABC的一條中線AF=BFPO=QOMO=NO/MOP=ZNOQPO=QO.MO國NOQ（SAS）/MPO=/NQOMP/AC（內錯角相等，兩條直線平行） .BMRBAE（R為MP與BO的交點）,BP叱BCE .MRAE=BR:BE,PR:CE=BR:BEMRAE=PR:CE MN/IBC,PQ/AB 四邊形BMOP是平行四邊形MR=PR（平行四邊形的對角線互相平分）AE=CE命題得證。證法2下面的是第二種方法：面積

19、法已知：ABC勺兩條中線AD、CF相交于點O,連接并延長BO,交AC于點E。求證：AE=CE證明：如圖2 點D是BC的中點，點F是AB的中點 SACAD=SBAD,SACOD=SBOD SACAD-SACOD=SBAD-SABOD即SAAOC=SAOB SAACF=SBCF,SAAOF=SBOF SAACF-SAAOF=SBCFSABOF即SAAOC=SBOC SAAOB=SBOC SAAOE:SAAOB=OE:OB,SACOE:SABOC=OE:OB SAAOE:SAOB=SCOE:SBOC SAAOB=SBOC SAAOE=SCOEAE=CE命題得證。證法3下面的是第三種方法：中位線法已知

20、：ABC勺兩條中線AD、CF相交于點O,連接并延長BO,交AC于點E。求證：AE=CE證明：如圖2,延長OE到點G,使OG=OBOG=OB.點O是BG的中點又點D是BC的中點OD是BGC的一條中位線 .AD/CG（三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半） 點O是BG的中點，點F是AB的中點。5是4BGA的一條中位線CF/AG AD/CG,CF/AG 四邊形AOCG是平行四邊形 .AC、OG互相平分AE=CE命題得證。證法四：因為ABCO是凹四邊形，根據共邊比例定理，命題得證托勒密定理定理的內容：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矢I形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所

21、包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和).證明一、(以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。)在任意四邊形ABCD中，ABE使/BAE=/CAD/ABE=/ACDABEsACDBE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD而/BAC=ZDAE,/ACB=ZADE .ABOAED相似.BC/ED=AC/AD即ED-AC=BC-AD(2)(1)+(2)，得AC(BE+ED尸AB-CD+AD-BC BE+ED>BD(僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”)命題得證復數證明用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數，則AB、CD、AD、BC、AC、B

22、D的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),兩邊取模,運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d肖(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、設ABCD是圓內接四邊形。在弦BC上，圓周角/BAC=/BDC,而在AB上,/ADB=/ACR在AC上取一點K,使得/ABK=ZCBD;./ABK+/CBK=/ABC=/CBD+/ABD,所以/CBK=ZABD=因此ABK與DB

23、C相似同理也有ABDKBC因止匕AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD因此AKBD=AB-CD,且CKBD=BC-DA兩式相加，得（AK+CK）-BD=AB-CD+BC-DA但AK+CK=AC,因此AC-BD=AB-CD+BCDA。證畢三、已知：圓內接四邊形ABCD求證：AC-BD=ABCD+AD-BC證明：如圖，過C作CP交BD于P,使/1=/2,又/3=74 .ACDBCP .AC:BC=AD:BP,AC-BP=ADBC又/ACB=ZDCP,/5=/6,.AC*DCP .AC:CD=AB:DP,AC-DP=ABCD十得AC(BP+DP尸AB-CD+AD-BC即AC-BD=AB-C

24、D+AD-BC推論1 .任意凸四邊形ABCD,必有AC-BD<AB-CD+AD-BC,當且僅當ABCD四點共圓時取等號。2 .托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。簡單的證明：復數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),兩邊取模，得不等式AC-BDW|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB-CD+BC-AD注意：1等號成立的條件是(a-b)(c-d肖(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。2.四點不限于同一平面。西姆松定理西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線(此線常稱為西姆松線)。西姆松逆定理：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。性質：(1)稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。(2)兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓