1、2012年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題解析*1-s每申屢分.共12分，下列毎小豐始出的四牛選瑁中.只有一頂箝合題b請棒所透扌苗的手母填在晉題篥捋定住置上1)窮經莆這雯的雖裁為0A)0(B)1CO2:D)3J設更益/(%=(孑一瞋產一耳(八-町，其-/(°)=A)£一1)1"1)!CB)(-l/(w-l)!C)(-l)n!CD)(-1)!<3)如果人兀巧在(QOI處連續那么下列命懸正確的罡<)3若詼芻綺昶，彫曲)在腆可徽肆鳴磔嚨助5(3處堿5畑血"處可飆幀嗖稔就若心曲喚昭貽呷笑沁4)SI.-j1sinxdx1<D*f<h(B

2、)h<I-<hC)厶<厶<7(D)A<7j<Jj的是()=1武中卬心心G為任意常魏"疔列向量組銭性相關(D3您，4設日対3階鉅陣,Ph3階可逆矩陣，且P-AP1P#(做慙他)，Q=ia+a.a2ta1)則QaAQ-<)n1<A)11ka>2<C)1(D)2Ik(?)設隨機孌臺盂與汩眄獨立，月分別服從養數為1與參數為4的指松布#則戸&<:$如()1114()-W-(0_(0)5355<S)將長度為丄嘰的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關系數為<)1(B)|(0-1(Q)-1二埴空題：隠，毎小題分.共

3、其分，諦15答衆寫在答闕能位羞上'TK一2)若舉1/XQ爲足方崔y何4八劉_¥懐)“及住)+乳呵=加J則代0(10)xlx-jrdK(11)gradI.iy)UmjC12)設三=仗”武壯*十"1°玄王°."上藝俅則|V出=t（in謾為三線塑位向量'E為三階星位朋，則矩陣應亠心丁的穂為（設4J?<是隨機事件,Arc互不相容，«）=i?（O=J?IP（-C）=23三、像昔逋：5Z3小逮，共翳分涓持鮮笞與在答曲指定帕上解答曲出文期樂tiKfl過舷FT（1S）本題淆分10>1+工JT1證明：Gn+zixill一1&

4、lt;x<11亠k2（1G（本題滿分10分）求/（和）=工玄J的極值V（17>（本題，韻分14；j*+4；/+3求黑級數y訃的收斂域及和函數H-02/7+1CIS）（本竝滿分i05t）已知曲絨Z：J"，1Osr<-）,苴中®«*/<r）具有連續辱敘且氏0）,/（aJosv工。.2/V2丿若刪L的V敲埒x軸的交點到切點的距裔恒為1,求團數丁的表達式，并求此曲銭與咒輸與卄睨邊界的區域的面積口<19>（本題満分10已知上量第一象眼中從點（60）沼同周vy2"工劃點（20）,再沿圖筒F“段j計算曲線積分（3”說汁（X1+工-2

5、y$*i二斗到點0,2）的齟C20)C本題満分e井Pd00>(1>A0i<JoLi諉丿眄成r=001fl02001J0£I)求制(I!)已初細生方程組必“有無窮多解，求4并求缶趙的ii解。101)(21)(本題滿分10分三隣巨陣衛和011>-f為矩陣A的轉墨，已知r(ArA)二2,且二次型口0Jf-xJA:Ax1)環42>京二次型對應的二;戈型矩昨，并將二次型化為標淮型，芍出正交變換過程(22)(本題痢分10»)廖隨機憂蚩£】一型丄丁的井布律孫禺斤示'0E?PV2V6V012P1J1313陳P(HXY0124i?7151301

6、P<2>cov(Y-yry)與必j-C23)(本題滿分H分)軀機婕崖與F相互獨立且分別服從正態分布洌站護)與腫仏2，)*耳中<7是未知勢數目Q0,設Z=X-Yt(1)他時?率密度匕廳”詒習丄召対來自總體2的簡單隨機樣本*求，的最大跟然估計量(3)證明/為L的無偈估itt>2012年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題解析，只有一項符合題目要求的，請將、選擇題：18小題,每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中所選項前的字母填在答題紙指定位置上(1)【答案】：C2Xx【解析】：lim2，所以x1為垂直的x1x21(2)【答案】：C【解析】：f'(x)彳1,

7、所以y1為水平的沒有斜漸近線故兩條選Cx2xnxx2xnxx2xnxe(e2)(en)(e1)(2e2)(en)(e1)(e2)(nen)所以f所以f(0)n1i1)n!(3)【答案】：【解析】：由于f(x,y)在0,0處連續，可知如果limx0x2y0Af(x,y)存在,則必有yf(0,0)l!叫f(x,y)00這樣覚罟就可以寫成limf(x,y)x2f(0,0)2y,也即極限lLm0y0f(x,x2y)f(°,0)存在,可知limf(x,y)f(0,0)x0y00,也即f(x,y)f(0,0)Oyo.、x2。由可微的定義可知f(x,y)在(0,0)處可微。(4)【答案】：(D)析

8、】：Ikexsinxdx自變量的數，則可知Ik'esink0,k0,，即可知Ikexsinxdx關于k在e0,上為單調增函數又由于1,2,3(5)0,，則I1打【答案】：(C)011【解析】：由于1,3,4011C1C1C3C4(6)【答案】：(B)10010【解析】：QP1101則Q1100100100100故Q1AQ110P1AP110001001故選(B)(7)【答案】：(A)【解析】：X,Y的聯合概率密度為f(x,y)00P1,1I3，故選D110,可知1,3,4線性相關。故選(C)11100110011101110100120012y則PXYf(x,y)dxdyodx

9、6;exyex4y,x0,y00，其它4ydxe5ydy0J(8)【答案】：(D)，且是負相關，所以相關系數為-1二、填空題：914小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上【解析】：設兩段長度分別為x,y,顯然xy1,即yx1，故兩者是線性關系(9)【答案】：ex【解析】：特征方程為r2r20,特征根為r11,r22,齊次微分方程f(x)f(x)2f(x)0的通解為f(x)CdC2e2x.再由f'(x)f(x)2ex得2GexC?e2x2ex,可知G1,C20。故f(x)ex(10)【答案】2【解析】令tx1得xj2x0x2dx(t1t2dtJ1t2dt-12(11)【

10、答案】1,1,1zz1【解析】gradxyy,x2,1,1,1y(2,1,1)yy(2,1,1)(12)【答案】：遼12【解析】：由曲面積分的計算公式可知3y2dxdy,其中Dy2dsy2._1(1)2(1)2dxdyDD(x,y)|x0,y0,xy1。故原式30dy02dx、30y2(1y)dy卡(13)【答案】：2【解析】：矩陣xxT的特征值為0,0,1,故E【解析】：矩陣xxT的特征值為0,0,1,故ExxT的特征值為1,1,0。又由于為實對稱矩陣，是可相似對角化的,故它的秩等于它非零特征值的個數，也即rExxT2。(14)【答案】：-4三、解答題：1523小題，共94分請將解答寫在答題

11、紙指定位置上解答應寫出文字說明、證明過程或演【解析】:由條件概率的定義，PABCPABCP5C12其中PC1pc133PABCPABPABC1PABC，由于A,C互不相容，即AC,PAC0,又213ABCAC，得PABC0，代入得PABC,故PABC24算步驟(15)1xx2【解析】：令fxxlncosx1，可得1x2ln1x.1xln1x1xln所以xln12x.2sinxx1x21x2尹x1x1x1時，有ln1x10,而可知，xln(16)【解析】：cosx10,有In-0,即得xln11cosxfx,yxesinx0”sinxx1,所以112x尹xsinx0,x先求函數的駐點.fx0,即

12、得xln-1cosx2x020,11，所以1x21X2"Xsinx0,cosx27,1x,yex又Afxxe,01,Bxye,00,fyx,y0,Cfyye,0所以B2AC0,A0,故fx,y在點e,0(17)【解析】limnanan1limnanan1limn0，解得函數為駐點為e,0.處取得極大值fe,04n24n32n124n14n13limn2n1124n14n134n34n22n124n4n32nS(x)xn02n1xx4n24n32n.S(t)dtxdx0n002n1'發散'發散4n24n32nX1時xn02n14n24n3Jimn2n112n14n24n

13、302n112n收斂x1,1為函數的收斂域。和函數為S(x)4n24n32nx2n1(18)【解析】：【解析】：(1)曲線L在任一處(x,y)的切線斜率為dydxoi+帀，過該點(x,y)處的切線為YcostsintXf(t)f(t),令Yf(t)costf(t).由于曲線L與x軸和y軸的交點到切點的距離恒為1.故有f(t)cottf(t)f(t)22直cost1又因為f0(0t-)所以f(t)sintcott,兩邊同時取不定積分可得f(t)InsecttantsintC,又由于f(0)0,所以C0.故函數f(t)lnsecttantsint.此曲線L與x軸和y軸的所圍成的無邊界的區域的面積為

14、:S02costf(t)dt；(19)【解析】：設圓x2y22x為圓G,圓x2y24為圓C2，下補線利用格林公式即可,設所補直線J為x0(0y2),下用格林格林公式得:原式3x2ydx(x3x2y)dyLL,c2,33xydx(xLix2y)dy(3x213x2)dxdyD2ydy(20)1a0001a0【解析】：（i)1001aa0011a001101a010001a00a00100(n)1a00101a0001a00001a4a114SC2產1442可知當要使得原線性方程組有無窮多解1a0a0001aa41(1)1a01a400101aa0011a0011a0101a0101a0001a0

15、2a01a003a12aaa2貝U有14a0及a2a0,可知a1。110011001001101，進一步化為行最簡形得0101100110001100000000000此時，原線性方程組增廣矩陣為0111，故其通解為k0101可知導出組的基礎解系為1,非齊次方程的特解為1010線性方程組Axb存在2個不同的解，有|A|0.11即：A010(1)2(1)0,得1或-1.11111X1當1時，000X2111X3(21)X0,顯然不符，故1【解析】：1)由r(ATA)r(A)2可得,101011a10a110a202X1fxTATAxx1,x2,x3022x2)224X32222x-|2x24x3

16、4x,x24x2x3202則矩陣B022224解得B矩陣的特征值為:10；22；36對于10,解1EBX對于10,解1EBX0得對應的特征向量為:1對于22,解2EBX0得對應的特征向量為：2101對于36,解3EBX0得對應的特征向量為：312將1,2,3單位化可得:2o16XY0124P7/121/301/12,Y110414(1)PX2YPX0,Y0PX2(2)covXY,YcovX,YcovY,YcovX,YEXYEXEY，其中EXZex2322522DYEYEY1,EXY333所以,covX,Y0,covY,YDY2,cov3(23)21,EY1,EY5,dxex232EX1【解析】：(1)因為XN(2)