1、1.2 1.2 行行 列列 式式一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式二階行列式二階行列式11a 2211aa行、行、列、列、元素元素主對(duì)角線、主對(duì)角線、 副對(duì)角線副對(duì)角線)( )( 12a21a22a2112aa-三階行列式三階行列式 332211aaa131211aaa312213aaa )( )( 232221aaa333231aaa312312aaa 322113aaa 332112aaa 322311aaa 1例例計(jì)算行列式計(jì)算行列式512432221D 解解122242531D ）（）（）（141522232 ）（）（）（39 :矩陣與行列式的區(qū)別矩陣與行列式的區(qū)別;數(shù)表數(shù)表矩陣

2、矩陣 數(shù)數(shù)行列式行列式 在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 二、二、n n階行列式的定義階行列式的定義,444342413433323124232221

3、14131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個(gè)個(gè)代代數(shù)數(shù)余余子子式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著一一個(gè)個(gè)余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個(gè)個(gè)元元素素分分別別定義定義1.71.7：行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 或或jnjnjjjjAaAaAaD 22

4、11 nj, 2 , 1 0532004140013202527102135 D例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解0532004140013202527102135 D . .1080124220 53241413252 53204140132021352152 66027013210 6627210 13rr 122 rr 例例3 證明證明上上三角行列式三角行列式等于其主對(duì)角線上所有等于其主對(duì)角線上所有元素之積元素之積.nnnnaaaaaa000222112110.2211nnaaa n 21 n 21對(duì)角形行列式對(duì)角形行列式三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)行列式行列式 稱為行列式稱為行列式

5、的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .說(shuō)明說(shuō)明: :行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. . 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互

6、換相同的兩行，有 . 0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853性質(zhì)性質(zhì) 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 或或jnjnjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnnin

7、iinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)6行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列

8、式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)7把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111

9、k例如例如4例例計(jì)算行列式計(jì)算行列式325298201503132 D解解325230012003500132 D321213132325300200500132 24 1.1.化三角形法化三角形法利用性質(zhì)化為三角形行列式利用性質(zhì)化為三角形行列式. .2.2.降階法降階法( (展開法展開法) )用展開法則按一行用展開法則按一行( (列列) )展開展開. .可在選定的一行可在選定的一行( (列列) )中中利用性質(zhì)利用性質(zhì)盡量盡量化化零，再按零，再按此行此行( (列列) )展開展開. .行列式計(jì)算的基本方法行列式計(jì)算的基本方法例例5:5:用化三角形法及降階法計(jì)算下列行列式用化三角形法及降階法計(jì)算下

10、列行列式3351110243152113 D3315112043512131 解法一：解法一： 原式原式72160648011202131 32rr 145rr 12rr 72160112064802131 56001080011202131 234rr 244rr 40250001080011202131 3486rr 例例6 6 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1)

11、 1(00 .)() 1(1 nbabna7例例解解n21a1111a1111a1D 計(jì)算行列式計(jì)算行列式)n,2 , 1i , 0a(i )1( n1211a0a0aa11a1D )(21aa)(1naanniiaaaaa00001112211 n32aaa niiaaa2111n21aaa n1iia11階范得蒙行列式階范得蒙行列式證明證明例例n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD)xx(jinij1 )2n( 證明證明時(shí)時(shí)2n 12212xxxx11D 階范得蒙行列式成立階范得蒙行列式成立設(shè)結(jié)論對(duì)設(shè)結(jié)論對(duì)1n )x(1 )x(1 )x(1

12、 2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2nn2n32n2n32n2k1kxxxxxx111)xx( )xx()xx(jinij2n2k1k )xx(jinij1 例例計(jì)算行列式計(jì)算行列式bacacbcbacbaD 222cbacbacbacbacbaD 222解解:111)(222cbacbacba 2222111)1)(cbacbacba )()

13、()(abbcaccba 例例解方程解方程:0144413331222132323232 xxx)23)(24)(34)(2)(3)(4( xxxDDT解解: 設(shè)方程左邊為行列式設(shè)方程左邊為行列式D,則則:(方法一方法一) 4, 3, 2321 xxx解解: 設(shè)方程左邊為設(shè)方程左邊為f(x),則則f(x)=0為三次方程為三次方程,又又(方法二方法二) 0)4(, 0)3(, 0)2( fff4, 3, 2321 xxx例例10:1111321121121121nnnnnaaaaaxaaaaxaaaaxD000000000012211121xaaxxaaxxaaaaxnnxaaxxaaxxaax

14、xannnn0000000000000) 1(1112211)1 ()()(21xaxaxan()()D行行列列式式 的的任任一一行行 列列 的的各各元元素素與與另另一一行行 列列.式乘積之和為零式乘積之和為零的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子1s1 iAa2s2iAa 0Aasnin ) si ( t1j1Aat2j2Aa 0Aantnj ) tj ( 性質(zhì)性質(zhì)8：2921702133332314D 41424344AAAA.例例11：證明：證明滿足滿足性質(zhì)性質(zhì)9：四塊缺角行列式：四塊缺角行列式,0ACA BB 0.AA BDB 注意：注意：C 、D 子塊與子塊與 0 子塊未必是方陣子塊未必是方陣10000012000130000021000151002101215013 性質(zhì)性質(zhì)10：設(shè)：設(shè)A,B 都是都是 n 階方陣，則階方陣，則ABA B 一般地，有一般地，有kkAAAA11 注意：注意：BAAB )1(0)2( AB00 BA或或(4) AB BA 0)3( kA0 A 例例13: 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A 滿足滿足, IAAT 1,.AIA求求12:例例, 02, 2|,3