1、1波動理論（淺水運動中的平面波）2一 平面波的基本概念 頻散關系 相速度和群速度 頻散波和非頻散波)(0)(0ReReitlykxiee3頻散關系 頻散關系是指波動的頻率和波數之間的關系，它代表了某種波動的特征，任何一種特定的波動都有其特定的頻散關系，因而頻散關系也是確定波動性質的非常有效的工具。4相速度和群速度CgC5頻散波和非頻散波 如果一種波動的相速度和群速度一樣，就稱為非頻散波；如果一種波動的相速度和群速度不一樣，就稱為頻散波。22lkkckcxlcyjciccgygxgkcgxlcgy6頻散波和非頻散波的特點非頻散波頻散波7二 淺水運動中的小振幅波動 運動方程 f=0（無旋轉）下平面

2、無限等深流體內的波動 淺水重力波 f=C（f平面）下平面無限等深流體內的波動 Poincare（邦加萊）波 f=C（f平面）下水平有界等深流體內的波動 Kelvin（開爾文）波 f不為常數下的波動Rossby（羅斯貝）波81 運動方程 淺水中的線性化方程，非線性平流項已經去掉，由上述方程組消去u，v，就可以得到水位方程xgfvtuygfutv0)()(00vHyuHxt9水位方程0),()()(020222HgfJcftt020gHc 10定常運動 如果運動為定常的淺水小振幅運動即為如果運動為定常的淺水小振幅運動即為地轉流地轉流 yfguxfgv11非定常運動波動 對波動而言波動的主控動力學方

3、程是相同的，對波動而言波動的主控動力學方程是相同的，不同主要是邊界條件的不同，不同的邊界條不同主要是邊界條件的不同，不同的邊界條件（強迫）決定了不同的波動的頻散關系件（強迫）決定了不同的波動的頻散關系（頻散關系即頻率和波數之間的關系，它決（頻散關系即頻率和波數之間的關系，它決定波動的特性），也就決定了不同性質的波定波動的特性），也就決定了不同性質的波動下面我們就在不同的邊界條件下討論不動下面我們就在不同的邊界條件下討論不同性質的波動同性質的波動 122 f=0（無旋轉）下平面無限等深流體內的波動 淺水重力波是二列方向相反，頻率大小相同的波動 ，這是一種非頻散波。Kc00ccttc2xx 0,c

4、 gH13淺水重力波x0u=(g/H)1/2=0Cott=0t=t1t=t214淺水重力波x0t=0u=0, =0t=t3t=t20/2wavewakewavefrontt=t10/2153 f=C（f平面）下平面無限等深流體內的波動 無限平面等深波是二列方向相反，頻率大小相同的波動。在海洋上這種長波稱為邦加萊波（Poincare）。在氣象上，這種長波稱為慣性重力波，即在地球旋轉影響下的重力波。旋轉（地轉）旋轉（地轉）使波速增大使波速增大。頻率大于f，周期小于地轉周期的一半。即頻率大大地超過大尺度大氣海洋緩慢地運動頻率。 212202Kcf16邦加萊波特點 其中R為Rossby變形半徑=C0/

5、f 短波： 旋轉的影響相對于重力的影響是次要的 長波：慣性振蕩，重力的影響是次要的 2221)(KRf1RKRKf1RKf174 f=C（f平面）下水平有界等深流體內的波動考慮一個平行于考慮一個平行于x軸的寬度為軸的寬度為L的通道。的通道。 引入邊界條件：引入邊界條件：y=0，l時，時，v=0 ，代入動力方程。)()(Retkxiey18頻散關系 離散的邦加萊波 Kelvin波 慣性震蕩 地轉流19離散的邦加萊波 此波特點是類似于無限平面等深淺水中的平面波，亦是向正，反兩個方向傳播的，不同之處在于y方向的波數l只是特定的值，l不可能任意取值，這恰恰是由邊界條件的特性決定波動的特性，只有特定頻率

6、的波才滿足一定的邊界條件。此波也是Poincare波，是一種特定條件下離散的Poincare波。 212222202)(Lnkcfn20Kelvin波 波動傳播的x方向滿足地轉平衡，由于y方向存在邊界限制，波動在y方向不滿足地轉平衡，整個波動是非地轉的。由于y方向存在邊界限制，只有y方向上有波動振幅的變化且隨y的變化呈指數衰減 。開爾文波的傳播方向和邊界位置有關，對于一個面向波轉播方向的觀察者來說，在北半球，邊界位于其右側，而在南半球，邊界位于其左側。 kc021特殊的Kelvin波赤道Kelvin波 Kelvin波作為一種邊界波，需要邊界的存在。科氏參數f在赤道為0，形成了一種特殊的邊界，產

7、生了赤道Kelvin波。22慣性振蕩 和地轉流 慣性震蕩的解代入原式求解，解也為開爾文波 。 等深渠道中波解的完全譜包括Poincare波，kelvin波，地轉流 。f0235 f不為常數下的波動Rossby（羅斯貝）波 如果絕對渦度的梯度不為0，即存在行星渦度梯度和環境渦度梯度，就會產生一種特殊的波動Rossby波，這是一種低頻的緩慢的波動，與前述的快波不同。24三 準地轉Rossby波 Rossby波是大洋調整中最重要的波動，是大洋中信息的攜帶者。本節將重點講解有關Rossby波的知識。251 Rossby波的動力方程準地轉位渦方程 Rossby波的產生和位渦密切相關，位渦梯度的存在是Ro

8、ssby波的恢復機制。2222000()0BfffyhtHgxyyxHHg2200gBffyhHHg ( ,)0ggJt26考慮基本流和地形作用BDhDfLyfq0220q q q U(y)dy U0yyhB y h022fgHLD27位渦方程變形為q f0y 2LD2f0D(y h0)qx 0,qyyyUULD2f0D,qt 0q 2LD20022xDxtxxt)L)(U.(e . iq)U(28定常情況 有地形存在而不存在行星渦度梯度下，流動沿等深線；不存在地形而存在行星渦度梯度下，流動沿緯線。J(,Q) 029非定常情況Rossby波 此時可以發現地形、海面起伏（環境渦度梯度）和科氏參數

9、變化（行星渦度梯度）是等價的，即如果只存在地形的話就可以產生地形Rossby波；只存在行星渦度梯度的話也可以產生Rossby波。DfLUUqDyyy02302 Rossby波的頻散關系 Rossby波的頻率及相速度都依賴于波數，因此是頻散波。 Rossby波是低頻波 。 Rossby 波僅當有位渦梯度存在時才能發生，即位渦梯度是產生Rossby波的必要條件。 UkkKLD22313 Rossby波的形成機制 位渦守恒和位渦梯度的存在是Rossby波形成的機制。xwestwardf, so y324 Rossby波的相速度和群速度 假定U=0，不存在基本流的作用，Rossby波的相速度都是向西的

10、，反映了旋轉的存在導致的東西不對稱；Rossby波的群速度長波也都是向西的，短波可以向東。kLKLlkcDDgx222222)()(22DLKkc335 緯向基本流中的Rossby波 西向波 東向波 駐波 以上體現了基本流的多普勒效應ckUKLD22346 長波的非多普勒效應 長Rossby波的一個特殊性質就是非多普勒效應，產生這個情況的原因是平流的多普勒效應和平流產生的環境位渦梯度效應相互抵消，因而長Rossby波的波速是不變的，假定不考慮地形效應，長Rossby波的波速為kLD22c U K2 LD2U LD2 f0DLD22DxLcDfLUUqDyyy0235觀測到的長Rossby波波速

11、367 Rossby波的能量傳播圖 波矢必須位于k-l平面的一個圓上 圓心： 半徑：2DLF022kFlkFlk222242)0 ,2(2122)4(F37能量傳播圖klCgK/(-2), 0(a, 0)Where a=/(-2)-(/(-2)2-LD-21/2388 有界區域中的Rossby波反射、Rossby波的Normal Mode 由于邊界的存在，波動的波數不再是連續的了，與前述離散的邦加萊波類似，此時的Rossby波的波數也只能取離散的特定值。39反射的示意圖40在能量圖中的表現41反射波形成的Normal ModeK1CgK2CgIncident wavereflectedwave

12、lkK2K142Y方向Normal Mode的推導1111Re()A ei k x l ytx12|yY 0A2eil2Y A1eil1Y 0k1k12 l12 LD212 k1k12 l22 LD2l2 l1 0l2 l1 0A2 A1e2il1Y2121111 Re()A eei k x l ytil YReResin( ()()()AeeeAeel yYi k xtil yil yil Yil Yi k xt121111111111243Normal Mode的特點 Normal Mode是一個系統固有的本征的波動模態，在一個有邊界條件約束的系統中，穩定波動狀態下只有Normal Mod

13、e存在。 大洋Rossby波的Normal Mode是大洋調整的波動周期，也是大洋記憶的一種表現444546479 強迫Rossby波 與自由波不同，強迫波的波數和頻率已經由外強迫所確定，振幅未知。 所得的解一般不滿足初始條件。)(22)(tmxioxDteFL)(0tmxie)(2200mLmiFD48共振的發生 此時發生共振，一般情況下共振的發生都是在外強迫的頻率和系統Normal Mode的頻率一致時發生的。22DLmm049四 斜壓Rossby波的初步知識 垂直方向的層結，相當于增加了垂直方向的邊界，因而斜壓Rossby波實際上就是垂直方向的邊界產生的Normal Mode波動，因而也

14、將斜壓Rossby波的各個模態稱為Baroclinic Mode。501 一層半模式及第一斜壓模Rossby波 一層半模式又稱為約化重力模式z1, u1zB2, u2 051一層半模式的一個重要結論：海面起伏和次表層溫躍層起伏方向相反，量級相差3個左右。z12p2z zBzzB -zB5253正壓模和斜壓模A t w o - b a l l system2 “baroclinic” mode 1 21, “barotropic” mode54第一斜壓模在大洋中的例子55NoImage56第一斜壓模波速的多普勒效應572 兩層半模式及第二斜壓模Rossby波 表現為溫躍層厚度的變化，可以從溫度異

15、常信號的傳播上發現該波動，這種波動和平流的方向基本一致，因而被稱為平流模態。58591971-731974-761977-79北太平洋熱異常信號（北太平洋熱異常信號（第二斜壓模態第二斜壓模態RossbyRossby波波）的）的“潛沉潛沉”從北向南；從上向下；從東向西。斜壓第二模態斜壓第二模態Rossby波不僅可以通過波不僅可以通過“內內部通道部通道”直接到達赤道太平洋（研究的成果很多），還可以通過向南、向西的傳播，直接到達赤道太平洋（研究的成果很多），還可以通過向南、向西的傳播，到達西邊界到達西邊界 （如何影響黑潮幾乎沒人研究）。（如何影響黑潮幾乎沒人研究）。溫度和平均流 50-300mZha

16、ng R-H 等2001603 連續層化模式及各個垂直模態Rossby波61根據層結流體準地轉位渦守恒方程其中將其線性化：222210ssytx yy xxyzsz 222210sstxyzszx22220sNDsfL2ssg dNdz 62邊界條件： 側向無界 垂向 ：限于 之內 當z1時， （海面剛蓋） 當z=0時， （忽略地形 加熱 底摩 擦等）01z20t z 20tz 63設位渦方程的解為：其中 為垂直結構函數將波解帶入位渦方程，得到：其中 ()Rei kx lytezz1ssdddzsdz 22kkl 64邊界條件轉化為：當 z=0 時 (海底）當 z=1 時 （海面）0dd z0

17、dd z65假設海洋從上到下的密度是常數,那么代入邊界條件解得:NoImageddsdzdz cos n z 01,2,n ，1ssdddzsdz 660.17680.17680.1768-800-600-400-2000barotropic mode-0.500.5-800-600-400-2000 mode1-0.500.5-800-600-400-2000 mode2-0.500.5-800-600-400-2000depth mode3-0.500.5-800-600-400-2000 mode4-0.500.5-800-600-400-2000 mode5-0.500.5-800-6

18、00-400-2000vertical functiondepthmode6-0.500.5-800-600-400-2000vertical functionmode7-0.500.5-800-600-400-2000vertical functionmode8 密度為常數67差分格式：jj1j212sjN12jSj1j 1j 12j12j 1j1j1j12jS212sjN2ssg dNdz 1122jjj1122jjj圖示：j=1 , 2 ,，M事實上海洋是有層結的68 都是密度的函數再由邊界條件得到：當 z=0 時當 z=1 時最終得到關于 的特征方程10 NoImage11jjjjjjjbcd jbjcjd1MM12, M -