1、2012年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題解析一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙.指定位置上X2X(1)曲線y漸近線的條數為()x1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】：CX2X【解析】：lim2，所以x1為垂直的x1x21di1,所以y1為水平的，沒有斜漸近線故兩條選C(2)設函數f(x)(ex1)(e2)(enxn),其中n為正整數，則f(0)(A) (1)n百1)!(B) (1)n(n1)!(C) (1)n1n!(D) (1)nn!【答案】：C【解析】：f'(x)ex(e2x

2、2)(enxn)(ex1)(2e2x2)(enxn)(ex1)(e2x2)(nenxn)'n1所以f(0)(1)n!(3)設函數f(t)連續，則二次積分2d02cosf(r2)rdr=()(A)2dx0(B)2dx0(C)2dx04x2:?2xx24X£22f(x22xx2、x21t；：2xx2.x2y2f(x22y)dy4x2(D)20dx12xx2y2)dyx2y2f(x2y2)dyf(x2y2)dy【答案】：（B）【解析】：由x、_X2y2解得y的下界為2xx2，由x2y22解得y的上界為4x2.故排除答案（C）（D）.將極坐標系下的二重積分化為X型區域的二重積分得到被

3、積函數為f(x2y2),故選(B)（4）已知級數1(1)n.nsin絕對收斂，i1ni1）條件收斂，則范圍為（(A)0(B)(D)121322【答案】：（D）【解析】：考察的知識點是絕對收斂和條件收斂的定義及常見的【解析】：考察的知識點是絕對收斂和條件收斂的定義及常見的p級數的收斂性結論1)nnsin絕對收斂可知條件收斂可知n2,故答案為（D）0011（5）設10,；21,31,41其中G,C2,C3,C4為任意常數，則下列向量組線性相關的C1C2C3C4是（）(A)1,2>,3(B)1,2，4i1(C)1,3,4【答案】：（C）【解析】：由于1,3,4(D)2,3,401111011C

4、1110,可知1,3,4線性相關。故選（C）ClC3C41（6）設A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣,且P1AP1,P21（6）設A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣,且P1AP1,P2,Q則Q1AQ()22(C)1(D)221【答案】：(B)100100【解析】：QP110則Q1110P1001001(A)21(B)12（7）設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區間0,1上的均勻分布，則PX2Y21（10010010011001故Q1AQ1110PAP1101101110100100100120012故選（B）。/A、11（A）（B）（C）（D）-4284【答案】：（D）【解析】：由題意得x,yfxxf

5、Yy1,0x1,0y1,0,其它.PX2Y21=Dx,ydxdy,其中D表示單位圓在第一象限的部分，被積函數是1,故根據二重積分的幾何意義，知PX2Y21二一,故選（D）4Xx0的簡單隨機樣本,則統計量區F的分布（8）設X1,X2,X3,X4為來自總體N1,（）（A）N0,1(B)t1(C)21（D）F1,1【答案】：（B）【解析】：從形式上,該統計量只能服從t分布。故選B。具體證明如下:X1X2X3X42由正態分布的性質可知Xi_X2與X3_X4_2均服、22從標準正態分布且相互獨立XiX2，可知、填空題：914小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上1(9)limtanxc

6、osxsin1tanxtan44x4【解析】：1limtanxcosxsinxx4【答案】：e2xe4lim1tanx1cosxsinxlimx411tanxtan=lim4cosxsinxxcosx4sinxtanxtan=limx4x1tanx*tan442sinx4=limx4tanx11所以limtanxcosxsinxlim1cosxsinx(10)設函數f(x)In.x,x1,y2x1,x1f(x),求dL【答案】：4【解析】：dydxxof'f(x)f'f(0)f'(0)f'1f'(0)由f(x)的表達式可知f'0f'(1)

7、2,可知簽。(11)函數zf(x,y)滿足limf(x,y)2L_L20,則dz(0i):0；x2(y1)2，【答案】：2dxdy【解析】：由題意可知分子應為分母的高階無窮小【解析】：由題意可知分子應為分母的高階無窮小，即f(x,y)2xy2o(.x2(y1)2),所以專©1)所以專©1)2,Zy(0,1)1,故dz(0,1)2dxdy4(12)由曲線y和直線yx及y4x在第一象限中所圍圖形的面積為?x設A為3階矩陣，A3,A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第一行與第二行得到矩陣B,則【答案】：4ln2【解析】：被積函數為1的二重積分來求，所以S42y4亍33dyydxdyyd

8、x4ln24ln2024422*BA。【答案】：-27【解析】：由于BE12A,故BA*E12AA*|A|E123E12,所以,|BA*|3E12|33|E12127*(1)27.1 1(14) 設A,B,C是隨機事件，A,C互不相容,P(AB)-,P(C),則P(ABC)。2 33【答案】：34PABC【解析】：由條件概率的定義,PABCPC其中pC1pc11233PABCPABPABC1PABC，由于A,C互不相容，即AC,PAC0,又213ABCAC，得PABC0，代入得PABC一，故PABC24三、解答題：1523小題，共94分請將解答寫在答題紙指定位置上解答應寫出文字說明、證明過程或

9、演算步驟（15）（本題滿分10分）計算limx022cosxe4x【解析】xelimx022cosxe4x22cosx,limelimx0x0x222cosxe（16）（本題滿分10分)叫IK2xlimx04x+0122x24xx44!2x（泰勒公式）x2=xm計算二重積分exxydxdy，其中D為由曲線yD【解析】：由題意知，區域D（x,y）|0x1,依所以exxydxdylimx0D1dx01.xexxxydy1xex01dx如圖所示_A.x與y=所圍區域。Vx12xdxl|im2x0him2x0l|im2x0l|im2x0him2x01exdxxx2dx0exxdx1xdex0e(e1e

10、xdx0，設該企業x一一（萬兀/22）3）當總產量為50件時，甲乙兩種的產量各為多少時可以使總成本最小？求最小的成本。求總產量為50件時且總成本最小時甲產品的邊際成本，并解釋其經濟意義。x52【解析】：1）設成本函數為C（x,y），由題意有:Cx(x,y)20對x積分得,C(x,y)20xD(y),再對y求導有,Cy（x,y）D(y)y,再對y積分有，D（y）6y所以,C(x,y)20x6ygy又C(0,0)10000,故c10000,所以C(x,y)220x46y與1000022)若xy50,則y50x(050），代入到成本函數中，有C(x)20xx2xr6(50x)-(50x)210000

11、2（17）（本題滿分10分）某企業為生產甲、乙兩種型號的產品，投入的固定成本為10000（萬元）生產甲、乙兩種產品的產量分別為x（件）和（y件），且固定兩種產品的邊際成本分別為20件）與6y（萬元/件）。1）求生產甲乙兩種產品的總成本函數C（x,y）（萬元）36x115503所以，令C（x）3x360，得x24,y26,這時總成本最小C(24,26)111183）總產量為50件且總成本最小時甲產品的邊際成本為Cx（24,26）32,表示在要求總產量為甲產品為24件,這時要改變一個單位的產量，成本會發生32萬元的改變。50件時，在（18）（本題滿分10分）1x證明：xln1xcosx2t,1【解

12、析】：令xlnl1xcosx21亠,可得2ln1xInIn所以xlnsinxx1xrx1xrx2x.2sinxx1x21x22X1xsinx1x1時，有ln1x1J1,所以112xxsinx0,x0,而f0,即得xln11cosx2x021xcosxx10,有In-0,12x2x1，所以1x21x2*xsinx0,0,即得xln11cosx1可知，xln-1xcosxx（19）（本題滿分10分）已知函數f(x)滿足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex1）求表達式f（x）2）求曲線的拐點y2t)dt【解析】：1）特征方程為r20,特征根為A1,22,齊次微分方程f(x)f(x

13、)2f(x)0的通解為f(x)C1exC2e2x再由f(x)f(x)2ex得2C1exC2e2x2ex,可知C11,C20。故f(x)ex2）曲線方程為令y''0得x當x0時,2xx2Xt22xee0dt,y''2x212x22xeXt2edt00唯一的解，我們來討論y''在x0和x0時的符-0,可知y''0；當x0時,2x0,212x22xe0。為了說明x0是y''x2xt2e°edt,則y'12x2xt20,212x2ex。宀Xt2etdt0,可知y0。可知x0是y0唯一的解。2X2同時,由上

14、述討論可知曲線yf（x）of（t）dt在X0左右兩邊的凹凸性相反，可知0,0點是曲線2x2yf(x)0f(t)dt唯一的拐點。Axb有無窮多解，求a,并求Axb的通解。【解析】：（10a10a001a0I)101a001a001a0011a0011a001a0101a001a0001a00100a0(n)1a00101a01001a00001a4a2a可知當要使得原線性方程組有無窮多解，則有1110此時，原線性方程組增廣矩陣為011001000（n）已知線性方程組a00a(1)411a01a401a011a0010101a01a0001a01a003a12aa01100101，進一步化為行最簡

15、形得010110001100000042.a0及aa0，可知a1。01001011可知導出組的基礎解系為，非齊次方程的特解為11，故其通解為01k11011011可知導出組的基礎解系為，非齊次方程的特解為11，故其通解為01k1101線性方程組Axb存在2個不同的解，有|A|0.0100（20）（本題滿分10分）1a001沁01a01設A,b001a0a0010(I)求A111%當1時，000X2111X3X0,顯然不符，故1（21）（本題滿分（21）（本題滿分10分）三階矩陣A101011,A為矩陣A的轉置,已知r（AtA）2,且二次型10afxTAAx。1) 求a求二次型對應的二次型矩陣，

16、并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程。【解析】：1)由r(ATA)r(A)2可得，101011a10a110a202x1fxTATAxx-i,x2,x3022x22)224X32222x12x24x34x-ix24x2x3202則矩陣B022224202EB022260224解得B矩陣的特征值為：1022；361對于10，解1EBX0得對應的特征向量為：1111對于22，解2EBX0得對應的特征向量為：2101對于36，解3EBX0得對應的特征向量為：313單位化可得:116；2>（22）（本題滿分10分）已知隨機變量X,Y以及XY的分布律如下表所示X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：（1）PX2Y；（2）COVXY,Y與【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（1）PX2YPX0,Y0（2）covXY,YcovX,YcCOVX,YEXYEXEY，其中EX252DYEY2EY-1,EXY33所以,covX,Y0,covY,YDY（23）（本題滿分10分）Y,Y222,EX1,E