1、第二節(jié)函數(shù)的微分法第二節(jié)函數(shù)的微分法一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算二、復(fù)合函數(shù)的微分法二、復(fù)合函數(shù)的微分法第二章導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分定理定理 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u(x)、v( (x) ) 在在 x 處可導(dǎo)處可導(dǎo)，)0)()()( xuxuxv在在 x 處也可導(dǎo)，處也可導(dǎo)，(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算且且則它們的和則它們的和、差差、積與商積與商證證上述三個(gè)公式的證明思路都類似，我們上述三個(gè)公式的證

2、明思路都類似，我們只證第二個(gè)只證第二個(gè)因?yàn)橐驗(yàn)閡 (x + + x) - - u(x) = u，即即u (x + + x) = u(x) + + u，同理有同理有v (x + + x) = v(x) + + v .y = u(x)v(x)，令令則則 y = u(x + x) v(x + x) u(x)v(x) = u(x) + u v(x) + v u(x)v(x) = u(x) v + v(x) u + u v .,lim)( 0 xuxux 因因?yàn)闉?lim)(0 xvxvx 所以所以 vxuxuxvxvxuxyxx)()(limlim00vxuxuxvxvxuxxxx 0000limli

3、mlim)(lim)().()()()(xvxuxvxu 推論推論 1(cu(x) = cu (x) (c 為常數(shù)為常數(shù)).推論推論 2.)()()(12xuxuxu 解解根據(jù)推論根據(jù)推論 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ，(5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - - sin x，(ex) = ex， (1) = 0，故故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1) = (3x4) ( (ex ) ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x .f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1又又(x4) = 4

4、x3，例例 1設(shè)設(shè) f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1，求求 f (x) 及及 f (0).例例 2設(shè)設(shè) y = xlnx ， 求求 y .解解根據(jù)乘法公式，有根據(jù)乘法公式，有y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnxxxxln11 .ln1x 解解根據(jù)除法公式，有根據(jù)除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例例 3設(shè)設(shè),112 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 xxxxxxx例例 4 設(shè)設(shè) f (x) = tan x， 求求 f (x)

5、. xxxxfcossin)(tan)(xxxxx2cossin)(cos)(sincos .seccos1cossincos22222xxxxx 即即同理可得同理可得(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x .解解例例 5設(shè)設(shè) y = sec x，求求 y .解解根據(jù)推論根據(jù)推論 2，有，有 xxycos1)(sec.sectancossin2xxxx 即即同理可得同理可得(sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x .xx2cos)(cos ,11)(arcsin2xx 另外可求得另外可求得

6、,11)(arccos2xx ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx ( (以后補(bǔ)證以后補(bǔ)證) )二、復(fù)合函數(shù)的微分法二、復(fù)合函數(shù)的微分法定理定理 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (u)， u = (x) 均可導(dǎo)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) y = f ( (x) 也可導(dǎo)也可導(dǎo).且且，)()(xufyx .ddddddxuuyxy ，xuxuyy 或或或或 xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim，xuxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy 即即證證設(shè)變量設(shè)變量 x 有增量有增量 x，. 0lim0 ux所所以以由于由于 u 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 相應(yīng)地

7、變量相應(yīng)地變量 u 有有增量增量 u，從而從而 y 有增量有增量 y.推論推論設(shè)設(shè) y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均均可導(dǎo)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) y = f ( (x) 也可導(dǎo)也可導(dǎo)，.xvuxvuyy 且且例例 6設(shè)設(shè) y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x + + 1 看成中間變量看成中間變量 u，y = u5，u = 2x + + 1復(fù)合而成，復(fù)合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux 將將 y = (2x + + 1)5看成是看成是由于由于例例 7設(shè)設(shè) y = sin2

8、 x，求，求 y .解解這個(gè)函數(shù)可以看成是這個(gè)函數(shù)可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的導(dǎo)數(shù)公式，用乘法的導(dǎo)數(shù)公式，將將 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 復(fù)合而成復(fù)合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 這里，這里， 我們用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法我們用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法.解解 y = etan x 可以看成是由可以看成是由 y = eu，u = tan x 復(fù)合而成，復(fù)合而成，所以所以xuuxuxxuyy)(tan)e ( .esecsecetan22xuxx 例例

9、 9設(shè)設(shè) y = etan x，求，求 y .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)熟練后，中間變另可以不必復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)熟練后，中間變另可以不必寫出寫出.求求 y .,12xy 設(shè)設(shè)解解將中間變量將中間變量 u = 1 - - x2 記在腦子中記在腦子中. )1(2121)(21221也也在在心心中中運(yùn)運(yùn)算算 xuuyu這樣可以直接寫出下式這樣可以直接寫出下式xxxxy )1()1(212212.12xx 例例 10例例 12設(shè)設(shè) f (x) = arcsin(x2) ，求，求 f (x).解解xxxxf )(11)(24.124xx 例例 13,sinlnxy 設(shè)設(shè)求求 y .解解這個(gè)復(fù)合函數(shù)有三個(gè)復(fù)合步驟這個(gè)復(fù)

10、合函數(shù)有三個(gè)復(fù)合步驟. ,sin ,lnxvvuuy 把這些中間變量都記在腦子中把這些中間變量都記在腦子中xxxxxy )(sinsin1)(xxxx )(cossin1.cot21xx 例例 15,exxy 設(shè)設(shè)求求 y .解解xxxxxxy )e()e(2121 xxxxxx )e ()()e(2121 xxxxx )(e1)e(2121).e1()e(2121xxx 解解先用除法的導(dǎo)數(shù)公式，遇到復(fù)合時(shí)，再先用除法的導(dǎo)數(shù)公式，遇到復(fù)合時(shí)，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.2222)1()1(1)(xxxxxy 222112211xxxxx .)1(1)1(1)1(2322222xxx

11、xx 例例 16,求求 y .21xxy 設(shè)設(shè)例例 17設(shè)設(shè) y = sin(xln x)，求求 y .解解先用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，先用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式， 再用乘法公式再用乘法公式y(tǒng) = cos(xln x) (xln x) = cos(xln x) (x (ln x) + + x ln x )= (1 + + ln x)cos(x ln x) .例例 19 )1ln( 2 xx求求解解先用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，先用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式， 再用加法求導(dǎo)公式，再用加法求導(dǎo)公式，然后又會(huì)遇到復(fù)合函數(shù)然后又會(huì)遇到復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)的求導(dǎo).21x )1ln(2 xx )1(1122xxxx)1(1 1122 xxx 221111xxxx.112x 例例 20設(shè)設(shè) y = sh x，求求 y .解解)e