1、第1節(jié)直線的方程最新考綱1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系知 識(shí) 梳 理1直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角；規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0；范圍：直線的傾斜角的取值范圍是0，)(2)直線的斜率定義：當(dāng)直線l的傾斜角時(shí)，其傾斜角的正切值tan 叫做這條直線的斜率，斜率通常

2、用小寫字母k表示，即ktan_；斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k2直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率yy0k(xx0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線3.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1直線的斜率k與傾斜角之間的關(guān)系00909090180

3、k0k0不存在k02.牢記口訣“斜率變化分兩段，90是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”診 斷 自 測(cè)1思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(2)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等()(4)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()解析(1)當(dāng)直線的傾斜角1135，245時(shí)，12，但其對(duì)應(yīng)斜率k11，k21，k1k2.(2)當(dāng)直線斜率為tan(45)時(shí)

4、，其傾斜角為135.(3)兩直線的斜率相等，則其傾斜角一定相等(4)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不可以用方程yy0k(xx0)表示答案(1)(2)(3)(4)(5)2直線xy10的傾斜角為()A30 B45C120 D150解析由題得，直線yx1的斜率為1，設(shè)其傾斜角為，則tan 1，又0180，故45，故選B.答案B3如果AC0，且BC0，在y軸上的截距0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限答案C4(2019舟山月考)已知A(3，5)，B(4，7)，C(1，x)三點(diǎn)共線，則x_解析A，B，C三點(diǎn)共線，kABkAC，x3.答案35(必修2P100A9改編)過點(diǎn)P(2，3)且在兩軸上截距相等的

5、直線方程為_解析當(dāng)縱、橫截距為0時(shí)，直線方程為3x2y0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為1，則1，解得a5.所以直線方程為xy50.答案3x2y0或xy506(2019金華調(diào)研)直線kxy2k40過定點(diǎn)P的坐標(biāo)為_；若冪函數(shù)yf(x)也過點(diǎn)P，則f(x)的解析式為_解析直線kxy2k40可化為y4k(x2)，直線過定點(diǎn)P(2，4)，設(shè)冪函數(shù)yf(x)為yx，把P(2，4)代入，得42，2，即yf(x)x2.答案(2，4)f(x)x2考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率【例1】 (1)直線2xcos y30的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.(2)直線l過點(diǎn)P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)

6、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_解析(1)直線2xcos y30的斜率k2cos ，因?yàn)?，所以cos ，因此k2cos 1，設(shè)直線的傾斜角為，則有tan 1，又0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是.(2)如圖，kAP1，kBP，直線l的斜率k(，1，)答案(1)B(2)(，1，)規(guī)律方法直線傾斜角的范圍是0，)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，斜率k0，)；當(dāng)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率k(，0)【訓(xùn)練1】 (2019嘉興測(cè)試)直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，) B.C. D.解析設(shè)直

7、線的傾斜角為，則有tan sin .因?yàn)閟in 1，1，所以1tan 1，又0，)，所以0或，故選B.答案B考點(diǎn)二直線方程的求法【例2】 根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(diǎn)(4，0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(diǎn)(3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；(3)直線過點(diǎn)(5，10)，且到原點(diǎn)的距離為5.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin (00；當(dāng)k0時(shí)，直線為y1，符合題意，故k的取值范圍是0，)(3)解由題意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k)依題意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的條件是k0且4k，即k，S

8、min4，此時(shí)直線l的方程為x2y40.規(guī)律方法在求直線方程的過程中，若有以直線為載體的求面積、距離的最值問題，則可先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值【訓(xùn)練3】 (一題多解)已知直線l過點(diǎn)P(3，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程解法一設(shè)直線方程為1(a0，b0)，點(diǎn)P(3，2)代入得12，得ab24，從而SABOab12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)k，從而所求直線方程為2x3y120.法二依題意知，直線l的斜率k存在且k0.則直線l的方程為y2k(x3)(k0)，且有A，B(0，23k)，SABO(23k)(1

9、212)12.當(dāng)且僅當(dāng)9k，即k時(shí)，等號(hào)成立，即ABO的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x3y120.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1直線xya0(a為常數(shù))的傾斜角為()A30 B60C120 D150解析直線的斜率為ktan ，又因?yàn)?180，所以60.答案B2已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則直線l的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析圓x2(y3)24的圓心為點(diǎn)(0，3)，又因?yàn)橹本€l與直線xy10垂直，所以直線l的斜率k1.由點(diǎn)斜式得直線l：y3x0，化簡(jiǎn)得xy30.答案D3直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A.B.C.D

10、.解析直線的斜率k，1k0，則傾斜角的范圍是.答案B4(2019蕭山月考)若直線l與直線y1，x7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則直線l的斜率為()A. B C D.解析依題意，設(shè)點(diǎn)P(a，1)，Q(7，b)，則有解得a5，b3，從而可知直線l的斜率為.答案B5(2019浙江三市十二校聯(lián)考)經(jīng)過拋物線y22x的焦點(diǎn)且平行于直線3x2y50的直線l的方程是()A6x4y30 B3x2y30C2x3y20 D2x3y10解析因?yàn)閽佄锞€y22x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線3x2y50的斜率為，所以所求直線l的方程為y，化為一般式，得6x4y30.答案A6已知直線l的斜率為，在y軸上的截距

11、為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析直線x2y40的斜率為，直線l在y軸上的截距為2，直線l的方程為yx2，故選A.答案A7(2019浙江五校聯(lián)考)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：axyb0和直線l2：bxya0有可能是()解析當(dāng)a0，b0時(shí)，a0，b0.選項(xiàng)B符合答案B8若直線axbyab(a0，b0)過點(diǎn)(1，1)，則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為()A1 B2 C4 D8解析直線axbyab(a0，b0)過點(diǎn)(1，1)，abab，即1，ab(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)上式等號(hào)成立直線在x軸，y軸上的截距之和的最小

12、值為4.答案C二、填空題9過點(diǎn)M(3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_解析若直線過原點(diǎn)，則k，所以yx，即4x3y0.若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為1，即xya.則a3(4)1，所以直線的方程為xy10.答案4x3y0或xy1010若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_解析當(dāng)時(shí)，tan 1，k1.當(dāng)時(shí)，tan 0，即k0，k，0)答案，0)11(2019溫州調(diào)研)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為_；BC邊上中線的方程為_解析BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，BC邊上中線所在直線方程為，即x13y50.故BC邊上中線的方程為x

13、13y50(5x)答案x13y50x13y5012(2019金麗衢十二校聯(lián)考)直線l：xy230(R)恒過定點(diǎn)_，P(1，1)到該直線的距離最大值為_解析已知直線方程轉(zhuǎn)化為(x2)(y3)0，由求得定點(diǎn)(2，3)；點(diǎn)P(1，1)到直線l的距離最大值即為點(diǎn)P(1，1)到定點(diǎn)(2，3)的距離，即為.答案(2，3)13(2019湖州調(diào)研)直線l1：xy20在x軸上的截距為_；若將l1繞它與y軸的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則所得到的直線l2的方程為_解析對(duì)直線l1：xy20，令y0，得x2，即直線l1在x軸上的截距為2；令x0，得y2，即l1與y軸的交點(diǎn)為(0，2)，直線l1的傾斜角為135，直線l2的傾斜角為

14、1359045，l2的斜率為1，故l2的方程為yx2，即為xy20.答案2xy20能力提升題組14已知直線l過點(diǎn)(1，0)，且傾斜角為直線l0：x2y20的傾斜角的2倍，則直線l的方程為()A4x3y30 B3x4y30C3x4y40 D4x3y40解析由題意可設(shè)直線l0，l的傾斜角分別為，2，因?yàn)橹本€l0：x2y20的斜率為，則tan ，所以直線l的斜率ktan 2，所以由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y0(x1)，即4x3y40.答案D15(2019寧波調(diào)研)設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A. B1，0C0，1 D.解析由題意知y2x2，設(shè)P(x0，y0)，則k2x02.因?yàn)榍€C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，則0k1，即02x021，故1x0.答案A16已知直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與線段2xy8(2x3)有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_解析設(shè)直線l與線段2xy8(2x3)的公共點(diǎn)為P(x，y)則點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動(dòng)，且A(2，4)，B(3，2)，設(shè)直線l的斜率為k.又kOA2，kOB.如圖所示，可知k2.直線l的斜率的取值范圍是.答案17設(shè)M，N，則M與N的大小關(guān)系為_解析設(shè)A(2 011，2 012)，B(2 012，2 011)，C(2 014，2 013)，則有M