1、2011年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題一、選擇題（18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.）(1)已知當x0時，f（x）3sinxsin3x與cxk是等價無窮小，則（）(A)k1,c4.(B)k1,c4.(C)k3,c4.(D)k3,c4.x2fx2fx3(2)已知函數f（x）在x0處可導，且f（0）0,則lim3=()xx0(A)2f0.(B)f0(C)f0(D)0設Un是數列，則下列命題正確的是（）(A)若un收斂，則（u2n1u2n)收斂.(B)若(u2n1u2n）收斂，則un收斂.n1n1n1n

2、1(C)若un收斂，則（u2n1u2n)收斂.(D)若(u2n1u2n）收斂，則un收斂.n1n1n1n1(4)設14Insinxdx,J4Incotxdx，K4Incosxdx,則I,J,K的大小關系000是（）(A)IJK.(B)IKJ.(C)JIK.(D)KJI.(5)設A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B,再交換B的第2行與第3行得單100100位矩陣，記R110,F2001,則A()001010(A)RP2(B)P1F2.(C)P2P1.1(D)P2P(6)設A為43矩陣，1,2,3是非齊次線性方程組，Ax的3個線性無關的解,K,k2為任意常數,則Ax的通解為()(A)k1(

3、21)(B)ki(1)(C)k1(21)k2(31)(D)ki(1)k2(31)設F1(x),F2(x)為兩個分布函數,其相應的概率密度fj(x),f2(x)是連續函數,則必為概率密度的是()(A)fi(X)f2(X).(B)2f2(x)Fi(x).(C)fi(x)F2(x)(D)fi(x)F2(x)f2(x)Fi(x)(8)設總體X服從參數為單隨機樣本，則對應的統計量Ti(A)E(Ti)Eg,D(Ti)(C)E(Ti)E(T2),D(Ti)(0)的泊松分布，X1,X2,，,Xn(n2)為來自總體1n1n11,)Xi,T2彳XiXn(ni1n1i1nD(T2)(B)E(可Eg,D(TJDgD(

4、T2)(D)EgE(T2),D(TJDgX的簡(914小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)(10)(11)(12)積為填空題設函數z曲線tan曲線y(13)設二次型XXy1,則dzy,x21,直線fX1,X2,X3xQy下的標準形為(14)設二維隨機變量X,Y1,1ey在點0,0處的切線方程為2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉所成的旋轉體的體xTAx的秩為1,A的各行元素之和為3,則f在正交變換服從正態分布N222,；0,則EXY數學(三)試題第2頁(共15頁)三、解答題(1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

5、.)(15)(本題滿分10分)2sinxx1求極限lim.x0xln1X(16)(本題滿分10分)已知函數fu,v具有連續的二階偏導數，f1,12是fu,v的極值,值,y,fx,y,求2z1,1(17)(本題滿分10分)求arcsi.Xlnxdx.(18)(本題滿分證明4arctanx(19)(本題滿分設函數f(x)在10分)4x310分)0,1有連續導數，f(0)1,且f(x30恰有2實根.y)dxdyf(t)dxdy,Dt(x,y)0ytx,0xt(0t1),求f(x)的表達式.(20)(本題滿分111(1,0,1)T,2(0,1,1)T,3(1,3,5)T1(1,0,1)T,2(0,1,

6、1)T,3(1,3,5)T臺匕冃匕向量組(1,1,1)T,2(1,2,3)T,3(3,4,a)T線性表示.(I)求a的值；)將1,2,3由1,2,3線性表示.(21)(本題滿分11分)1111A為三階實對稱矩陣，A的秩為2,即rA2,且A00001111設向量組不(I) 求A的特征值與特征向量;(II) 求矩陣A.(22)(本題滿分11分)設隨機變量X與Y的概率分布分別為X01P1/32/3Y101P1/31/31/3且PX2Y21.(I)求二維隨機變量(X,Y)的概率分布；(II) 求ZXY的概率分布；(III) 求X與Y的相關系數XY.(23)(本題滿分11分)設二維隨機變量(X,Y)服從

7、區域G上的均勻分布，其中G是由xy0,xy2與y0所圍成的區域.(I) 求邊緣概率密度fX(x)；(II) 求條件密度函數fX|Y(x|y).2011年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題答案一、選擇題（18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.）exkcxk（1）【答案】（C）.3sinxsin3x【解析】因為limx03sinxsinxeos2xeosxsin2xlimx0sinx3eos2xlimx02eos2xkex23eos2x2eosxlimx0kex2232eosx12eosxlimx0k1exli

8、mx04eos2xexlim4sin2x0exk12fx33xx2fxlimx0x2f02f3xx32f002f0故答案選（B）.【答案】（A）.【解析】方法1:數項級數的性質:方法2:排除法，舉反例.x3f03x收斂級數任意添加括號后仍收斂,故（A）正確.選項(B)取Un(1)n,這時n(U2n1U2n)10收斂,但unn1n1（1）n發散，故選項（B）n1所以c4,k3,故答案選（C）.【答案】（B）.2xfx【解析】limx0錯誤;選項(C)取un(1)這時Un(1)-收斂，但(u2n1u2n)-發散，故選nn1n1nn1n1n項(C)錯誤；選項(D)取un1,這時(u2n1U2n)0收

9、斂，但un1發散,故選項(D)錯誤.故n1n1n1n1正確答案為(A).(4)【答案】(B)【解析】因為0x時，0sinxcosx1cotx,4又因Inx是單調遞增的函數,所以InsinxIncosxIncotx.故正確答案為(B).【答案】(D).【解析】由于將A的第2列加到第1列得矩陣B,故即ARB,ABR1.由于交換B的第2行和第3行得單位矩陣，故100001BE,010即P2BE,故BF21P2因此，AF2R1,故選(D).(6)【答案】(C).【解析】由于1,2,3是Ax的3個線性無關的解，所以31,21是Ax0的兩個線性無關的解，即Ax0的基礎解系中至少有2個線性無關的解，所以可排

10、除(A)、(B)選項.又因為A-0,所以一-是Ax0的解，不是Ax的解，故排除(D)選項，因此2選(C).事實上，由于1,2,3是Ax的三個線性無關的解，所以21,31是Ax0的兩個線性無關的解，即Ax0的基礎解系中至少有2個線性無關的解，亦即3r(A)2,故r(A)1由于AO,所以r(A)1,故r(A)1這樣，Ax0的基礎解系中正好有2個線性數學(三)試題第6頁(共15頁)2011無關的解，由此知21,31是Ax0的一個基礎解系.因為1,2,3是AX的解,所以A2,A3,因此A計，所以亍是Ax的一個特解.由非齊次線性方程組解的結構，可知Ax的通解為-3k1(21)k2(31)2【答案】(D)

11、.【解析】選項(D)f,x)F2(x)f2(x)F(x)dxf,x)F2(x)f2(x)F(x)dxF2(x)dR(x)F1(x)dF2(x)dF1(x)F2(x)F1(x)F2(x)|1.所以f1F2(x)f2F1(x)為概率密度.(8)【答案】(D).【解析】因為Xj,X2，,XnP()所以E(XJ,D(Xi)，從而有1r11n1ET1E(-Xi)-E(Xi)1EXEXni1ni1n1n111n11ET2EXiXnE(Xi)E(Xn)n1i1nv1i1rEX1EX1丄nn因為11丄,所以ET1ET2n1n11又因為DT1D(Xi)2nD(X)-DX.ni1nnn1n111n11DT2D(X

12、iXnJ2D(Xi)D(Xn)n1i1n(n1)i1niiii-D(X)字D(X)-飛n1nn1n111由于當n2時，一飛,所以DT1DT2.nn1n1、填空題(914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)【答案】(9)【答案】3xe3x.【解析】因為limx13t13t3xxe所以，fxe3x3x.(10)【答案】2ln2dxdy【解析】【解析】(1-ln(1eydzdxdzdx(1丄ln(1ydzdy(1xx、Yx2ln(1)yyx2y1上y所以,dzdx2ln21,(1,1)dzdx(1,1)從而dz1,12lndx(11)【答案】2x.【解析】方程tan2l

13、n2,2ln2dy或dz1,12ln2dxdyey的兩端對x求導,有22secxy41yeyy,將x0,y0代入上式，有11yy,解得y0,02,COS4(12)【答案】3【解析】如圖2所示:2y2dxdx(13)【答案】c23y1.【解析】因為A的各行元素之和為13,所以A1,故3為矩陣A的特征值.由r(A)1知矩陣A有兩個特征值為零，從而13,所以二次型在由于二次型在正交變換下標準形前面的系數即為二次型所對應矩陣的特征值正交變換下的標準形為3y12.(14) 【答案】【解析】根據題意【解析】根據題意,二維隨機變量X,Y服從N22,;0.因為xy0,所以由從而有維正態分布的性質知隨機變量X,

14、Y獨立，所以X,Y2.22EXYEXEY三、解答題(1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙.指定位置上，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分10分)12sinxx1、12sinxx1【解析】limlim廠x0xln1xx0xJ2moHxi2sinx2cosx2xcosxJ2sinx2x12sinxcosx；12sinxsinx2xcosx12sinx2limx0limx0limx0cosxlimx02,12sinx2.(16) (本題滿分10分)f2【(xy),f(x,y)fi(x,y)【解析】Zf1(xy),f(x,y)1111xy,fxy1212f2(x,y)

15、2121xy,fxy22xy,fxyf2(x,y)f1(x,y)y,fxy12x,y由于所以f1,12為fu,v的極值,故f11,121,10,112,2xy2,2f121,1.（17）（本題滿分10分）【解析】令t二,則xarcsin、xInx,dx、-xarcsin、xInx,dx、-x2arcsintInt2tdtarcsintlnt2dt2tarcsint2t2tlnt22tarcsintd(1t2).1t22tlnt24t(18) (本題滿分10分)20112tarcsint2.1t22tlnt24tC2.xarcsin、x2.xlnx21【解析】設f(x)4arctanxx43,3

16、4f(x)FT1(.3x)(.3x)1x2令f(x)0,解得駐點xi、3,x2,3.所以，當x3時，f(x)0,故f(x)單調遞減；當x3時,f(x)0,故f(x)單調遞增;3時，f(x)0,故f(x)單調遞減.又當x(V)U(.3,、時f(x)0,且f(.3)零點；又f(、3)832、一30,limfxxlim4arctanxx,故x(,.3)時只有一個30,由零3點定理可知，存在x0.3,所以,方程4arctanxx0恰有兩實根.f(xy)dxdyDtttdx00xf(xy)dy(19) (本題滿分10分)12【解析】f(t)dxdyt2f(t),DtDt2t0(f(t)f(x)dxttf

17、(t)0f(x)dxt由題設有tf(t)0f(x)dxt由題設有tf(t)0f(x)dxFf(t),上式兩端求導，整理得(2t)f(t)2f(t),為變量可分離微分方程，解得f億）C2(t2)帶入f(0)1,得C4.所以，f(x)-(x2)2?0x1.（20）（本題滿分11分)【解析】（1）由于1?2?3不能由1?2?3線性表示，對（1?2?3?1?2?3）進行初等行變換:113101(1,2?3?1?2?3)1240i1313a11511310111310101111120111112.02a3101400a5210當a5時，r（1?2?3)2r(1?2?3?1)3,此時?1不能由1?2?3

18、線性表示?故1,2,3不能由1:12,3線性表示.（II）對（1,2?3?1?2?3）進行初等行變換：101113(1,2?3?1?2?3)0131241151351011131011130131i2401312401402200110210021150104-2105001102故121423?2122?35110223.（21）（本題滿分11分）1111【解析】(I)由于A0000,設11,0,T1,2T1,0,1,則1111A1,21,2,即A11,A22,而10,20，知A的特征值為1,21,對應的特征向量分別為K1匕0,k22k20.由于rA2,故A0,所以30.,故不同特征值對應的特征向量相互正交由于A是三階實對稱矩陣,設0對應的特征