1、一、結構的位移概念一、結構的位移概念在外因作用下，結構會發生變形，其上各點或截面位在外因作用下，結構會發生變形，其上各點或截面位置發生改變，叫作結構的位移。置發生改變，叫作結構的位移。平面桿件結構的位移：平面桿件結構的位移：、線位移：水平位移、線位移：水平位移豎向位移豎向位移、轉角位移（角位移）、轉角位移（角位移）14-1 計算結構位移的目的計算結構位移的目的廣義位移概念：廣義位移概念：、絕對位移：一個截面相對自身初始位置的位移；、絕對位移：一個截面相對自身初始位置的位移；、相對位移：一個截面相對另一個截面的位移。、相對位移：一個截面相對另一個截面的位移。二、計算結構位移的目的二、計算結構位移

2、的目的、驗算結構的剛度，使結構的位移或變形不超出規定的范圍，、驗算結構的剛度，使結構的位移或變形不超出規定的范圍，滿足結構的功能和使用要求。滿足結構的功能和使用要求。、在結構的制作或施工時，按使用時結構位移的反方向予先采取措施。、在結構的制作或施工時，按使用時結構位移的反方向予先采取措施。、引入變形（位移）條件，為計算超靜定結構提供基礎。、引入變形（位移）條件，為計算超靜定結構提供基礎。產生位移的原因：產生位移的原因：（1 1）荷載）荷載 （2 2）溫度變化、材料脹縮）溫度變化、材料脹縮（3 3）支座沉降、制造誤差）支座沉降、制造誤差三、位移計算中的基本假定三、位移計算中的基本假定位移計算限定

3、結構在線性彈性范圍內工作。即，結構位移計算限定結構在線性彈性范圍內工作。即，結構的位移與荷載的大小成正比，且當荷載撤除后，結構的的位移與荷載的大小成正比，且當荷載撤除后，結構的位移也隨之消失。并應滿足如下基本假定：位移也隨之消失。并應滿足如下基本假定：、應力和應變服從虎克定律（物理線性）；、應力和應變服從虎克定律（物理線性）；、位移是微小位移（幾何線性），即可用結構原尺寸、位移是微小位移（幾何線性），即可用結構原尺寸和疊加法計算其位移；和疊加法計算其位移；、所有約束為理想約束，即約束力不作功。、所有約束為理想約束，即約束力不作功。結構的位移計算依據變形體的虛功原理。剛體虛功結構的位移計算依據變

4、形體的虛功原理。剛體虛功原理是其特殊（簡單）情況。原理是其特殊（簡單）情況。一、實功一、實功、常力實功、常力實功實功的力和位移兩要素相關。在外力實功的力和位移兩要素相關。在外力F FP P作用下，剛體沿作用下，剛體沿力的方向發生位移力的方向發生位移 。W=FP= FPcosa a14-虛功原理虛功原理2 2、靜力實功、靜力實功在靜外力在靜外力F FP1P1作用下，變形體在力的作用點沿力的方作用下，變形體在力的作用點沿力的方向發生位移向發生位移11 11 。靜力實功為：。靜力實功為：W=FW=FP1P111 11 /2/2二、虛功二、虛功在簡支梁上先加載在簡支梁上先加載F FP1P1 ，使力，使

5、力F FP1P1作用點的位移達到作用點的位移達到終值終值1111，再加載，再加載F FP2P2，使力，使力F FP1P1的作用點發生位移的作用點發生位移1212，力力F FP1P1在位移在位移1212上作的功叫虛功上作的功叫虛功, , 即：即： W W1212=F=FP1P11212虛功中的力和位移兩個要虛功中的力和位移兩個要素不相關。即無因果關系。素不相關。即無因果關系。虛功具有常力功的形式虛功具有常力功的形式實功與虛功 實功是力在自身引起的位移上所作的功。實功是力在自身引起的位移上所作的功。實功恒為正。實功恒為正。 虛功是力在其它原因產生的位移上作的虛功是力在其它原因產生的位移上作的功。如

6、力與位移同向，虛功為正，反向功。如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負。時，虛功為負。Kj位移發生的位置位移發生的位置產生位移的原因產生位移的原因三、剛體的虛功原理及應用三、剛體的虛功原理及應用、剛體的虛功原理、剛體的虛功原理 在具有理想約束的剛體體系中，若力狀態中的力系滿足在具有理想約束的剛體體系中，若力狀態中的力系滿足靜力平衡條件，位移狀態中的剛體位移符合約束條件，則該靜力平衡條件，位移狀態中的剛體位移符合約束條件，則該力在該相應的剛體位移上所作的外力虛功之和等于零，即力在該相應的剛體位移上所作的外力虛功之和等于零，即WW1212。利用虛功原理和虛功的力和位移不相關的特性，可利用虛功原

7、理和虛功的力和位移不相關的特性，可虛設位移（或力）狀態，求實際的力（或位移）。因虛設位移（或力）狀態，求實際的力（或位移）。因此，虛功原理有兩種應用。此，虛功原理有兩種應用。分析：梁在荷載作分析：梁在荷載作用下其支座反力有用下其支座反力有靜定解，即荷載與靜定解，即荷載與支座反力組成滿足支座反力組成滿足靜力平衡條件的力靜力平衡條件的力狀態。若再有一個狀態。若再有一個恰當的與支座約束恰當的與支座約束相容的剛體位移狀相容的剛體位移狀態，就可由虛功原態，就可由虛功原理求支座反力。理求支座反力。例例1 1 用虛位移原理求圖示簡支梁的支座的反用虛位移原理求圖示簡支梁的支座的反 力力F FByBy。解：）切

8、斷支座鏈桿，使由此得到的機構發生沿解：）切斷支座鏈桿，使由此得到的機構發生沿Fby方向的剛體虛位移。方向的剛體虛位移。）令實際力系在剛體位移的虛位移上作虛功，代入）令實際力系在剛體位移的虛位移上作虛功，代入W12=0得虛功方程：得虛功方程： FByBFP P=0由虛位移圖的幾何關系可知由虛位移圖的幾何關系可知 P/B a/l 得得: FBy FP a/l ()（實際）力狀態（實際）力狀態（虛）位移狀態（虛）位移狀態說明：本例應用虛功原理求結構支座反力的方法叫虛位移說明：本例應用虛功原理求結構支座反力的方法叫虛位移法。為簡單起見，可設虛位移法。為簡單起見，可設虛位移B 1，則本題求解過程如，則本

9、題求解過程如下下 : FBy1FP dP=0 即，即， FByFP d P=0 由由 d P= al 得，得， FBy FP al ()這樣處理后的方法叫虛單位位移法（簡稱單位位移法）。這樣處理后的方法叫虛單位位移法（簡稱單位位移法）。單位位移法步驟：單位位移法步驟：）去掉與擬求力相應的約束，并代以擬求力（力的方向）去掉與擬求力相應的約束，并代以擬求力（力的方向是先假定的），并使得到的體系（機構）沿擬求力的方向是先假定的），并使得到的體系（機構）沿擬求力的方向發生單位虛位移；發生單位虛位移；）令所有外力在體系的虛位移上作虛功，建立虛位移方）令所有外力在體系的虛位移上作虛功，建立虛位移方程并求解

10、。程并求解。）結果為正，所得力的方向與假定的方向相同；結果為）結果為正，所得力的方向與假定的方向相同；結果為負，所得力的方向與假定的方向相反。負，所得力的方向與假定的方向相反。、靜定結構在支座移動時的位移計算、靜定結構在支座移動時的位移計算例例2 2 圖示簡支梁在支座有沉陷圖示簡支梁在支座有沉陷b b，用虛力原理求梁，用虛力原理求梁點的豎向位移點的豎向位移DCVCV。 分析：圖示梁由于支座的位移而發生如圖示滿足約束的分析：圖示梁由于支座的位移而發生如圖示滿足約束的實際剛體位移狀態。若再有一個恰當的滿足平衡條件的力實際剛體位移狀態。若再有一個恰當的滿足平衡條件的力狀態，就可利用虛功原理求位移。狀

11、態，就可利用虛功原理求位移。解：）在結構的擬求位移點虛設力解：）在結構的擬求位移點虛設力FP，由靜力平衡，由靜力平衡條件求出支座反力條件求出支座反力FBy FP al () 顯然虛力系是滿顯然虛力系是滿足靜力平衡條件的力狀態。足靜力平衡條件的力狀態。）令虛力系在實際位移上作虛功，由）令虛力系在實際位移上作虛功，由W=0，得虛功方程：，得虛功方程：FP CV（FPal)b=0 CV abl () 說明：利用虛功原理求結構位移的方法叫虛力法。同上說明：利用虛功原理求結構位移的方法叫虛力法。同上例一樣，本例可設一個虛單位力例一樣，本例可設一個虛單位力FP =，則有則有 FBy al ()虛功方程為：

12、虛功方程為：1 CV（al)b=0 CVabl () 這種處理后的方法又可叫虛單位荷載法（簡稱單位這種處理后的方法又可叫虛單位荷載法（簡稱單位荷載法或單位力法）。荷載法或單位力法）。單位力法步驟：單位力法步驟：）在結構某指定點擬求位移的方向上，虛設一個單位）在結構某指定點擬求位移的方向上，虛設一個單位力，并由靜力平衡條件求出結構由此產生的支座反力。力，并由靜力平衡條件求出結構由此產生的支座反力。）令虛力系中的所有外力在結構的實際位移上作虛）令虛力系中的所有外力在結構的實際位移上作虛功，建立虛功方程并求解。功，建立虛功方程并求解。）結果為正，所得位移方向與虛單位力的方向相同；）結果為正，所得位移

13、方向與虛單位力的方向相同；結果為負，所得位移方向與虛單位力的方向相反。結果為負，所得位移方向與虛單位力的方向相反。位移計算步驟是：位移計算步驟是： ）虛設單位力系，并求該力系的支座反力；）虛設單位力系，并求該力系的支座反力；）代入計算公式，計算位移。）代入計算公式，計算位移。）按是否與單位力的方向一致確定所得位移方向。）按是否與單位力的方向一致確定所得位移方向。 例例3 3 圖示多跨靜定梁支座發生沉陷圖示多跨靜定梁支座發生沉陷a a，求截面的豎，求截面的豎向位移向位移D DEVEV和鉸兩側截面的相對轉角和鉸兩側截面的相對轉角 。解：）求解：）求D DEV位移公式位移公式D D = -rici

14、(6-2-1)D DEV=-(3/4)a=3a/4()）求）求 = -(-5/2l)a=5a/(2l) ()一、桿件局部（微段）變形時的位移一、桿件局部（微段）變形時的位移圖示梁，僅在微段圖示梁，僅在微段dsds上發生變形，其它部分仍上發生變形，其它部分仍保持剛性。若僅考慮保持剛性。若僅考慮CACA段，相當于懸臂梁在固定段，相當于懸臂梁在固定端處有支座位移。因此，可利用剛體的虛功原理，端處有支座位移。因此，可利用剛體的虛功原理，由靜定結構支座移動時求位移的方法來研究。即沿擬由靜定結構支座移動時求位移的方法來研究。即沿擬求位移方向虛設單位力，并求出求位移方向虛設單位力，并求出截面的內力。代入公截

15、面的內力。代入公式：式：D D = -rici d D D = -(-MCd -QCd -NCd ) d D D =MCd QCd NCd 14-4靜定結構在荷載作用下的位移計算靜定結構在荷載作用下的位移計算二、變形桿件的位移二、變形桿件的位移D D = d D D = (MCd QCd NC d )當同時考慮支座位移，且又為桿件結構時：當同時考慮支座位移，且又為桿件結構時：D D = (MCd QCd NC d ) -rici（a） 該式即為計算桿件結構位移的一般公式。該式即為計算桿件結構位移的一般公式。并可寫成：并可寫成： D D rici = (MCd QCd NC d )變形體的虛功原

16、理：變形體的虛功原理：若變形體有滿足變形協調及約束允許的可能位移，那么，若變形體有滿足變形協調及約束允許的可能位移，那么，滿足靜力平衡條件的任一力系在該變形體的變形和位移上滿足靜力平衡條件的任一力系在該變形體的變形和位移上所作的所作的總外力虛功等于總內力虛功總外力虛功等于總內力虛功（虛應變能），即（虛應變能），即W=VW=V。因為因為 d = ds d = ds d = ds 代入式代入式(a)D D=MC dsQC dsNC ds -rici (c)對于線性彈性變形體在荷載作用下時，有：對于線性彈性變形體在荷載作用下時，有：=MP/EI =FQP/GA = FNP/EA同時同時考慮一般性和書

17、寫方便，將虛內力中表示單位力位置的考慮一般性和書寫方便，將虛內力中表示單位力位置的下標省略，下標省略，則式（則式（c c）可寫：）可寫：D D = (M1MP /EI) ds (FQP/GA) ds (NFNP/EA) ds -ricD D=MC dsQC dsNC ds -rici (c)對于線性彈性變形體在荷載作用下時，有：對于線性彈性變形體在荷載作用下時，有：=MP/EI =FQP/GA = FNP/EA同時同時考慮一般性和書寫方便，將虛內力中表示單位力考慮一般性和書寫方便，將虛內力中表示單位力位置的下標省略，位置的下標省略，則式（則式（c c）可寫：）可寫：D D = (M1MP /E

18、I) ds (Q FQP/GA) ds (NFNP/EA) ds -rici 一、各類靜定結構的位移計算公式一、各類靜定結構的位移計算公式）梁、剛架：只考慮彎曲變形的影響）梁、剛架：只考慮彎曲變形的影響 D D = (M1 MP /EI) ds）桁架：只考慮軸向變形的影響）桁架：只考慮軸向變形的影響 D D = (N FNP/EA) ds D D = NFNPl/EA）組合結構：）組合結構： D D = (M1 MP /EI) ds (N FNP/EA) ds (6-4-3)）拱）拱D= (M1 MP /EI) ds (NFNP/EA) ds (6-4-4)二、靜定梁、剛架的位移計算二、靜定梁

19、、剛架的位移計算、積分法：、積分法：例例17-4-1 17-4-1 求圖示剛架截面的水平位移求圖示剛架截面的水平位移D DCHCH和、和、兩截面的相對轉角兩截面的相對轉角 。各桿。各桿 EI= EI=常數。常數。解：建立擬求的兩個指定位移相應的虛力系。分別對各桿解：建立擬求的兩個指定位移相應的虛力系。分別對各桿件寫出彎矩函數件寫出彎矩函數M1 、，代入積分公式計算位移。，代入積分公式計算位移。）求）求D DCHAB桿桿(0 x1l) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 =-x1/2AC桿桿(0 x1 l/2) MP=0 M1 =x2D DCH = (1/EI)l (-x1/2) (qlx1

20、/2-qx12/2)dx1= -ql4/48EI()）求）求 AB桿桿(0 x1l) MP= M1 =0AC桿桿(0 x1 l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 = -1 =(1/EI)l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI()說明：說明： 注意利用注意利用D D = (M1 MP /EI) ds 時，兩種狀態時，兩種狀態中對同一桿件應取相同坐標，相應的兩彎矩函數也應中對同一桿件應取相同坐標，相應的兩彎矩函數也應先規定受拉側，以確定積分的正負。先規定受拉側，以確定積分的正負。 14-5 圖乘法kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIy

21、dxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直線kidxEIMM直桿直桿MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0y0=x0tg注：表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。圖乘法的應用條件：圖乘法的應用條件：a a）EIEI= =常數；常數；b b）直）直桿；桿；c c）兩個彎矩圖）兩個彎矩圖至少有一個是直線。至少有一個是直線。豎標豎標y y0 0取在直線圖形中，對應另一圖形取在直線圖形中，對應另一圖形的形心處。的形心處。面積面積與豎標與豎標y y0 0在桿的同側，在桿的同側， y y0 0 取取正號，

22、否則取負號。正號，否則取負號。幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線=hl/3二次拋物線=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點當圖乘法的適用條件不滿足時的處理：a）曲桿或曲桿或EI=EI（ x）時，只能用積）時，只能用積分法求位移；分法求位移；Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112=ql2/2MMPMPP=1lMlqA

23、BEIqlllqlEIB843231142=D例：求梁B點轉角位移。例：求梁B點豎向線位移。3l/4b）當當EI分段為常數或分段為常數或M、MP均非直線時，應分段圖乘疊加均非直線時，應分段圖乘疊加。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432=Da/2a/2PaaaEI=D343211Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？非標準圖形乘直線形 a）直線形乘直線形abdcl/3l/

24、3l/312y1y2()bcadbdacl=226dc323bl2dc332al=2yydxMMki=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在基線同側乘積取正，否則取負。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）32649S = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）2369labdch+bah232dchl()226bcadbdaclS=b)非標準拋物線乘直線形P=111ly1y2y3M23=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=EIqllqllqllqlEI()1332211=DMyyyEIwww1=N0=Nqllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MP122BNP=ql/2NP=0900193434832101222