1、重心定義：重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過(guò)程又是塞瓦定理的特例。已知：ABC,D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O,CO延長(zhǎng)線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。證明：根據(jù)燕尾定理，SAAOB=S；AAOC,又SAAOB=SABOQSAAOC=SABOC再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。重心的性質(zhì)：1 、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。5、 在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為(x1

2、x2x3)/3,(y1y2y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(x1x2x3)/3縱坐標(biāo)：(y1y2y3)/3豎坐標(biāo)：(z1z2z3)/3外心定義：外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心。外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的外心。外心性質(zhì)：三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn),且這點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等。設(shè)d1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的數(shù)量積c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3重心坐標(biāo)：(c2c3)/2c，(c1c3)/2c，(c1c2)/2c)垂心定義：三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。性質(zhì)：

3、銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部直角三角形垂心在三角形直角頂點(diǎn)鈍角三角形垂心在三角形外部設(shè)d1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的數(shù)量積。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3垂心坐標(biāo)：(c1/c，c2/c，c3/c)九點(diǎn)圓三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)九點(diǎn)共圓，這個(gè)圓為九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴哈圓.)九點(diǎn)圓性質(zhì)：1 .三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；即r九點(diǎn)圓：r外接圓=2：i2 .九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);3 .三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切設(shè)d

4、1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的數(shù)量積c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3垂心坐標(biāo)：(2c1c2c3)/4c，(c12c2c3)/4c，(c1c22c3)/4c)歐拉線定義：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。歐拉線定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。歐拉線的性質(zhì)：1、在任意三角形中，以上四點(diǎn)共線。2、歐拉線上的四點(diǎn)中，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。可編輯歐拉線的證法1交外接圓于點(diǎn) Do連結(jié)AD、CD、AH、CH、如

5、圖作ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO,OH。作中線AM,設(shè)AM交OH于點(diǎn)G'BD是直徑/BAD/BCD是直角AD±AB,DC±BCCH±AB,AHI±BCDA/CH,DC/AH四邊形ADCH是平行四邊形AH=DCM是BC的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)OM=-DC2OM=-AH2OM/AHOMGhagAG2=一GM1G'是ABC勺重心G與G'重合O、G、H三點(diǎn)在同一條直線上歐拉線的證法2如圖設(shè)H,G,O,分別為ABC勺垂心、重心、外心。連接AG并延長(zhǎng)交BC于D,則可知D為BC中點(diǎn)。連接ODO為外心OD±BC連接AH并延長(zhǎng)交BC于EH

6、為垂心AE±BCOD/AE,有/ODA=ZEAD=由于G為重心，貝UGA:GD=2:1。連接CG并延長(zhǎng)交BA于F則可知F為AB中點(diǎn)同理，OFCM/OFC=ZMCF連接FDFD/AC,DF:AC=1:2/DFC=ZFCA,/FDA=ZCAD又/OFC=ZMCF/ODA=ZEAD相減可得/OFD=/HCA,/ODF=/EAC .OFDHCAOD:HA=DF:AC=1:2又GA:GD=2:1OD:HA=GA:GD=2:1又/ODA=ZEAD .OGDHGA/OGD=ZAGH又連接AG并延長(zhǎng) ./AGH+/DGH=180° ./OGD吆DGH=180°即O、G、H三點(diǎn)共線

7、歐拉線的證法3設(shè)H,G,O,分別為ABC勺垂心、重心、外心則OH=OA+OB+OCOG=(OA+OB+OC)/3，3XOG=OHO、 G 、 H 三點(diǎn)共線(注：OH,OA,OB,OC,OG均為向量)費(fèi)馬點(diǎn)定義：在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的判定(1)對(duì)于任意三角形4ABC,若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費(fèi)馬點(diǎn)。(2)如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)：(1)平

8、面內(nèi)一點(diǎn)P到ABC三頂點(diǎn)的之和為PA+PB+PC,當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和最小。(2) .特殊三角形中，三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以AB,BC,CA,為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).(3) .特殊三角形中，若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)（4片寺殊三角形中，當(dāng)ABC等邊三角形時(shí)，此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合證明(1)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊白張角為120度在CCiB和AAiB中BC=BA1,BA=BC1,CBC1=/B+60=ABA1, CC1B和AA,B是全等三角形

9、./PCB=PA1B同理可得/CBP=CA1P由PAiB+CAiP=60,得/PCB+ZCBP=60, ./CPB=120同理,/APB=120,/APC=120(2)PA+PB+PC=AA1將BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60與BDA1重合，連結(jié)PD,則4PDB為等邊三角形 ./BPD=60又/BPA=120因此A、P、D三點(diǎn)在同一直線上又/CPB=A1DB=120,ZPDB=60,PDA=180A、P、D、A1四點(diǎn)在同一直線上故PA+PB+PC=AA1（3）PA+PB+PC最短在ABC內(nèi)任意取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連結(jié)AM、BM、CM,將BMC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60與BGA1重合，連結(jié)AM

10、、GM、A1G（同上），則AA1VA1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離最短。可編輯梅涅勞斯定理內(nèi)容：如果一條直線與4ABW邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn),那么FBBDCExx=1oDCEA或設(shè)X、Y、Z分別在ABC勺BC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是AZZBBXCYxx=1XCYA證明一：如圖過(guò)點(diǎn)A作AG/BC交DF則”二空FBBD三式相乘得：BDBDCE的延長(zhǎng)線于G,DCDCDCEA''oAGAFxFBBDCEAG證明二:AFFBDC過(guò)點(diǎn)=xEABDBDxDCDC=1AGC作CP/DF交AB于BDCEA

11、Fxx=一DCEAFBFBxPF它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)AF滿足AFFBBDCExx=1,DCEAP,則PFxAFBDFBDCPF=1F、D、E分別在CEPFEAAFABC勺邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。證明三：過(guò)ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC',AD:DB=AA':BB',BE:EC=BB':CC',CF:FA=CC':AA'.AFBDCE.-人人1FBDCEA可編輯在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn),又分比是入=BL/LC

12、、科=CM/MA、丫=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是人口=1。第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E,F,D三點(diǎn)共線，則sinACFsinBADsinCBAxx=1sinFCBsinDACsinABE即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積第二角元形式的梅涅勞斯定理sin AOF sin BODxsin DOB sin DOC在平面上任取一點(diǎn)O,且EDF共線，則xsinCOA=1。(O不與點(diǎn)a、b、c重合)sinAOE塞瓦定理內(nèi)容：在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F,則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法：(I)本題可利用梅涅勞斯定理

13、證明：ADC被直線BOE所截(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1而由ABD被直線COF所截(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1+：即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1(n)也可以利用面積關(guān)系證明BD/DC=SAABD/SACD=SABOD/SACOD=(SABD-SABOD)/(SACt-SACOD)=SAAOB/SAOC同理CE/EA=SBOC/SAOBAF/FB=SAOC/SBOCXX得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn)：設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,根據(jù)塞瓦定理逆定理，.(AD:D

14、B)*(BE:EC)*(CF:FA尸(CD*ctgA)/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。可用塞瓦定理證明的其他定理；三角形三條中線交于一點(diǎn)(重心)：如圖5D,E分別為BC,AC中點(diǎn)BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1AF=BFAF/FB=1AF=FB，三角形三條中線交于一點(diǎn)可用定比分點(diǎn)來(lái)定義塞瓦定理：在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是入=BL/LC、科=CM/MA、丫=AN/NB。于孰L、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是入林=1。塞瓦定

15、理推論：1 .設(shè)E是ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F,則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1(塞瓦定理)(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB尸K(K為未知參數(shù))且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG尸K(K為未知參數(shù))又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12 .塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是(sin/BAD/sin/DAC)*(sin/ACF/sin/FCB)*(sin/CBE/sin

16、/EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證3 .如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F,直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證4.1. 能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn)設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,根據(jù)塞瓦定理逆定理，.(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA尸(CD*ctgA/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1,三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。燕尾定理燕尾定理，因此圖類似燕尾而

17、得名，是一個(gè)關(guān)于三角形的定理（如圖ABC,D、E、F為BC、CA、AB上的點(diǎn)，AD、BE、CF交于O點(diǎn)）SAABC中,SAAOB:SAAOC=SABDOSACDO=BDCD同理，SAAOCSABOC=SAAFO:SABFO=AF:BFSABOCSABOA=SACEOSAAEO=ECEA卜面的是第一種方法：相似三角形法已知：ABC勺兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O,連接并延長(zhǎng)BO,交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)O作MN/BC,交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N;過(guò)點(diǎn)O作PQ/AB,交BC于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)Q。 MN/BC .AMSABD,AN8ACDMQBD=AO:AD,NO:CD=AO:

18、ADMOBD=NO:CDAD是ABC的一條中線BD=CDMO=NO PQ/AB CP8CBF,CQSCAFPO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CFPO:BF=QO:AFCF是ABC的一條中線AF=BFPO=QOMO=NO/MOP=ZNOQPO=QO.MO國(guó)NOQ（SAS）/MPO=/NQOMP/AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行） .BMRBAE（R為MP與BO的交點(diǎn)）,BP叱BCE .MRAE=BR:BE,PR:CE=BR:BEMRAE=PR:CE MN/IBC,PQ/AB 四邊形BMOP是平行四邊形MR=PR（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）AE=CE命題得證。證法2下面的是第二種方法：面積

19、法已知：ABC勺兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O,連接并延長(zhǎng)BO,交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖2 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn) SACAD=SBAD,SACOD=SBOD SACAD-SACOD=SBAD-SABOD即SAAOC=SAOB SAACF=SBCF,SAAOF=SBOF SAACF-SAAOF=SBCFSABOF即SAAOC=SBOC SAAOB=SBOC SAAOE:SAAOB=OE:OB,SACOE:SABOC=OE:OB SAAOE:SAOB=SCOE:SBOC SAAOB=SBOC SAAOE=SCOEAE=CE命題得證。證法3下面的是第三種方法：中位線法已知

20、：ABC勺兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O,連接并延長(zhǎng)BO,交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖2,延長(zhǎng)OE到點(diǎn)G,使OG=OBOG=OB.點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)OD是BGC的一條中位線 .AD/CG（三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半） 點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)。5是4BGA的一條中位線CF/AG AD/CG,CF/AG 四邊形AOCG是平行四邊形 .AC、OG互相平分AE=CE命題得證。證法四：因?yàn)锳BCO是凹四邊形，根據(jù)共邊比例定理，命題得證托勒密定理定理的內(nèi)容：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矢I形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所

21、包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和).證明一、(以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。)在任意四邊形ABCD中，ABE使/BAE=/CAD/ABE=/ACDABEsACDBE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD而/BAC=ZDAE,/ACB=ZADE .ABOAED相似.BC/ED=AC/AD即ED-AC=BC-AD(2)(1)+(2)，得AC(BE+ED尸AB-CD+AD-BC BE+ED>BD(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”)命題得證復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、B

22、D的長(zhǎng)度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),兩邊取模,運(yùn)用三角不等式得。等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d肖(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角/BAC=/BDC,而在AB上,/ADB=/ACR在AC上取一點(diǎn)K,使得/ABK=ZCBD;./ABK+/CBK=/ABC=/CBD+/ABD,所以/CBK=ZABD=因此ABK與DB

23、C相似同理也有ABDKBC因止匕AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD因此AKBD=AB-CD,且CKBD=BC-DA兩式相加，得（AK+CK）-BD=AB-CD+BC-DA但AK+CK=AC,因此AC-BD=AB-CD+BCDA。證畢三、已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD求證：AC-BD=ABCD+AD-BC證明：如圖，過(guò)C作CP交BD于P,使/1=/2,又/3=74 .ACDBCP .AC:BC=AD:BP,AC-BP=ADBC又/ACB=ZDCP,/5=/6,.AC*DCP .AC:CD=AB:DP,AC-DP=ABCD十得AC(BP+DP尸AB-CD+AD-BC即AC-BD=AB-C

24、D+AD-BC推論1 .任意凸四邊形ABCD,必有AC-BD<AB-CD+AD-BC,當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。2 .托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),兩邊取模，得不等式AC-BDW|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB-CD+BC-AD注意：1等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d肖(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。2.四點(diǎn)不限于同一平面。西姆松定理西姆松定理：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線(此線常稱為西姆松線)。西姆松逆定理：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。性質(zhì)：(1)稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。(2)兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓