1、 n階矩陣階矩陣A與一個對角陣相似的充分必要條件與一個對角陣相似的充分必要條件是是A有有n個線性無關的特征向量。個線性無關的特征向量。 第三節第三節 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件 定理定理 如果一個矩陣能與一個對角陣相似如果一個矩陣能與一個對角陣相似, ,稱該矩陣稱該矩陣可以可以對角化對角化。 證證 必要性：必要性：設設A與一個對角陣相似與一個對角陣相似, ,即存在一個可逆即存在一個可逆陣陣P, ,使使,211 nAPP 即即, PAP,1 APP將將矩矩陣陣P按按列列分分塊塊, ,),(21nP , ,則則有有 ),(),(2121nnA , ),(),(221121nnnAAA 即

2、即即得即得, 2 , 1 ,niAiii 說說明明n ,21是是A的的分分別別對對應應于于特特征征值值n ,21的的特特征征向向量量, , 由由于于P可可逆逆，所所以以n ,21線線性性無無關關。 ,21 n 必要性得證。必要性得證。上述步驟倒過來寫上述步驟倒過來寫, ,即得充分性證明。即得充分性證明。 推論推論1 如果矩陣如果矩陣A的特征值互不相同的特征值互不相同, ,則則A必可對角化必可對角化. .因為屬于不同特征值的特征向量是線性無關的因為屬于不同特征值的特征向量是線性無關的. .注意注意: 這個這個條件是充分的而不是必要的條件是充分的而不是必要的. . 如果如果A的特征方程有的特征方程

3、有重根重根，此時不一定有，此時不一定有n個線性個線性無關的特征向量，從而矩陣無關的特征向量，從而矩陣A不一定能對角化；但如不一定能對角化；但如果能找到果能找到n個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量, A還是能對角化還是能對角化推推論論 2 2 n階階方方陣陣 A可可對對角角化化的的充充分分必必要要條條件件是是對對每每一一個個in重重的的特特征征值值i , ,矩矩陣陣AEi 的的秩秩為為inn . . （證證略略） 例例1解解設設,633312321 A求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對對角角陣陣. . 633312321 AE, )9)(1( 633312011 633312011)

4、1( 663332001)1( 6633)1( 21rr ，對對01 特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 6333123210AE,000110321 ，對對12 特征向量特征向量,)0,1,1(2T 733322322AE,000100322 特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 特征向量特征向量,)0,1,1(2T ，對對93 特征向量特征向量,)2,1,1(3T 3333823289AE,0001206111 ,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( ,)0,1,1(2T ,)2,

5、1,1(3T , ),(321 P令令111 011 211則則.9101 APP例例2解解求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對對角角陣陣. . 1630310104 AE, )2()1(2 判斷矩陣判斷矩陣 1630310104A能否對角化，若能，能否對角化，若能，對對11 0630210105AE,000000021 特征向量特征向量,)0,1,2(1T ,)1,0,0(2T 1630310104 AE, )2()1(2 ，對對22 36305101022AE,000130051 特征向量特征向量,)3,1,5(3T ，對對11 ,)0,1,2(1T ,)1,0,0(2T 可對角化可對

6、角化,310101502 P.2111 APP例例3解解求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對對角角陣陣. . 1112124 AE,)2(2 ，對對21 2111221222AE,000100122 只有一個線性無關的特征向量只有一個線性無關的特征向量, ,判斷矩陣判斷矩陣 能否對角化，若能，能否對角化，若能， 011102124A所以不能對角化所以不能對角化. 一般來說，求矩陣的高次冪比較困難，但若矩陣一般來說，求矩陣的高次冪比較困難，但若矩陣A能對角化，即存在可逆陣能對角化，即存在可逆陣P，使得，使得 ,1 APP則則,1 PPA)()(111 PPPPPPAn于是于是,1 PPn1111)()()( PPPPPPPP轉化為對角陣求冪轉化為對角陣求冪.例例4解解設設 ,1221 A求求100A. . 1221 AE, )1)(3( ，對對31 22223AE,0011 ,111 ，對對12 2222AE,0011 ,112 ,1111 P