1、冪的運算講義特爾教育一對一個性化輔導講義學科： 數學 任課教師：雷夢華 授課時間：2014年 11月 23日(星期 )姓名年級性 別 總課時_ 第_ 課教學目標掌握冪的運算法則，并能熟練運用法則進行計算；難點重點 熟練運用冪的運算法則進行計算；教學過程教材精華：1、 同底數冪的乘法法則：（m、n為正整數）。同底數冪相乘時，底數可以是單項式，也可以是多項式，若底數是多項式，可以用字母表示為：；同底數冪的乘法法則還可以逆用：（m、n為正整數）；同底數冪相乘時，底數可以是單項式，也可以是多項式，再冪的運算中常用到下面兩種變形： = 鞏固訓練：（1）計算： ； ； 。思路引導：將式子中不同的底數轉化成

2、相同的底數，然后再用同底數冪乘法的法則進行計算：解： 。 。 。方法總結：同底數冪相乘，先確定符號，負因數出現奇數個就取負號，出現偶數個就取正號，然后按照同底數冪的乘法法則進行計算。（2） 計算： ； ； ； ；思路引導：將a+b，x+2看成是一個整體，然后運用同底數冪的乘法法則進行計算；若底數為互為相反數的冪相乘時，可以利用冪確定符號的方法先轉化為同底數冪再按法則計算。解： 。 。 。 。方法總結：若底數為互為相反數的冪相乘時，在統一底數時，盡可能地改變偶次冪的底數，這樣可以減少符號的變化。（3） 已知，且m比n大3，求mn的值。思路引導：運用同底數冪的運算法則計算，然后由指數相等列出關于m

3、，n的一個方程，與“m比n大3”列出的方程組成方程組可解得m，n的值，進而可求mn的值。解：，1+m+n=14 .又m比n大3，m-n=3 .組成方程組為 ，解得 ， mn=8×5=40.方法總結：解此類問題，首先要根據同底數冪的乘法法則構造方程或方程組，再通過解方程或方程組求出指數中的字母，通過轉化和方程組呃綜合運用來解決問題。（4） 計算： ； ； 思路引導：先算同底數冪相乘，再合并同類項。解： =2×； =；（5） 同底數冪的乘法在科學計數法中的應用： 光的速度大約是千米/秒，如果一束光線從地球上向火星發射，大約需要20分鐘才能到達火星，求火星距離地球大約多少千米？

4、09年全年生產總值比2008年增長%，達到19367億元，19367億用科學計數法表示為： 思路引導： 根據“路程=速度×時間”可以求出火星與地球的大約距離。科學計數法的一般形式是a×10（1a<10）；解： ×10×20×60=×10（千米）；答：火星距離地球大約×10千米； 科學計數法的一般形式是a×10（1a<10），對于大于1的數，其指數n等于改數的整數位數減1，所以19367億元轉換為科學計數法×10元。2、 冪的乘方法則：（m、n為正整數），即，冪的乘方，底數不變，指數相乘；冪的乘

5、方法則的推廣：即（m、n、p為正整數）；冪的乘方法則還可以逆用：（m、n為正整數）；鞏固訓練：（1）計算： ； ； ； ； ；思路引導：運用冪的乘方法則進行運算時，一定要注意底數不變，指數相乘。解： =； =； = =； =；點撥：注意分清底數，特別是有負號的時候。（2） 計算： ； ；思路引導：把底數a-2b看成一個整體，然后進行計算；解： =；=；（3）若（a>0且a1，m，n是正整數），則m=n。利用這個結論解決以下兩個問題：如果，求x的值；如果，求x的值；思路引導：首先分析題意，分析結論的使用條件，即只要有（a>0且a1，m，n是正整數），則可知m=n，即指數相等，然后在解

6、題中應用即可。解： ，1+3x+4x=22，解得x=3，即x的值為3； ，6x=6，解得x=1，即x的值為1；方法總結：綜合運用冪的乘方法則和同底數冪的乘法法則將問題轉化為方程，運用方程確定字母的值是解決這類問題的常用方法。（4） 已知a=，b=，c=，則有（）A. a<b<c <b<a <a<b <c<b思路引導：本題所給的冪比較復雜，直接計算比較困難，經過觀察可發現其底數都可以化成的形式，故逆用冪的乘方性質把底數都化成2，再比較它們的指數的大小即可。因為a=，b=，c=，由乘方的意義，可知，即b>a>c，故應選C。答案：C。三、積

7、的乘方法則：（n為正整數），即把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。積的乘方的逆用：（n為正整數）；鞏固訓練：（1） 計算： ； ； ； ； 。思路引導：利用積的乘方法則計算，計算順序為：先算積的乘方，再算冪的乘方，最后算同底數冪的乘法，有同類項的要先合并同類項。解： =；=； =； =； =；易錯警示：運用積的乘方時，每個因式都要乘方，不能漏掉任何一個因式；系數連同他的符號一起乘方，系數是-1時不可忽略。（2） 用簡便方法計算：； ；思路引導：觀察該式的特點可知本題需利用乘法的結合律和逆用積的乘方公式求解；，故知該式需逆用同底數冪的乘法和積的乘方公式求解。解： =1×1=1；

8、 =-8；（3） 已知，求的值。解：=； 已知，試用a，b表示的值。思路引導：=，已知條件是的值，所以；解：=；在積的乘方運算比較復雜時，可以利用積的乘方法則展開，并把其轉化為由已知冪表示的式子，然后采用整體帶入的方法求其值。四、同底數冪的除法法則：（a0，m，n為正整數，并且m>n）；同底數冪的除法法則逆用：（a0，m，n為正整數，并且m>n）；鞏固訓練：（1） 判斷下列各式是否正確，錯誤的請改正： ； ； ； 。解： 不正確，應改為：，法則中底數不變，指數相減，而不是指數相除； 不正確，應改為：，與底數不同，要先化為同底數，即，再計算； 不正確，應改為，x-y與y-x互為相反數

9、，先化同底數再計算； 不正確，應改為，指數相減應為（m-1）-（m-2）=1；方法總結：底數不同時不能直接與運用同底數冪的除法法則計算，一定要先化成相同底數的冪再運算。計算：； ； ； ； ； ； ；思路引導：按照從左到右的順序進行計算，底數不相同要先化為同底數冪再計算；解 =； =； 原式=； 原式=； 原式= ； 原式=； 原式=；方法總結：多個同底數冪相除要按照從左到右的順序進行計算。（2） 解方程：； 解不等式：<；解： 原方程可化為，即；x-1=2，解得x=3； <， 2x-1>， 2x-1>-3(1-x)， 2x-1>3+3x， -x>-2， x

10、<2。方法總結：在含有冪的運算的等式（不等式）中，確定指數中的字母取值（范圍）的方法：通過符號（等號）兩邊各自計算，使左右兩邊底數相同，然后由指數相等（不等）構造方程（不等式）來求解字母的取值范圍。（3） 如果能被13整除，試說明：也能被13整除。思路引導：方法一：可以逆用同底數冪的乘法運算將變形成，根據已知條件能被13整除，可以說明也能被13整除；方法二：如果能被13整除，且與的差也能被13整除，那么也能被13整除。解：方法一：=， 和都能被13整除， 能被13整除，即也能被13整除。方法二：（-）=， 與也能被13整除，又能被13整除，也能被13整除。題型訓練：計算：1.= 2.=

11、3.= 4.= 5.= 6. 7. 8. 9.10. 11.12. 13.14. 15.16. 17. 18.19. 20. 21. 22.23. 24.25. 26.能力提升題：1.已知，求的值；2.已知，求的值；3. 已知，求的值；4.已知，求的值；5. 若，求的值；6.已知，比較a、b、c三個數的大小；7. 若，求m、n的值；8.解下列關于x的方程或不等式： ； ； ；綜合發展題：1.已知，求代數式的值； 2.已知，求的值（n為正整數）；3.已知，求的值；4. 無論a、b為何值時，都有成立，其中x、y、m是正整數且m不大于8，求x+2y+m的值； 5.設能被10整除，試說明：也能被10整

12、除；學后反思附： 題型練習答案計算： 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； ； 8.9. ； ； 11.； 12.； 13.； 14.；15.； 16.； 17.； 18.； 19.； 20.；21.； ； 23.； ； 25.； ；能力提升題：1.； 2.； 3.； ； 5. ； 6. b>a>c 思路引導：，故，即b>a>c； 7. m=3，n=5； 8. x=2； x=1； x=4； x<7；綜合發展題：1.；思路引導：先由“兩非負數和為0，則每個非負數均為0,”得到x，y的值，然后化簡求值；2.；思路引導：先由“三個非負數和為0，則每個非負數均為0,”得到x，y，z的值，然后代入求值；思路引導： ， ，同理有， ，即， xy=x+y，即=1；或12或