1、第37課 代數應用性問題(1) 代數應用性問題，要求解題者具有豐富的生活常識，較強的代數應用性問題，要求解題者具有豐富的生活常識，較強的閱讀能力和良好的數學建模能力，關于數與式的表示、列方程、閱讀能力和良好的數學建模能力，關于數與式的表示、列方程、利用函數觀點進行分析、不等式和統計等方面的應用，主要有以利用函數觀點進行分析、不等式和統計等方面的應用，主要有以下幾種情況：下幾種情況： 1以教材中常見的題型或與生活較貼近的問題為背景，但以教材中常見的題型或與生活較貼近的問題為背景，但數量關系較為隱蔽；數量關系較為隱蔽； 2以市場經濟或日常生活或社會較關注的問題為背景，借以市場經濟或日常生活或社會較

2、關注的問題為背景，借助不等式知識設計可行方案；助不等式知識設計可行方案； 3給出實際問題的圖象或圖表等數學模型，運用數學知識給出實際問題的圖象或圖表等數學模型，運用數學知識求解求解 在解題前，首先要認真審題，加強文學語言向數學語言的轉在解題前，首先要認真審題，加強文學語言向數學語言的轉化，以及對圖象圖表的處理能力，建立數學模型，再準確進行計化，以及對圖象圖表的處理能力，建立數學模型，再準確進行計算，最后檢驗其合理性算，最后檢驗其合理性要點梳理要點梳理1. 1. 解代數應用題的策略解代數應用題的策略 首先要閱讀材料，理解題意，找到考查的主要內容和知識首先要閱讀材料，理解題意，找到考查的主要內容和

3、知識點，揭示實際問題的數學本質，把實際問題轉化成數學問題；點，揭示實際問題的數學本質，把實際問題轉化成數學問題；然后進行計算，從而達到學習數學、應用數學解決實際問題然后進行計算，從而達到學習數學、應用數學解決實際問題的目的的目的 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2. 2. 解實際應用問題，其求解過程一般可歸納為以下幾步：解實際應用問題，其求解過程一般可歸納為以下幾步： (1)審題：分析題意，將條件和圖形與所求結果用正確的數學審題：分析題意，將條件和圖形與所求結果用正確的數學語言或符號來表示；語言或符號來表示； (2)建模：尋找合適的數學模型，如方程建模：尋找合適的數學模型，如方程(組組)、

4、不等式、不等式(組組)、函、函數等；數等； (3)解模：將已知條件代入數學模型，求解一個純數學問題；解模：將已知條件代入數學模型，求解一個純數學問題； (4)檢驗：將純數學問題的解代入實際問題，看是否符合題檢驗：將純數學問題的解代入實際問題，看是否符合題意意1(2011黃石黃石)黃石市黃石市2011年年6月份某日一天的溫差為月份某日一天的溫差為11，最，最高氣溫為高氣溫為t ，則最低氣溫可表示為，則最低氣溫可表示為() A(11t) B(11t ) C(t11) D(t11) 解析：設最低氣溫為解析：設最低氣溫為x()，則，則tx11，xt11，故選，故選C.基礎自測基礎自測C2(2010南京

5、南京)甲種蔬菜保鮮適宜的溫度是甲種蔬菜保鮮適宜的溫度是1 5 ，乙種蔬，乙種蔬菜保鮮適宜的溫度是菜保鮮適宜的溫度是3 8 ，將這兩種蔬菜放在一起同，將這兩種蔬菜放在一起同時保鮮，適宜的溫度是時保鮮，適宜的溫度是() A1 3 B3 5 C5 8 D1 8 解析：解析：1 5 ，3 8 的公共部分為的公共部分為3 5 .B3(2010巴中巴中)巴廣高速公路在巴廣高速公路在5月月10日正式通車，從巴中到廣元日正式通車，從巴中到廣元全長約為全長約為126 km.一輛小汽車、一輛貨車同時從巴中、廣元兩一輛小汽車、一輛貨車同時從巴中、廣元兩地相向開出，經過地相向開出，經過45min相遇，相遇時小汽車比貨

6、車多行相遇，相遇時小汽車比貨車多行6km，設小汽車和貨車的速度分別為設小汽車和貨車的速度分別為x(km/h)，y(km/h)，則下列方程，則下列方程組正確的是組正確的是() A. B. C. D. 解析：因為解析：因為45min h，小汽車、貨車行駛的路程分別，小汽車、貨車行駛的路程分別 為為 x， y，則，則 x y126； x y6.D34 34 34 34 34 34 34 4(2011濱州濱州)某商品原售價某商品原售價289元，經過連續兩次降價后售價元，經過連續兩次降價后售價為為256元，設平均每次降價的百分率為元，設平均每次降價的百分率為x，則下面所列方程中，則下面所列方程中正確的是

7、正確的是() A289(1x)2256 B256(1x)2289 C289(12x)256 D256(12x)289 解析：首次降價后售價為解析：首次降價后售價為289(1x)，第二次降價之后售價為，第二次降價之后售價為289(1x)2，所以，所以289(1x)2256.A5(2011臺北臺北)如圖，將長方形如圖，將長方形ABCD分割成分割成1個灰色長方形與個灰色長方形與148個面積相等的小正方形根據圖形，若灰色長方形之長與寬的個面積相等的小正方形根據圖形，若灰色長方形之長與寬的比為比為5 3，則，則AD AB() A5 3 B7 5 C23 14 D47 29 解析：如圖，設小正方形的邊長解

8、析：如圖，設小正方形的邊長 為單位為單位1，又設，又設EF5x，EH3x， 則則2(5x3x)41148，x9， 所以所以AD59247， AB39229， AD AB47 29.D題型一列代數式解應用題題型一列代數式解應用題【例例 1】 據國家稅務總局通知，從據國家稅務總局通知，從2007年年1月月1日起，個人年所得日起，個人年所得12萬元萬元(含含12萬元萬元)以上的個人需辦理自行納稅申報小張和小趙以上的個人需辦理自行納稅申報小張和小趙都是某公司職員，兩人在業余時間炒股小張都是某公司職員，兩人在業余時間炒股小張2007年轉讓滬市年轉讓滬市股票股票3次，分別獲得收益次，分別獲得收益8萬元、萬

9、元、1.5萬元、萬元、5萬元；小趙萬元；小趙2007年轉讓滬市股票年轉讓滬市股票5次，分別獲得收益次，分別獲得收益2萬元、萬元、2萬元、萬元、6萬元、萬元、1萬元、萬元、4萬元小張萬元小張2007年所得工資年所得工資8萬元，小趙萬元，小趙2007年所得工年所得工資為資為9萬元現請你判斷：小張、小趙在萬元現請你判斷：小張、小趙在2007年的個人年所得是年的個人年所得是否需要向有關稅務部門辦理自行納稅申報，并說明理由否需要向有關稅務部門辦理自行納稅申報，并說明理由 (注：個人年所得年工資注：個人年所得年工資(薪金薪金)年財產轉讓所得股票轉讓年財產轉讓所得股票轉讓屬屬“財產轉讓財產轉讓”，股票轉讓所

10、得盈虧相抵后為負數的，則財產，股票轉讓所得盈虧相抵后為負數的，則財產轉讓所得部分按零填報轉讓所得部分按零填報)題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解：小張：股票轉讓收入：解：小張：股票轉讓收入：81.554.5， 總收入總收入84.512.512， 小張需要申報納稅小張需要申報納稅 小趙：股票轉讓收入：小趙：股票轉讓收入：2261410， 總收入總收入90912， 小趙不需要申報納稅小趙不需要申報納稅探究提高探究提高 股票收益應該是每次轉讓股票收益的代數和，本題表面上是股票收益應該是每次轉讓股票收益的代數和，本題表面上是市場經濟問題，但實質上是有理數運算的應用市場經濟問題，但實質上是有理數運算的

11、應用知能遷移知能遷移1出租車司機小李某天下午的營運全是在東西走向的人出租車司機小李某天下午的營運全是在東西走向的人民大道上進行的如果規定向東為正，向西為負，他這天下午的民大道上進行的如果規定向東為正，向西為負，他這天下午的行程是行程是(單位：單位：km)：15，3，14，11，10，12，4，15，16，18. (1)將最后一名乘客送到目的地時，小李距下午出車點的距離是多將最后一名乘客送到目的地時，小李距下午出車點的距離是多少？少？ (2)若汽車的耗油量為若汽車的耗油量為a公升公升/km，那么這天下午汽車共耗油多少？，那么這天下午汽車共耗油多少？解：解：(1)15314111012415161

12、80(km)， 小李回到下午的出發地小李回到下午的出發地 (2)汽車行駛的路程：汽車行駛的路程： |15|3|14|11|10|12|4| |15|16|18|118(km)， 118a118a(公升公升)， 這天下午汽車的耗油量是這天下午汽車的耗油量是118a公升公升題型二列一次方程題型二列一次方程( (組組) )解應用題解應用題【例例 2】 (2011銅仁銅仁)為鼓勵學生參加體育鍛煉，學校計劃拿出為鼓勵學生參加體育鍛煉，學校計劃拿出不超過不超過3200元的資金購買一批籃球和排球，已知籃球和排球元的資金購買一批籃球和排球，已知籃球和排球的單價比為的單價比為3 2，單價和為，單價和為160元元

13、 (1)籃球和排球的單價分別是多少元？籃球和排球的單價分別是多少元？ (2)若要求購買的籃球和排球的總數量是若要求購買的籃球和排球的總數量是36個，且購買的排球個，且購買的排球數少于數少于11個，有哪幾種購買方案？個，有哪幾種購買方案？ 解：解：(1)設籃球的單價為設籃球的單價為3x元，則排球的單價為元，則排球的單價為2x元，元， 據題意得據題意得3x2x160， 解得解得x32，3x96, 2x64. 即籃球和排球的單價分別是即籃球和排球的單價分別是96元、元、64元元. (2)設購買的籃球數量為設購買的籃球數量為n，則購買的排球數量為，則購買的排球數量為(36n)個，個， 由題意得由題意得

14、 解得解得25 解題示范解題示范規范步驟，該得的分，一分不丟！規范步驟，該得的分，一分不丟！解：解：(1)設甲小組每天修理桌凳設甲小組每天修理桌凳x套，則乙小組每天修理套，則乙小組每天修理(x8)套，套， 得得 20 ， 44分分 解之得：解之得：x116，x224， 經檢驗：經檢驗：x116，x224是原方程的根是原方程的根 66分分 但工效不能為負數，因此取但工效不能為負數，因此取x16， x824. 答：甲小組每天修理桌凳答：甲小組每天修理桌凳16套，乙小組每天修理套，乙小組每天修理24套套 88分分 960 x 960 x8 (2)若甲小組單獨修理需若甲小組單獨修理需9601660(天

15、天)， 總費用：總費用：608060105400(元元) 99分分 若乙小組單獨修理，需若乙小組單獨修理，需9602440(天天)， 總費用：總費用：4012040105200(元元) 1010分分 若甲、乙兩小組合作，需若甲、乙兩小組合作，需960(2416)24(天天)， 總費用：總費用：(80120)2424105040(元元) 1111分分 所以，第種方案既省時又省錢所以，第種方案既省時又省錢 1212分分 探究提高探究提高 分式方程要檢驗，不但要檢驗是否滿足原方程，還要檢驗是否分式方程要檢驗，不但要檢驗是否滿足原方程，還要檢驗是否符合實際符合實際知能遷移知能遷移3甲、乙兩人分別從甲、

16、乙兩人分別從A、B兩地到兩地到C地，甲從地，甲從A地到地到C地需地需3小時，乙從小時，乙從B地到地到C地需地需2小時小時40分已知分已知A、C兩地間兩地間的距離比的距離比B、C兩地的距離遠兩地的距離遠10千米，每行千米，每行1千米甲比乙少花千米甲比乙少花10分鐘分鐘 (1)求求AC兩地間的距離；兩地間的距離； (2)假設假設AC、BC、AB這三條道路均為直的，試判定這三條道路均為直的，試判定A、B兩兩地間的距離地間的距離d的范圍的范圍解：解：(1)設設AC距離為距離為x千米，則千米，則BC距離為距離為(x10)千米，千米， 由題意得由題意得 10，x28x1800， 解之得，解之得，x118，

17、x210. 經檢驗：經檢驗：x118， x210是原方程的根，但距離不能為負數，是原方程的根，但距離不能為負數， 因此取因此取x18. 所以所以AC兩地間的距離是兩地間的距離是18千米千米 (2)10kmd26km.360 x 26040 x10 題型四列一元二次方程解應用題題型四列一元二次方程解應用題【例例 4】 機械加工需要用油進行潤滑以減少摩擦，某企業加工機械加工需要用油進行潤滑以減少摩擦，某企業加工一臺大型機械設備潤滑用油一臺大型機械設備潤滑用油90千克，用油的重復利用率為千克，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際

18、耗油量為36千克，為了建設節約型社會，減少油耗，該企業的甲、乙兩千克，為了建設節約型社會，減少油耗，該企業的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關 (1)甲車間通過技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用甲車間通過技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量下降到油量下降到70千克，用油的重復利用率為千克，用油的重復利用率為60%，問甲車間技，問甲車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少千克？術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少千克？(2)乙車間通過技術革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高乙車間通過技術革新后，不僅

19、降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復利用率，并且發現在技術革新的基礎上，潤滑用了用油的重復利用率，并且發現在技術革新的基礎上，潤滑用油量每減少油量每減少1千克，用油量的重復利用率將增加千克，用油量的重復利用率將增加1.6%，這樣乙，這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克，問乙千克，問乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是多少千車間技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是多少千克？用油的重復利用率是多少？克？用油的重復利用率是多少？解：解：(1)70(160%)28(千克千克) (2)設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑

20、油用量是設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑油用量是x千克，千克， 則有：則有：x160%(90 x)1.6%12， 整理，得整理，得x265x7500，(x10)(x75)0， x110，x275(舍去舍去x110)， 用油的重復利用率是用油的重復利用率是60%(9075)1.6%84%. 答：乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量答：乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量 是是75千克，用油的重復利用率是千克，用油的重復利用率是84%.探究提高探究提高 這個實際應用題，需要設未知數建立數學模型，將問題轉化為這個實際應用題，需要設未知數建立數學模型，將問題轉化為方程來解決，如

21、果設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量為方程來解決，如果設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量為x 千克，可得千克，可得x160%(90 x)1.6%12.知能遷移知能遷移4某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為的比為2 1，在溫室內，沿前側內墻保留，在溫室內，沿前側內墻保留3 m寬的空地，其它三寬的空地，其它三側內墻各保留側內墻各保留1 m寬的通道，當矩形溫室的長與寬各為多少時，寬的通道，當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區域的面積是蔬菜種植區域的面積是288 m2? 解：設矩形溫室的寬為解：設矩形溫室的寬為x米，米， 則則(

22、2x4)(x2)288. (x2)2144，x212， x114，x210(舍去舍去x210)， 2x28. 答：矩形溫室的長為答：矩形溫室的長為28米，寬為米，寬為14米米比賽項目比賽項目票價票價(元元/場場)男籃男籃1000足球足球800乒乓球乒乓球5002525不會求二元一次方程的正整數解不會求二元一次方程的正整數解試題試題2008年北京奧運會的比賽門票開始接受公眾預訂下表為年北京奧運會的比賽門票開始接受公眾預訂下表為北京奧運會官方票務網站公布的幾種球類比較的門票價格，球北京奧運會官方票務網站公布的幾種球類比較的門票價格，球迷小李用迷小李用8000元作為預訂下表中比賽項目門票的資金元作為

23、預訂下表中比賽項目門票的資金 (1)若全部資金用來預訂男籃門票和乒乓球門票共若全部資金用來預訂男籃門票和乒乓球門票共10張，問男籃張，問男籃門票和乒乓球門票各訂多少張？門票和乒乓球門票各訂多少張？ (2)小李想用全部資金預訂男籃、足球和乒乓球門票三種門票共小李想用全部資金預訂男籃、足球和乒乓球門票三種門票共10張，他的想法能實現嗎？請說明理由張，他的想法能實現嗎？請說明理由.易錯警示易錯警示學生答案展示學生答案展示 (1)設訂男籃門票設訂男籃門票x張，乒乓球門票張，乒乓球門票y張張 由題意，得由題意，得 解得解得 答：小李可以訂男籃門票答：小李可以訂男籃門票6張，乒乓球門票張，乒乓球門票4張張

24、 (2)設預定男籃門票設預定男籃門票x張，足球門票張，足球門票y張，乒乓球門票張，乒乓球門票z張張 因無法求上述三元方程組的正整數解，故小李欲購三種因無法求上述三元方程組的正整數解，故小李欲購三種門票的想法無法確定門票的想法無法確定剖析剖析(1)解答正確；解答正確； (2)列不完整的三元一次方程組進行正整數解討論可以實施，列不完整的三元一次方程組進行正整數解討論可以實施，但對此內容未進行訓練，有一定難度，在方法上選擇是不恰當但對此內容未進行訓練，有一定難度，在方法上選擇是不恰當的若將其轉化為二元一次方程正整數來討論，此題是可解的的若將其轉化為二元一次方程正整數來討論，此題是可解的正解正解 (1

25、)設訂男籃門票設訂男籃門票x張，乒乓球門票張，乒乓球門票y張張 由題意，得由題意，得 解得解得 答：小李可以訂男籃門票答：小李可以訂男籃門票6張，乒乓球門票張，乒乓球門票4張張 1000 x500y8000，xy10. x6，y4， (2)能，理由如下：能，理由如下： 設小李訂男籃門票設小李訂男籃門票x張，足球門票張，足球門票y張，則乒乓球門票張，則乒乓球門票 為為(10 xy)張張 由題意，得由題意，得1000 x800y500(10 xy)8000. 整理得整理得5x3y30，y . x、y均為正整數，均為正整數， 當當x3時，時，y5，10 xy2. 小李可以預訂男籃門票小李可以預訂男籃

26、門票3張，足球門票張，足球門票5張和乒乓球門票張和乒乓球門票2張張 小李的想法能實現小李的想法能實現 305x3 批閱筆記批閱筆記 我們知道二元一次方程有無數組解，具有不確定性，因此我們我們知道二元一次方程有無數組解，具有不確定性，因此我們常稱之為二元一次不定方程，但實際生活中我們往往只需要求出常稱之為二元一次不定方程，但實際生活中我們往往只需要求出其正整數解另外，在許多實際問題中的量常常是在正整數范圍其正整數解另外，在許多實際問題中的量常常是在正整數范圍內的，這樣對這些問題的處理我們常可借助解不定方程來達到解內的，這樣對這些問題的處理我們常可借助解不定方程來達到解題的目的，因此一次不定方程有

27、較廣泛的應用價值不定方程的題的目的，因此一次不定方程有較廣泛的應用價值不定方程的解法較多，一般當系數較小時，我們可以直接根據有關整數的性解法較多，一般當系數較小時，我們可以直接根據有關整數的性質來求解不定方程組的解法與一般方程組類似，先消元得到相質來求解不定方程組的解法與一般方程組類似，先消元得到相關不定方程，在解出不定方程后，將所得解代回原方程組關不定方程，在解出不定方程后，將所得解代回原方程組方法與技巧方法與技巧 1. 學習數學的目的之一是運用知識和技能去解決實際問題解學習數學的目的之一是運用知識和技能去解決實際問題解決問題通常按四個步驟來進行：決問題通常按四個步驟來進行： 理解問題理解問題(弄清題意，分清問題中的條件和結論等弄清題意，分清問題中的條件和結論等)； 制定計劃制定計劃(在理解的基礎上，運用有關的數學知識和方法擬訂在理解的基礎上，運用有關的數學知識和方法擬訂出解決問題的思路和方案出解