1、第2課時等比數列的性質學習目標1.靈活應用等比數列的定義及通項公式.2.熟悉等比數列的有關性質.3.系統了解判斷數列是否成等比數列的方法知識點一等比數列的性質思考在等比數列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2(n2，nN*)是否成立？答案a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立同理aa3a7成立，aan2an2也成立梳理一般地，在等比數列an中，若mnst，則有amanasat(m，n，s，tN*)若mn2k，則amana(m，n，kN*)知識點二由等比數列衍生的等比數列思考等比數列an的前4項為1,2,4,8，下列判斷正確的是(1)

2、3an是等比數列；(2)3an是等比數列；(3)是等比數列；(4)a2n是等比數列答案由定義可判斷出(1)，(3)，(4)正確梳理(1)在等比數列an中按序號從小到大取出若干項：ak1，ak2，ak3，akn，若k1，k2，k3，kn，成等差數列，那么ak1，ak2，ak3，akn，是等比數列(2)如果an，bn均為等比數列，那么數列，anbn，|an|是等比數列1anamqnm(n，mN*)，當m1時，就是ana1qn1.()2在等比數列an中，若公比q0.跟蹤訓練1(1)在等比數列an中，a34，a716，則a5_；(2)設等比數列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為

3、_考點等比數列的通項公式題點已知數列為等比數列求通項公式答案(1)8(2)64解析(1)q73q44，q22.a5a3q534q2428.(2)設該等比數列an的公比為q，即解得a1a2an(3)(2)(n4)當n3或4時，取得最小值6，此時取得最大值26，a1a2an的最大值為64.類型二等比數列的性質命題角度1序號的數字特征例2已知an為等比數列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值考點等比數列的性質題點利用項數的規律解題解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，

4、a3a50，a3a55.(2)根據等比數列的性質，得a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，a1a2a9a10(a5a6)595，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510.反思與感悟抓住各項序號的數字特征，靈活運用等比數列的性質，可以順利地解決問題跟蹤訓練2在各項均為正數的等比數列an中，若a3a54，則a1a2a3a4a5a6a7_.考點等比數列的性質題點等比數列各項積的問題答案128解析a3a5a4，an0，a42.a1a2a3a4a5a6a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4432128.命題角度2未知量的設法技巧例3有四個數，其中

5、前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數考點等比數列的性質題點等比數列的性質的其他應用問題解方法一設這四個數依次為ad，a，ad，由條件得解得或所以當a4，d4時，所求的四個數為0,4,8,16；當a9，d6時，所求的四個數為15,9,3,1.故所求的四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.方法二設這四個數依次為a，a，aq(q0)，由條件得解得或當a8，q2時，所求的四個數為0,4,8,16；當a3，q時，所求的四個數為15,9,3,1.故所求的四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.反思與感悟合理地設出未知數

6、是解決此類問題的技巧一般地，三個數成等比數列，可設為，a，aq；三個數成等差數列，可設為ad，a，ad.若四個同號的數成等比數列，可設為，aq，aq3；四個數成等差數列，可設為a3d，ad，ad，a3d.跟蹤訓練3有四個數，前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，首末兩項和為21，中間兩項和為18，求這四個數考點等比數列的性質題點等比數列的性質的其他應用問題解設這四個數分別為x，y,18y,21x，則由題意得解得或故所求的四個數為3,6,12,18或，.1在等比數列an中，a28，a564，則公比q為_考點等比數列基本量的計算題點求等比數列公比答案2解析由a5a2q3，得q38，所以q2.2在

7、等比數列an中，an0，且a1a1027，則log3a2log3a9_.考點等比數列的性質題點等比數列的性質與對數運算綜合答案3解析因為a2a9a1a1027，所以log3a2log3a9log3273.3在1與2之間插入6個正數，使這8個數成等比數列，則插入的6個數的積為_考點等比數列的性質題點等比數列各項積的問題答案8解析設這8個數組成的等比數列為an，則a11，a82.插入的6個數的積為a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.4已知an2n3n，判斷數列an是不是等比數列？考點等比數列的判定題點判斷數列為等比數列解不是等比數列a121315，a2

8、223213，a3233335，a1a3a，數列an不是等比數列1解題時，應該首先考慮通式通法，而不是花費大量時間找簡便方法2所謂通式通法，指應用通項公式，前n項和公式，等差中項，等比中項等列出方程(組)，求出基本量3巧用等比數列的性質，減少計算量，這一點在解題中也非常重要一、填空題1在等比數列an中，a2 0158a2 012，則公比q的值為_考點等比數列基本量的計算題點求等比數列公比答案2解析a2 0158a2 012a2 012q3，q38，q2.2在數列an中，a11，點(an，an1)在直線y2x上，則a4的值為_考點等比數列的判定題點判斷數列為等比數列答案8解析點(an，an1)在

9、直線y2x上，an12an，a110，an0，an是首項為1，公比為2的等比數列，a41238.3已知在各項均為正數的等比數列an中，lg(a3a8a13)6，則a1a15的值為_考點等比數列的性質題點利用項數的規律解題答案10 000解析lg(a3a8a13)lg a6，a106，a8102100.a1a15a10 000.4在正項等比數列an中，an1an，a2a86，a4a65，則_.考點等比數列的性質題點利用項數的規律解題答案解析設公比為q，則由等比數列an各項為正數且an1an知0q0，q0，q1.q2(1)232.8設數列an為公比q1的等比數列，若a4，a5是方程4x28x30的

10、兩根，則a6a7_.考點等比數列的性質題點利用項數的規律解題答案18解析由題意得a4，a5，q3.a6a7(a4a5)q23218.9已知等差數列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列，則a2_.考點等比中項題點利用等比中項解題答案6解析由題意知，a3a14，a4a16.a1，a3，a4成等比數列，aa1a4，(a14)2(a16)a1，解得a18，a26.10在等比數列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，則a41a42a43a44_.考點等比數列的性質題點等比數列各項積的問題答案1 024解析設等比數列an的公比為q，a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq

11、61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548，得q488，q162，a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42q1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)102101 024.11已知在等比數列an中，有a3a114a7，數列bn是等差數列，且b7a7，則b5b9_.考點等比數列的性質題點利用項數的規律解題答案8解析由等比數列的性質得a3a11a，a4a7.a70，a74，b7a74.再由等差數列的性質知b5b92b78.二、解答題12等差數列an的前n項和為Sn，已知S3a，且S1，S2，S4成等比數列，求an的通項公式考點等比數列基

12、本量的計算題點利用基本量法解題解設an的公差為d.由S3a，得3a2a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比數列，得SS1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，則d22d2，所以d0，此時Sn0，不合題意；若a23，則(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通項公式為an3或an2n1，nN*.13在等比數列an(nN*)中，a11，公比q0.設bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求證：數列bn是等差數列；(2)求bn的前n項和Sn及an的通項an；(3)試比較an與Sn的大小考點等比數

13、列的性質題點等比數列的性質與對數運算綜合(1)證明因為bnlog2an，所以bn1bnlog2an1log2anlog2log2q(q0)為常數，所以數列bn為等差數列且公差dlog2q.(2)解因為b1b3b56，所以(b1b5)b32b3b33b36，即b32.又因為a11，所以b1log2a10，又因為b1b3b50，所以b50，即即解得因此Sn4n(1).又因為dlog2q1，所以q，b1log2a14，即a116，所以an25n(nN*)(3)解由(2)知，an25n0，當n9時，Sn0，所以當n9時，anSn.又因為a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77，S84，所以當n3,4,5,6,7,8時，an0，且a5a2n522n(n3)，則當n3時，log2a1log2a3log2a2n1_.考點等比數列的性質題點等比數列的性質與對數運算綜合答案n2解析log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1