1、第第3 3章章 幾何光學的基本原理幾何光學的基本原理（Geometrical OpticsGeometrical Optics） 費馬原理費馬原理 成像的基本概念成像的基本概念 單心光束單心光束 物物 像像 光在平面界面上的反射和折射光在平面界面上的反射和折射 光導纖維光導纖維 光束單心性的破壞，全反射光束單心性的破壞，全反射 光在球面上的反射和折射光在球面上的反射和折射 近軸光線條件下球面反射的物像公式近軸光線條件下球面反射的物像公式 近軸光線條件下球面折射的物像公式近軸光線條件下球面折射的物像公式 近軸物近軸光線成像的條件近軸物近軸光線成像的條件 薄透鏡薄透鏡 共軸理想光具組的基點和基面共

2、軸理想光具組的基點和基面幾何光學的基本原理幾何光學的基本原理光線光學。光線光學。光線光線: 代表光能量傳播方向的一根線代表光能量傳播方向的一根線光線是指細光束，通過對其觀察建立了幾何光學的光線是指細光束，通過對其觀察建立了幾何光學的基本定律。基本定律。波面波面: 垂直于光線的幾何平面或曲面垂直于光線的幾何平面或曲面.點光源點光源 (發光點發光點)經過圓孔，衍射。經過圓孔，衍射。孔徑孔徑 或或 ，則衍射效應，則衍射效應 。 /D 0 的極限：幾何光學。的極限：幾何光學。A beam of light generated by a laser. The beam is visible becaus

3、e particles in the air have scattered the light.3. 折射定律折射定律 ( Snell定律定律) 3.1 幾何光學基本定律幾何光學基本定律“三定律三定律”： 1. 直線傳播直線傳播 (均勻媒質中均勻媒質中)2. 反射定律反射定律 ( 4. 光路的可逆性光路的可逆性 )折射率折射率 n =cv臨界角，全內反射臨界角，全內反射( 只講方向，不講強弱只講方向，不講強弱)費馬原理費馬原理 (Fermats Principle)1. 最小時間原理最小時間原理Fermat(1675)：“ 光在兩點之間所走的實際路徑光在兩點之間所走的實際路徑是以最短時間通過的

4、那條路徑。是以最短時間通過的那條路徑。”可由此導出可由此導出“ 三定律三定律” 和光路可逆性：和光路可逆性：(1) 均勻媒質，均勻媒質，v= c /n 是常數，時間是常數，時間最短即路程最短，所以直線傳播。最短即路程最短，所以直線傳播。 Q P(2) 反射定律反射定律 P Q M P =i i ii 對應的折線對應的折線 QMP 最短。最短。(3) 折射定律折射定律( 可逆性可逆性 )2. 光程光程均勻媒質：均勻媒質： P QnL (長度長度 l )L是任一設想的路徑是任一設想的路徑光程光程 ( QP ) = n l沿沿L分段均勻：分段均勻：n1n3n2 l1 l2 l3 PM N( QMNP

5、 )= n1 l1 + n2 l2 + n3 l3Optical path lcnlcQP )(t 利用光程概念，可以將光在介質中通過的幾何路程利用光程概念，可以將光在介質中通過的幾何路程折算到在真空中通過的路程。折算到在真空中通過的路程。 Q一般：一般： Q Pdln (x,y,z)Ln (x,y,z)光程光程 ( QP ) 沿沿L PQdln(L)光程同樣傳播時間內在真空中的路程光程同樣傳播時間內在真空中的路程“ 最小時間原理最小時間原理”也就是也就是“ 最小光程原理最小光程原理”。The bending of rays through inhomogeneous media.在非均勻介質

6、中光線是彎曲的曲線在非均勻介質中光線是彎曲的曲線3. 費馬原理的表述費馬原理的表述從一點到另一點的一條實際光線取這樣的路徑：從一點到另一點的一條實際光線取這樣的路徑：其其光程光程與鄰近路徑光程相比與鄰近路徑光程相比是極大值、極小值或是極大值、極小值或穩定值穩定值。等效說法：等效說法：在實際光線的路徑上，光程的變分為零。在實際光線的路徑上，光程的變分為零。)(0LndlQP這種思路對以后物理思想的發展有重要影響。這種思路對以后物理思想的發展有重要影響。 分析力學分析力學 ( Lagrange, Hamilton )Schrdinger 的的量子力學量子力學 在均勻介質中的兩點間（直線傳播）、在均

7、勻介質中的兩點間（直線傳播）、經平面反射的兩點間，以及經平面折射的兩經平面反射的兩點間，以及經平面折射的兩點間的實際光路均是點間的實際光路均是光程取極小值光程取極小值的情形。的情形。 成像系統的物點和像點之間為成像系統的物點和像點之間為光程取穩定值光程取穩定值的情形。的情形。物物點點像像點點成像的基本概念成像的基本概念成像是幾何光學研究的中心問題成像是幾何光學研究的中心問題1、單心光束與物像關系、單心光束與物像關系單心光束（單心光束（同心光束同心光束）：）：光線本身或其延長線可以光線本身或其延長線可以交于一點的光束。（一束光線有一個共同的中心）交于一點的光束。（一束光線有一個共同的中心） 各種

8、各種“ 成像成像”，這里指經反射折射的光學成像。這里指經反射折射的光學成像。光具組：光具組：由若干反射或折射面組成的光學系統由若干反射或折射面組成的光學系統。 理想光具組：理想光具組：能夠使通過系統的單心光束仍保持單能夠使通過系統的單心光束仍保持單心性的光學系統。心性的光學系統。 光學系統理想成像的條件光學系統理想成像的條件 ：表述表述1單心性不變：單心性不變：由物點發出的單心光束通過光由物點發出的單心光束通過光具組后應保持其單心性不變。具組后應保持其單心性不變。 表述表述2等光程性：等光程性：由物點發出的所有光線通過光由物點發出的所有光線通過光具組后均應以相等的光程到達像點。具組后均應以相等

9、的光程到達像點。 PPA等光程面等光程面(2) 其他的反射等光程面都是其他的反射等光程面都是 旋轉二次曲面旋轉二次曲面反射反射等光程面等光程面(1) 平面鏡平面鏡 : 對任何物點都是等光程面對任何物點都是等光程面(Aspherical mirrors)對一特定的物點成完善像對一特定的物點成完善像旋轉橢球面旋轉橢球面：兩焦點共軛，皆實或皆虛。：兩焦點共軛，皆實或皆虛。 可用于聚光，極特殊情況用于成像。可用于聚光，極特殊情況用于成像。PA+AP=常數常數以以P、P為焦點為焦點的旋轉橢球面的旋轉橢球面PPAConcave ellipticalConvex elliptical旋轉拋物面旋轉拋物面：焦

10、點和軸上無限遠點共軛，可實可虛。：焦點和軸上無限遠點共軛，可實可虛。 廣泛使用廣泛使用（發射或接收）。（發射或接收）。旋轉雙曲面：旋轉雙曲面：兩焦點共軛，一實一虛。兩焦點共軛，一實一虛。PA - AP=常數常數以以P、P為焦點為焦點的旋轉雙曲面的旋轉雙曲面Concave hyperbolicPPAConvex hyperbolicPPAThe 2.4m-diameter hyperboloidal primary mirror of the Hubble Space TelescopeAn off-axis parabolic mirror elementThis solar-thermal

11、electric plant in the Mojave Desert uses long rows of parabolic mirrors to focus the suns rays on oil-filled pipes,which are located at the focal point of each mirror.折射等光程面折射等光程面笛卡爾卵形面：四次曲面，給定后只有一對共軛點。笛卡爾卵形面：四次曲面，給定后只有一對共軛點。A hyperbolic interface between air and glassconstant)()(1 ADnAFntiSeveral h

12、yperbolic lenses seen in cross sectionA selection of aspherical lenses 實際使用的折射面幾乎全是實際使用的折射面幾乎全是 球面球面 (加工，照顧多點加工，照顧多點 )近來個別照相機用了非近來個別照相機用了非球面透鏡球面透鏡Polishing a spherical lensComparison of spherical and paraboloidal mirrorsIn the paraxial region完善像完善像共軛點共軛點共軛光線共軛光線共軛光束共軛光束光學系統成像光學系統成像Q單心光束單心光束P1P2像散光束像

13、散光束單心光束與像散光束單心光束與像散光束不滿足理想成像條件時，也就是說，如果通過光具不滿足理想成像條件時，也就是說，如果通過光具組后光束的同心性被破壞，則出射光束變組后光束的同心性被破壞，則出射光束變像散光束像散光束，像點變為像點變為彌散斑彌散斑。 像散光束：像散光束：空間彼此不能交于一點，但有一定關空間彼此不能交于一點，但有一定關系的光線的集合。系的光線的集合。 2、物像的分類、物像的分類物點：物點：發光點，或入射單心光束的頂點。發光點，或入射單心光束的頂點。 實物點：實物點：發散的入射光束的頂點。發散的入射光束的頂點。 實物：實物：由實物點構成的物體。由實物點構成的物體。 虛物點：虛物點

14、：會聚的入射光束的頂點，或入射光束延長會聚的入射光束的頂點，或入射光束延長線的交點。線的交點。 像點：像點：光具組（光具組（光學系統光學系統）出射的單心光束的頂點。）出射的單心光束的頂點。 實像點：實像點：會聚的單心出射光束的頂點。會聚的單心出射光束的頂點。 虛像點：虛像點：發散的單心出射光束的頂點。發散的單心出射光束的頂點。 物空間（物方）：物空間（物方）：包含入射光束及其延長線的空間。包含入射光束及其延長線的空間。 像空間（像方）：像空間（像方）：包含出射光束及其延長線的空間。包含出射光束及其延長線的空間。 QQ光光具具組組實物成實像實物成實像實物成虛像實物成虛像QQ光光具具組組實物成虛像

15、實物成虛像虛物成實像虛物成實像n物空間物空間nn像空間像空間虛物成實像虛物成實像光光具具組組QQ虛物成虛像虛物成虛像光光具具組組QQ物與像物與像The reflected ray lies in the plane formed by the incident ray and the normal.實物、實像實物、實像的意義在于有光線實際發自或通過該點，的意義在于有光線實際發自或通過該點，而而虛物、虛像虛物、虛像僅僅是由光的直線傳播性質給人眼造僅僅是由光的直線傳播性質給人眼造成的一種錯覺，實際上并沒有光線經過該點。成的一種錯覺，實際上并沒有光線經過該點。 平面鏡是一個最平面鏡是一個最簡單的、不

16、改變簡單的、不改變光束單心性的、光束單心性的、能成完善像的光能成完善像的光學系統學系統3.2 光在平面界面上的反射和折射光在平面界面上的反射和折射 光導纖維光導纖維1、光在平面上的反射、光在平面上的反射ReflectionThe bundle of rays from the top of the object appears to originate from the image behind the mirrorThere is an image point for every source pointFor the woman to see her full-sized image, o

17、nly a half-sized mirror is needed.Multiple reflections can be obtained with two plane mirrors.Many emergency vehicles are reversed-lettered so the lettering appears normal when viewed through the rearview mirror of a carThe incoming ray that strikes point A eventually emerges along BD, parallel to t

18、he incoming ray.This array of corner reflectors was left on the Moon by the Apollo 14 astronauts.A corner reflector入射光線入射光線反射光線反射光線2、光在平面上的折射、光在平面上的折射Refraction2211sinsinnnA beam of light is refracted as it enters a tank of water.3、光束單心性的破壞、光束單心性的破壞光線在折射時，除平光線在折射時，除平行光束折射時仍為平行光束折射時仍為平行光束外，單心光束行光束外，單

19、心光束將被破壞。將被破壞。21nn 設設子午焦線子午焦線弧矢焦線弧矢焦線像散：像散：2122212121)1(xnnynny 物點物點)0 ,(1x), 0(1y), 0(2y)0 ,(2x出射光束不能保持單心性出射光束不能保持單心性21PP當當P 所發出的光束幾乎垂直于界面時，所發出的光束幾乎垂直于界面時，01 i0 xynnyyy1221 ，這時，這時，P1、P2和和P三點方能幾乎合在一起，折射光三點方能幾乎合在一起，折射光束幾乎仍保持為單心的。束幾乎仍保持為單心的。4、全反射（、全反射（Total Internal Reflection：TIR） 光導纖維光導纖維臨界角臨界角ic畫出的弧

20、線（子午交線）畫出的弧線（子午交線）21PPP出射光線交于出射光線交于和和成為象散光束，成為象散光束， 單心性受單心性受 到破壞。不能完善成象到破壞。不能完善成象 窄光束窄光束 條件條件 垂直入射垂直入射，當，當n2n1時，時，yy。如從水面上看下面的魚。如從水面上看下面的魚0 x12nnyy 像方折射率像方折射率物方折物方折射率射率像距像距物距物距按照波動理論，產生全反射時除反射波外，在光疏介按照波動理論，產生全反射時除反射波外，在光疏介質中并非完全不存在透射波，只不過它質中并非完全不存在透射波，只不過它沿界面方向傳沿界面方向傳播，且其振幅在垂直界面方向按指數衰減，透入深度播，且其振幅在垂直

21、界面方向按指數衰減，透入深度只有波長量級，只有波長量級，稱為稱為倏逝波倏逝波，或，或隱失波隱失波。 但平均來說，光波的能量全部返回光密介質，但平均來說，光波的能量全部返回光密介質，在光疏介質中并不形成透射光。在光疏介質中并不形成透射光。臨界角臨界角(Critical angle):)( 90sinsin211212nnnnnnic 4 .24 ci42. 21 n3 .33 ci33. 12 n12 n光導纖維光導纖維Light can travel with little loss in a curved optical fiber, because the light is totally

22、 reflected whenever it strikes the core-cladding interface and because the absorption of light by the core itself is small. 2221sinnni Optical fiber1sinsinifn0012sin(90)sin90fnn2212arcsinfnn數值孔徑數值孔徑2212NAnn醫學應用醫學應用A bronchoscope 肺部肺部A colonoscope, shown in use in this X-ray photograph 結腸鏡結腸鏡內窺鏡內窺鏡關節

23、顯微手術關節顯微手術Light rays emanating from the bees body enter the tube and, in part, are guided around the 90 degrees turn via TIR, eventually exiting through the front surface and allowing you to see the bee.5、棱鏡、棱鏡 (Prisms)棱角棱角 偏向角偏向角 色散色散裝校方便，反射率恒定，裝校方便，反射率恒定，常可代替常可代替45安放的平安放的平面反射鏡面反射鏡)( n2sin2sin)(min

24、n當當11ii 時：時： 入射入射光線光線出射出射光線光線11ii產生最小偏向角的條件是：10ddi由此得出111didi 1221sinsinsinsinininii兩邊取微分可以得到11221212coscoscoscosdiii didiii di22ii22didi 2211222111 sin1 sinsinsiniinini11221,2ii iii0sin/sin22An思考：用光的可逆思考：用光的可逆性原理可以得出結性原理可以得出結論么？論么？A dispersive deviceTo effect a change in the orientation of an image

25、 or in the direction of propagation of a beamRainbowsThe colors of a rainbow result from dispersion in the reflection of light from individual water droplets in the air.After two internal reflectionThe disks overlap, so it is relatively brighter below the primary rainbow and above the secondary rain

26、bow, but darker between them. 一、符號法則單獨一個球面不僅是一個簡單的光學系統，而且是組成光學儀器的基本元件。球面的一些概念 頂點：球面的中心點曲率中心：球面的球心主軸：直線OC 主平面：過主軸的平面曲率半徑：連接球心到球面上任一點的線段 3-3 球面反射和折射球面反射和折射 規定新笛卡兒符號法則：線段：頂點右為正，左為負（物、像）軸上為正，下為負（2）光線方向的傾斜(銳)角度 都以主軸（或球面法 線） 算起，順為正，逆為負。（3）圖中所標長度和角度 均為正值。 都假定光線自左向右進行。 規定的意義：由求出量的 正負可判斷像的虛、實、倒、正等結果。大多數光學儀器是

27、由球心在同一直線上得一系列折大多數光學儀器是由球心在同一直線上得一系列折射或反射球面組成的，這種光具組叫做射或反射球面組成的，這種光具組叫做共軸球面光共軸球面光具組具組，各球心的聯線叫做它的，各球心的聯線叫做它的光軸光軸除了極個別的特殊共軛點以外，球面是不能成完整除了極個別的特殊共軛點以外，球面是不能成完整的像的，只有在的像的，只有在傍軸條件下傍軸條件下近似成像才有可能。近似成像才有可能。AssCnnppuhrQQuiiM我們要尋求的是入射光纖我們要尋求的是入射光纖QM經過球面經折射后的出射光經過球面經折射后的出射光線線MQ,這是一個光線追跡問題，兩條光線分別用這是一個光線追跡問題，兩條光線分

28、別用或者是或者是 來表征來表征( , ),( ,)l ul u,l l根據菲涅爾折射定律：根據菲涅爾折射定律：在幾何上又有：在幾何上又有：sinsinninisinsinsinsinsinsinplrriuplrriuAllCnnppuhrQQuiiM222222()2 ()cos()2 ()cosplrrr lrplrrr lr222222+4 ()sin ( / 2)4 ()sin ( / 2)plr lrplr lr()()ppn lrn lr222222222114 sin ( / 2)()()()()llrnlrnlrnlrnlr 222222222114 sin ( / 2)()(

29、)()()llrn lrnlrn lrnlr 方程的討論：給定方程的討論：給定l和和 可由上式定出可由上式定出 。一般說來，。一般說來， 與與 是有關，也就是說由是有關，也就是說由Q點發出來的不同傾角的光線，折射后點發出來的不同傾角的光線，折射后不再與光軸交與同一點，即光束喪失了同心性。從成像的角不再與光軸交與同一點，即光束喪失了同心性。從成像的角度來討論問題，我們關心的是什么條件下度來討論問題，我們關心的是什么條件下 和和 無關，從無關，從而而Q成像于成像于 點。點。 llll22222222110()()0()()n lrnlrlln lrnlr要求寬光束要求寬光束成像則成像則聯立上面兩個

30、方程，能夠確定物距和像距，即寬聯立上面兩個方程，能夠確定物距和像距，即寬光束成像只能在個別的共軛點才能實現。另一種光束成像只能在個別的共軛點才能實現。另一種可能性是將光束限制在可能性是將光束限制在傍軸傍軸范圍內，這時光軸上范圍內，這時光軸上任意一點都可以成像，下面著重討論任意一點都可以成像，下面著重討論傍軸條件：傍軸條件：對于軸上物點來說，傍軸條件表述對于軸上物點來說，傍軸條件表述為：為：2222,hssr若用角度來表示，則有若用角度來表示，則有222,1uu2222220()()llnsrnsr2sin02nnnnllr單個球面折射單個球面折射成像公式成像公式根據符號法則：根據符號法則：As

31、sCnnppuhrQQuiiM,ls ls rr nnnnssr 2.光焦度公式：光焦度公式： 單位：單位：1/m ，稱為屈光度，用，稱為屈光度，用 D 表示。僅與介質的折射率表示。僅與介質的折射率和球面的曲率半徑有關，表征折射球面的光學性質。和球面的曲率半徑有關，表征折射球面的光學性質。 發散平面折射會聚000rnn3.焦點和焦距 像方：F， 物方：F， 關系： 討論： （“”表示 F 和 F 永遠位于界面兩方） 球面反射 （可看作是折射的特例） ）（sfsnrnnnf,),sfsnrnnnf（nnffffnnffthennnif,:AllCnnppurQQuiiMsinsinsinsinp

32、rliprli2222 22()2 ()cos()2 ()cosprlrr rlprlrr rl222222+4 ()sin ( / 2)4 ()sin ( / 2)plr rlplr rl()()pprlrl球面反射成像球面反射成像2222 2114 sin()()2()()llrrlrlrlrl討論：由討論：由Q點發出來的不同傾角的光線，反射后不再與光軸點發出來的不同傾角的光線，反射后不再與光軸交與同一點，即光束喪失了同心性。交與同一點，即光束喪失了同心性。2222110()()0()()rlrlllrlrl聯立上面兩個方程，能夠確聯立上面兩個方程，能夠確定物距和像距，即寬光束成定物距和像

33、距，即寬光束成像只能在個別的共軛點才能像只能在個別的共軛點才能實現。實現。2sin0222220()()llrlrl211rll112ssr符號法則：符號法則：II若像點若像點Q在頂點之左（實像），則在頂點之左（實像），則s02rff,ls ls rr 根據符號法則：根據符號法則：QPQPAii-ssyynnC令共軛點令共軛點P，P到光軸的距離分別為到光軸的距離分別為y,y，軸外共軛點的傍軸條件為，軸外共軛點的傍軸條件為:22222,yyssry,y的符號作以下規定：的符號作以下規定：若若P（或（或P）在光軸之上，）在光軸之上，y(或或y)0；在光；在光軸之下，軸之下， y(或或y)0，表示像是正立的；，表示像是正立的；V0,實像，實像， S 0,虛像虛像 (3) 光線自右向左進行，光線自右向左進行，S 0,虛像虛像 二、透鏡成像規律二、透鏡成像規律具有實焦點具有實焦點 的透