1、7.5多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法一一. 多元復(fù)合函數(shù)微分法多元復(fù)合函數(shù)微分法 1. 復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形定理定理1如果函數(shù)u=u(t),v=v(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在 點(diǎn) t 可導(dǎo)，且有 ,zf u tv t ddddddzzuzvtutvt上式也稱為z對(duì)t的全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù).定理1中的函數(shù)z通過中間變量與自變量t相關(guān)聯(lián)，其復(fù)合關(guān)系如下圖所示.例1設(shè) ,而u=sint,v=cost,求導(dǎo)數(shù)lnzuvddzt解解ln ,cos ,sin ,zzu dudv

2、vttuvv dtdt 因此ddztddddzuzvutvt(l n )cossi nuvttvcoslncostansi ntttt例2 設(shè) 而 求導(dǎo)數(shù) .2sin ,zu vte ,cos ,tuvtddzt解解ddztddddzuzvzutvtt222si nsi n ( si n )costuvt euttu vt22222cossinsincosttttett eetet2(cos22cos ).tett2. 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理定理2如果函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)都在點(diǎn)(x，y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u

3、，v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x，y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有zzuzvxuxvx.zzuzvyuyvy定理2中的函數(shù)z通過中間變量u，v與自變量x，y相關(guān)聯(lián)的復(fù)合關(guān)系如下圖所示.注注：如果函數(shù)的自變量只有一個(gè)，則求導(dǎo)時(shí)要用微分符號(hào)d；否則，就要用符號(hào).例3 設(shè) ,而u=xy,v=x+y,求 和e sinuzvzx.zy解解zxzuzvuxvxsi ncos1uuev yev( si ncos )ue yvv si n() cos(),xyeyxyxyzyzuzvuyvysi ncos1uuev xev( si ncos )ue xvv

4、 si n() cos().xyexxyxy定理2可進(jìn)一步推廣到多個(gè)中間變量的情形：設(shè)z=f(u，v，w)，u=u(x，y)，v=v(x,y)，w=w(x,y),則zzuzvzwxuxvxwxzzuzvzwyuyvywy例4 設(shè) 求 和2222, ,e,sin ,xyzuf x y zzxyux.uy解解uxffzxz x 222222222 si nxyzxyzxezexyuyffzyz y222222222cosxyzxyzyezexy定理2還可推廣到多個(gè)中間變量是三元及三元以上函數(shù)的情形：設(shè)w=f(u,v)，u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，則wwuwvxuxvxwwuwvyu

5、yvywwuwvzuzvz例5 設(shè)w=f(x+y+z，xyz)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 及 wx2wx z 解解令u=x+y+z，v=xyz，則w=f(u，v).引入記號(hào)： 其中下標(biāo)1表示對(duì)第1個(gè)變量u求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對(duì)第2個(gè)變量v求偏導(dǎo)數(shù).同理有 等.由定理2可得 ,上式再對(duì)變量z求偏導(dǎo)數(shù)，得到1( , )f u vfu12( , )f u vfu v 21122,fff12ffwuvfyzfxuxvx212122()ffwfyzfyfyzx zzzz 1111112fffuvfxyfzuzvz又2222122fffuvfxyfzuzvz2wx z 2111222122fxyfyfyz

6、fxy zf21112222()fy xz fyfxy zf得.3. 復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元又有多元函數(shù)的情形復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元又有多元函數(shù)的情形定理定理3如果函數(shù)u=u(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v=v(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=fu(x,y),v(y)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有,zzuxu x d.dzz uzvyuyvy 例6求 的偏導(dǎo)數(shù).cos2223yzxy解解設(shè) , ,則223uxycos2vyvzu.1,vzv uul n ,vzuuv6 ,uxx2 ,uyyd2si n2

7、dvyy 則 zxzuu x 16vv ux22 cos216 (3)cos2yxxyyddzz uzvyuyvy 12l n( 2si n2 )vvv uyuuy 22 cos212 (3)cos2yyxyy22 cos2222(3)si n2l n(3).yxyyxy二二. 全微分形式不變性全微分形式不變性. 如果z=f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u=u(x,y),v=v(x,y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則dddzzzxyxy()d()dzuzvz uz vxyuxv xuyv y (dd )(dd )zuuzvvxyxyuxyvxyddzzuvuv.由此可見，無(wú)論z是自變量u,v的函數(shù)或中間變量u,v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個(gè)性質(zhì)叫做全微全微分形式不變性分形式不變性.例7利用全微分形式不變性解本節(jié)的例3.即：設(shè) sinuzev, 而u=xy,v=x+y,求 zx.zy和解解dd e sine sin de cos d .uuuzvv uv v因dddd ,dddd ,uxyy xx yvxyxy代入后歸并含dx及dy的項(xiàng),得 udz(e sincos )d(e sincos )d ,uuuv yevxv xevy即d