1、第第8 8章章 采樣控制系統的分析與設采樣控制系統的分析與設計計8-1 8-1 引言引言8-2 8-2 信號的采樣與復現信號的采樣與復現8-3 Z8-3 Z變換與變換與Z Z反變換反變換8-4 8-4 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數8-5 8-5 采樣系統的分析采樣系統的分析8-6 8-6 最少拍采樣系統的校正最少拍采樣系統的校正8-1 8-1 引言引言 前面各章分析了連續控制系統，這些系統中的前面各章分析了連續控制系統，這些系統中的變量是時間上連續的；變量是時間上連續的； 隨著被控系統復雜性的提高，對控制器的要求隨著被控系統復雜性的提高，對控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數學模型的復雜也越來

2、越高，控制的成本隨著數學模型的復雜化而急劇上升化而急劇上升模擬實現；模擬實現； 隨著數字元件隨著數字元件, ,特別是數字計算機技術的迅速特別是數字計算機技術的迅速發展，采樣控制系統得到了廣泛的應用；發展，采樣控制系統得到了廣泛的應用； 在采樣控制系統中在采樣控制系統中, ,有一處或多處的信號不是有一處或多處的信號不是連續信號連續信號, ,而在時間上是離散的脈沖序列或數而在時間上是離散的脈沖序列或數碼碼, ,這種信號稱為采樣信號。這種信號稱為采樣信號。典型的采樣系統典型的采樣系統 計算機直接數字控制系統計算機直接數字控制系統 上面控制系統框圖 實際控制系統中是不存在采樣開關的。 計算機控制系統的

3、優點：1、有利于實現系統的高精度控制；2、數字信號傳輸有利于抗干擾；3、可以完成復雜的控制算法，而且參數修 改容易；4、除了采用計算機進行控制外，還可以進行顯示，報警等其它功能；5、易于實現遠程或網絡控制。 采樣控制系統也是一類動態系統； 該系統的性能也和連續系統一樣可以分為動態和穩態兩部分； 這類系統的分析也可以借鑒連續系統中的一些方法，但要注意其本身的特殊性； 采樣系統的分析可以采用Z變換方法，也可以采用狀態空間分析方法。8-2 8-2 信號的采樣與復現信號的采樣與復現1 1、采樣：、采樣：把連續信號變成脈沖或數字序列的過把連續信號變成脈沖或數字序列的過程叫做采樣；程叫做采樣；2 2、采樣

4、器：、采樣器：實現采樣的裝置，又名采樣開關；實現采樣的裝置，又名采樣開關；3 3、復現：、復現：將采樣后的采樣信號恢復為原來的連將采樣后的采樣信號恢復為原來的連續信號的過程；續信號的過程；4 4、采樣方式：采樣方式： （1 1）等周期采樣：）等周期采樣： （2 2）多階采樣：采樣是周期性重復的）多階采樣：采樣是周期性重復的 （3 3）多速采樣：有兩個以上不同采樣周期）多速采樣：有兩個以上不同采樣周期的采樣開關對信號同時進行采樣的采樣開關對信號同時進行采樣 （4 4）隨機采樣：采樣是隨機進行的）隨機采樣：采樣是隨機進行的, ,沒有固沒有固定的規律定的規律 一個連續信號經采樣開關變成了采樣信號 采

5、樣脈沖的持續時間遠小于采樣周期T和系統的時間常數 可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后 的采樣信號為1 1、信號的采樣過程、信號的采樣過程)()()(*tteteT tet0 teT te*0 te*t0TT2 *ett0TT2 是理想脈沖出現的時刻是理想脈沖出現的時刻因此采樣信號只在脈沖因此采樣信號只在脈沖出現的瞬間才有數值，出現的瞬間才有數值，于是采樣信號變為于是采樣信號變為 因此采樣過程可以看作一個調制過程。因此采樣過程可以看作一個調制過程。 kkTtt)()(kTkkTtkTete)()()(*0 tTtTT2T3T4T5采樣信號的調制過程采樣信號的調制過程 考慮到考慮到 時，時

6、，因此，可以將原來采樣信號表達式變為如下因此，可以將原來采樣信號表達式變為如下形式：形式：0t0)(te0*)()()(kkTtkTete將窄脈沖看作理想脈沖的條件是采樣持續時間遠遠將窄脈沖看作理想脈沖的條件是采樣持續時間遠遠小于采樣周期和被控對象的時間常數小于采樣周期和被控對象的時間常數2 2、采樣定理、采樣定理 由前面的分析可知，采樣窄脈沖為周期性的，由前面的分析可知，采樣窄脈沖為周期性的，采樣后的信號采樣后的信號 取該信號的拉氏變換取該信號的拉氏變換, ,并令并令 : : *1( )sjktke te t eT 說明采樣后信號頻譜是以說明采樣后信號頻譜是以 s s為周期的。為周期的。采樣

7、時間滿足什么條件？采樣時間滿足什么條件？才能復現原信號！才能復現原信號！ *1(j )jjskEEkT js 連續信號在時域上是連續的，但頻域中的頻譜是孤立的； 連續信號采樣之后，具有以采樣角頻率 為周期的無限多個頻譜。s 采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜a )jEmaxmaxc ) (maxs2)j*Emaxmaxsb ) (maxs2)2s *jE maxmaxmax2s1K1K0K 1EsT 采樣定理：采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原連續信號所含接，采樣頻率必須大于或等于原連續信號所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當的理想的

8、最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當的理想濾波器把原信號毫無畸變的復現出來。濾波器把原信號毫無畸變的復現出來。 香農定理的物理意義是：香農定理的物理意義是：滿足香農定理的采樣滿足香農定理的采樣信號中含有連續信號的信息，該信息可以通過信號中含有連續信號的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復現出來。具有低通濾波特性的濾波器復現出來。max2s3 3、零階保持器、零階保持器 保持器是采樣系統的一個基本單元，功能是將保持器是采樣系統的一個基本單元，功能是將采樣信號恢復成連續信號。采樣信號恢復成連續信號。 理想濾波器可以將采樣信號恢復成連續信號；理想濾波器可以將采樣信號恢復成連續信號； 理想濾波器

9、是物理上不可實現的，因此要尋找理想濾波器是物理上不可實現的，因此要尋找一種物理上可實現，特性上又接近于理想濾波一種物理上可實現，特性上又接近于理想濾波器的設備器的設備保持器。保持器。 采樣信號只在采樣點上有定義采樣信號只在采樣點上有定義, e, e* *(KT)(KT)和和e e* *(K+1)T)(K+1)T)都是有定義的都是有定義的, ,但是在這兩者之間但是在這兩者之間的時間段上連續信號應該是什么樣子呢的時間段上連續信號應該是什么樣子呢? ? 這就是保持器要解決的問題這就是保持器要解決的問題. . 保持器是一種時域外推裝置，即將過去時刻或現在時保持器是一種時域外推裝置，即將過去時刻或現在時

10、刻的采樣值進行外推?？痰牟蓸又颠M行外推。 通常把按照常數、線性函數和拋物線函數外推的保持通常把按照常數、線性函數和拋物線函數外推的保持器稱為零階、一階和二階保持器。器稱為零階、一階和二階保持器。 如果取如果取 則當前時刻的采樣值將被保持到下一個采樣時刻則當前時刻的采樣值將被保持到下一個采樣時刻. . 這種保持器稱為零階保持器這種保持器稱為零階保持器. . 如何用數學語言描述如何用數學語言描述這種特性呢這種特性呢? ? 2012eKTtaatat ,0e KTte KTtT 零階保持器零階保持器: :把采樣時刻把采樣時刻KTKT的采樣值不增不的采樣值不增不減地保持到下一個采樣時刻（減地保持到下一

11、個采樣時刻（K K1 1）T T。零階保持器的輸入和輸出信號零階保持器的輸入和輸出信號 sGh teT te* teh tet0a)b )c ) teht0TT2T3T4 te*t0TT2T3T4 由于在采樣時刻由于在采樣時刻 h,0,1,2ekTe kTk故保持器的輸出故保持器的輸出 h011kete kTtkTtkTT拉氏變換為拉氏變換為 h11eeTskTskEse kTss零階保持器的傳遞函數為零階保持器的傳遞函數為 hh*( )1 e( )TsEsGsE ss零階保持器的傳遞函數為零階保持器的傳遞函數為 零階保持器的頻率特性為零階保持器的頻率特性為 hh*( )1 e( )TsEsG

12、sE ssjjj22j2hj2j21 eeejej22 jesin(/2)sine22/2TTTTTTTGTTTTTTT 零階保持器的頻率特性如圖所示零階保持器的頻率特性如圖所示 零階除了允許主頻譜分量通過之外，還零階除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復允許一部分附加高頻分量通過。因此復現出的信號與原信號是有差別的?，F出的信號與原信號是有差別的。jhGss3s2T023jhGjhG4 4、小結、小結 采樣控制系統的結構；采樣控制系統的結構； 計算機控制的采樣系統的優點；計算機控制的采樣系統的優點； 采樣過程和采樣定理；采樣過程和采樣定理； 零階保持器的傳函和特性。零

13、階保持器的傳函和特性。8-3 Z8-3 Z變換與反變換變換與反變換 線性連續控制系統線性連續控制系統可用可用線性微分方程線性微分方程來來描述，用描述，用拉普拉斯變換拉普拉斯變換分析它的暫態性分析它的暫態性能及穩態性能。能及穩態性能。 對于對于線性采樣控制系統線性采樣控制系統則可用則可用線性差分線性差分方程方程來描述，用來描述，用Z Z變換變換來分析它的暫態性來分析它的暫態性能及穩態性能。能及穩態性能。 Z Z變換是研究采樣系統主要的數學工具，變換是研究采樣系統主要的數學工具，由拉普拉斯變換引導出來，是采樣信號由拉普拉斯變換引導出來，是采樣信號的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。 連續信號連續信號f

14、 f（t t）的拉普拉斯變換為）的拉普拉斯變換為 連續信號連續信號f f（t t）經過采樣得到采樣信號）經過采樣得到采樣信號 f f* *（t t）為）為 其拉普拉斯變換為其拉普拉斯變換為 定義新的變量定義新的變量 0)()(L)(dtetftfsFst0*)()()(kkTtkTftf0*)()()(kkTsekTftfLsFTsze 采樣信號的采樣信號的Z Z變換變換0*)()()(kkzkTftfZzF有有1 1、常用的、常用的Z Z變換方法變換方法 級數求和法：級數求和法：將采樣信號將采樣信號f f * *（t t）展開如下）展開如下對上式逐項進行拉普拉斯變換，得對上式逐項進行拉普拉斯

15、變換，得在一定條件下，常用函數的在一定條件下，常用函數的Z Z變換都能夠寫成閉合形式。變換都能夠寫成閉合形式。 *0( )() ()(0) ( )( ) ()() ()nftf nTtnTftf ttTf nTtnT *1( )(0)( )()( )(0)( )()TsnTsnFsff T ef nT eF zff T zf nT z【例【例1 1】求單位階躍函數求單位階躍函數1 1（t t）的）的Z Z變換。變換。 解：解： 單位階躍函數的采樣脈沖序列為單位階躍函數的采樣脈沖序列為 代入代入E(zE(z) )的級數表達式，得的級數表達式，得對上列級數求和，寫成閉合形式，得對上列級數求和，寫成

16、閉合形式，得 1,(0,1,2)e kTkL 1201e1kkkE zZte kTzzz LK11( )11zE zzz 部分分式法部分分式法1( )niiiAF ssp 當連續信號是以拉普拉斯變換式當連續信號是以拉普拉斯變換式F F（S S）的形式給出）的形式給出, ,且且F F（S S）為有理函數時）為有理函數時, ,可以展可以展開成部分分式的形式，即開成部分分式的形式，即 可得與其對應的可得與其對應的z z變換為變換為 由此可得由此可得F F（S S）的）的z z變換為變換為 iiAsp對應的時域表達式對應的時域表達式ip tiAeiipTzAze1( )inip TiAF zze【例【

17、例2 2】已知已知，試求其，試求其Z Z變換變換. . 解解 將將G G（s s）展開成部分分式）展開成部分分式 其對應的時域表示式為其對應的時域表示式為 兩個時域信號的疊加兩個時域信號的疊加 1(1)G ss s 11111E sG ss sss 1 ete t 1 e1e1e1eTtTTzzzE zZtzzzz 留數法留數法設連續信號設連續信號f(t)f(t)的拉普拉斯變換式的拉普拉斯變換式F F（S S）及其全部極點）及其全部極點p pi i為為已知，可利用留數法求其已知，可利用留數法求其Z Z變換變換F(z)F(z)，即，即 當當s=s=p pi i為一階極點時，其留數為為一階極點時，

18、其留數為 當當s=s=p pj j為為q q階極點時，其留數為階極點時，其留數為 s= s=p pi i處的留數處的留數 ()iiip TzRresFpze式中式中為為( )sTzF szelim ()()iiis TspzRspFsze111lim()( )(1)!iqjiqsTspdzRspF sqdsze*11( )( )()inniiP TiizFzZftresFpRze【例】求f（t）=t的z變換 t0 在在s=0s=0處有二階極點，處有二階極點，f(t)f(t)的的z z變換變換F(z)F(z)為為 解：解：由于由于21()Fss2200( )()(1)sTsTsTssdzzTeT

19、zF zRdszezez2 2、Z Z變換基本定理變換基本定理1.1.線性定理線性定理若若 i i為常數，則為常數，則 線性定理表明線性定理表明, ,時域函數線性組合的時域函數線性組合的z z變換等變換等于各時域函數于各時域函數z z變換的線性組合。變換的線性組合。 1122E zZ e ta Eza Ez L 1 122e ta eta etL 設有連續時間函數設有連續時間函數 2.2.滯后定理滯后定理 設設e(te(t) )的的z z變換為變換為E E（z z），且），且t t0 0時，時，e(te(t)=0,)=0,則則滯后定理說明，原函數在時域中延遲滯后定理說明，原函數在時域中延遲k

20、k個采樣周期求個采樣周期求z z變換變換, ,相當于它的相當于它的z z變換乘以變換乘以z z-k-k。因此。因此 z z-k-k可以表示可以表示時域中的滯后環節時域中的滯后環節, ,它把采樣信號延遲它把采樣信號延遲k k個采樣周期個采樣周期 nZ e tnTzE z tet tetnT3. 3. 超前定理超前定理4. 4. 初值定理初值定理 設函數設函數e(te(t) )的的z z變換為變換為E E(z(z) )，則，則 10nnkkZ e tnTzE ze kT z 0limlimtzetE z設設e(te(t) )的的z z變換為變換為 E E(z(z) )，而且，而且存在，則存在，則

21、0limtet5. 5. 終值定理終值定理 6 .6 .復數位移定理復數位移定理 1( )limlim1tzeetzE z 設函數設函數e(te(t) )的的z z變換為變換為E E(z(z) )，且，且在在z z平面上的以原點為圓心的單位平面上的以原點為圓心的單位圓上和圓外均圓上和圓外均沒有極點，則沒有極點，則 1zEz eeatatZ e tE zm設函數設函數e(te(t) )的的z z變換為變換為E(zE(z) )，則，則3 3、Z Z反變換反變換 由由E(zE(z) )求求e e* *(t)(t)過程稱為過程稱為z z反變換，表示為反變換，表示為 1e tZE z 由于由于z z變換

22、只表征連續函數在采樣時刻的特性變換只表征連續函數在采樣時刻的特性, ,并不反映采樣時刻之間的特性并不反映采樣時刻之間的特性, ,因此因此z z反變換只能求反變換只能求出采樣函數出采樣函數e e* *(t),(t),不能求出其連續函數不能求出其連續函數e(te(t) )。即有。即有 1ZEzete t常用的Z反變換方法1 1、長除法、長除法 將將E E( (z z) )的分子、分母多項式按的分子、分母多項式按z z的降冪形式排列的降冪形式排列, ,用分子多項式除以分母多用分子多項式除以分母多項式項式, ,可得到可得到E E( (z z) )關于關于z z-1-1的的無窮級數形式無窮級數形式, ,

23、在根據延遲定理得到在根據延遲定理得到e e* *(t)(t)。1010( )kkkkkE zee ze ze zLL對上式求對上式求z z反變換反變換, ,得得 *0( )()kke tetkT2 2、部分分式法、部分分式法 將將E(z)E(z)/z/z展開成部分分式。由于在展開成部分分式。由于在E(zE(z) )式中式中, ,分子分子表達式中通常含有表達式中通常含有z z。得到部分分式后。得到部分分式后, ,再將再將z z乘到各乘到各部分分式的分子部分部分分式的分子部分, ,再查表進行反變換即可再查表進行反變換即可, ,所以也所以也稱為查表法。稱為查表法?！纠纠? 3】求求的的z z反變換

24、。反變換。 解解 將將E E (z)(z)/z/z展開成部分分式為展開成部分分式為 則對應的時間函數則對應的時間函數e e* *(t)(t)為為 1012zE zzz 1010101212E zzzzzz則有 101012zzE zzz 010etete TtTL0 10302703tTtTtTL3. 3. 留數法留數法由由z z變換的定義有變換的定義有 用用z zm-1m-1乘上式兩端乘上式兩端, ,得得 根據復變函數理論根據復變函數理論, ,知知 0kkE ze kT z 110mm kkE z ze kT z 1111dRe2 jiPmkizze kTE z zze kTs E z z

25、當當z=pz=pi i為單極點時，其留數為為單極點時，其留數為 當當z=pz=pj j為為n n重極點時，其留數為重極點時，其留數為 11Reslim () ( )iikkizzzzE z zzz E z z 1111d()( )1Reslim(1)!diinnkkinzzzzzzE z zE z znz4 4 差分方程差分方程 描述描述n n階線性連續系統的數學模型為微分階線性連續系統的數學模型為微分方程，而描述線性采樣系統的教學方程，而描述線性采樣系統的教學模型模型為為差分方程差分方程。 差分的定義：差分的定義： 一階前向差分定義為一階前向差分定義為 二階前向差分定義為二階前向差分定義為

26、1e ke ke k 211211221e ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke k 一階后向差分定義為：一階后向差分定義為： 二階后向差分定義為：二階后向差分定義為： 1e ke ke k 2212e ke ke ke k tet ke ke1T1kk1k前向和后向差分示意圖前向和后向差分示意圖【例【例】 一階采樣系統的差分方程為一階采樣系統的差分方程為 解解: :對方程兩邊進行在對方程兩邊進行在z z變換，并由實移定理變換，并由實移定理 1y kby kr t其中其中b b為常數為常數, , ,00,kr kayy k求響應。 0zY zybY zR z

27、00kzr kaR zza，y因為因為 所以所以 zzb Y zza 11zYzZabbazbzazazb 1,(1, 2)kky kabkabL8-4 8-4 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數一、脈沖傳遞函數的基本概念一、脈沖傳遞函數的基本概念 線性采樣系統初始條件為零時線性采樣系統初始條件為零時, ,系統輸出信號的系統輸出信號的z z變換與輸入信號的變換與輸入信號的z z變換之比變換之比, ,稱為線性采樣系統的稱為線性采樣系統的脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數, ,或簡稱為或簡稱為z z傳遞函數。傳遞函數。 實際采樣系統的輸出信號通常是連續信實際采樣系統的輸出信號通常是連續信號號, ,為了應用脈沖傳遞函數

28、為了應用脈沖傳遞函數概念概念, ,可在系統的可在系統的輸出端虛設一個同步采樣開關輸出端虛設一個同步采樣開關, ,使輸出成為使輸出成為采樣信號。采樣信號。 ( )( )( )Y zG zR z tr* sG tr ty ty* zG實際采樣系統實際采樣系統設輸入脈沖序列為設輸入脈沖序列為*0( )() ()kr tr kTtkT由疊加原理可求出系統對脈沖序列的響應為由疊加原理可求出系統對脈沖序列的響應為 ( )(0) ( )( ) ()() ()y trg tr T g t Tr nT g t nTLL根據根據z z變換的卷積定理，上式的變換的卷積定理，上式的z z變換為變換為 ( )( ) (

29、 )Y zG z R z 式中：式中：G(z)G(z)、R(z)R(z)、Y(zY(z) )分別為分別為g(t)g(t)、r(t)r(t)、y(ty(t) )的的z z變換。變換。 即采樣系統脈沖傳遞函數即采樣系統脈沖傳遞函數為為采樣脈沖傳函為連續系統的脈沖響應的采樣脈沖傳函為連續系統的脈沖響應的Z Z變換變換0( )( )()( )kkY zG zg kT zR z脈沖傳遞函數和連續系統的傳遞函數一樣表脈沖傳遞函數和連續系統的傳遞函數一樣表征了采樣系統的固有特性；征了采樣系統的固有特性；它除了與系統的結構、參數有關系，還與采它除了與系統的結構、參數有關系，還與采樣開關在系統中的具體位置有關。

30、樣開關在系統中的具體位置有關。1 1、兩個環節有采樣開關時、兩個環節有采樣開關時根據脈沖傳遞函數的定義：根據脈沖傳遞函數的定義：tr* sG1trty*1ty1 sG2ty*ty12( )( )( )( )( )Y zG zG z G zR z當環節之間有采樣開關時，等效脈沖傳遞函數為各當環節之間有采樣開關時，等效脈沖傳遞函數為各串聯環節脈沖傳遞函數之積串聯環節脈沖傳遞函數之積。該結論也可推廣到。該結論也可推廣到n n個個環節串聯的情況環節串聯的情況二、串聯環節的脈沖傳函二、串聯環節的脈沖傳函2 2、兩個環節沒有采樣開關時、兩個環節沒有采樣開關時)()()(2121zGzGzGGtr* sG1

31、tr sG2ty* ty當串聯環節之間無采樣開關時當串聯環節之間無采樣開關時, ,系統脈沖傳遞函數系統脈沖傳遞函數為各串聯環節傳遞函數乘積的為各串聯環節傳遞函數乘積的z z變換。該結論可推變換。該結論可推廣到相互間無采樣開關的廣到相互間無采樣開關的n n個環節串聯的情況。個環節串聯的情況。12( )( )( )( )Y zG zGG zR z3 3、有零階保持器時的開環系統脈沖傳遞函數、有零階保持器時的開環系統脈沖傳遞函數 a) tr* tr G s ty* ty h1 eTsG ssb) tr*1 tr ssG ty* tyeTs有零階保持器時的開環采樣系統有零階保持器時的開環采樣系統 三、

32、閉環系統的脈沖傳遞函數三、閉環系統的脈沖傳遞函數 tr ty* ty sG2 sH td te te* td* sG112( )( )( )( )( )( )E zR zB zB zE z GG H z12( )( )1( )R zE zGG H z121212( )( )( ) ( )( )1( )GGzY zGGz E zR zGG H z閉環系統的誤差脈沖傳遞函數閉環系統的誤差脈沖傳遞函數 12( )1( )( )1( )eE zG zR zGG H z閉環系統脈沖傳遞函數閉環系統脈沖傳遞函數為為12B12( )( )( )( )1( )G GzY zGzR zG G H z系統輸出系統

33、輸出當系統有擾動作用時當系統有擾動作用時 , ,可得閉環系統的誤差與擾動間可得閉環系統的誤差與擾動間的脈沖傳遞函數為的脈沖傳遞函數為 212( )( )( )1( )G H zE zD zGG H z 系統輸出與擾動之間系統輸出與擾動之間的脈沖傳遞函數的脈沖傳遞函數 122212( )( )( )( )( )1( )GG z G H zY zG zD zGG H z由于系統中有采樣器的存在，由于系統中有采樣器的存在，所以一般情況下所以一般情況下 ( )( )1( )1( )G zG sZG zG s例例 設閉環采樣系統結構圖如圖所示，試設閉環采樣系統結構圖如圖所示，試證其閉環脈沖傳遞函數為證其

34、閉環脈沖傳遞函數為 12B12( )( )( )1( )( )G z GzGzG z HGz tr ty* ty sG1 sG2 sH sE sE* sE1 sE*1閉環采樣系統結構圖閉環采樣系統結構圖 對于有些采樣控制系統，無法寫出閉環脈沖傳遞函數只能寫出輸出的Z變換 sG sY sH sR sG1 sYsH sRsG2 1RG zY zHG z 12121RGz GzY zGG H z8-5 8-5 采樣系統的分析采樣系統的分析 穩定性分析穩定性分析 閉環極點分布與瞬態響應的關系閉環極點分布與瞬態響應的關系 穩態誤差分析穩態誤差分析1 1、采樣穩定性分析、采樣穩定性分析1 1）穩定性的基本

35、概念）穩定性的基本概念 穩定性是指在擾動的作用下，系統會偏穩定性是指在擾動的作用下，系統會偏離原來的平衡位置，在擾動撤除后，系離原來的平衡位置，在擾動撤除后，系統恢復到原來平衡狀態的能力；統恢復到原來平衡狀態的能力； 根據穩定性的定義，可以采用脈沖響應根據穩定性的定義，可以采用脈沖響應的情況來研究系統的穩定性；的情況來研究系統的穩定性； 系統的脈沖響應如果能夠衰減到系統的脈沖響應如果能夠衰減到0 0，則系，則系統是穩定的；統是穩定的； 否則系統是不穩定的。否則系統是不穩定的。 采樣系統的脈沖響應： 由Z反變換得 由上式可若 ，即系統的所有極點位于Z平面的單位圓內，則1( )( ) ( )( )

36、niiiA zY zT z R zT zzz 1)(zR11( )nkiiiy kA z nizi, 2 , 1, 10lim11nikiikzA2 2）穩定條件：）穩定條件：采樣系統穩定的充分必要條件是：采樣系統穩定的充分必要條件是： 系統閉環脈沖傳遞函數的所有極點位于系統閉環脈沖傳遞函數的所有極點位于Z Z平面上的單位圓內?；蛘哒f，所有極點的模都平面上的單位圓內。或者說，所有極點的模都小于小于1,1,即即 ，單位圓就是穩，單位圓就是穩定區域的邊界。定區域的邊界。1,(1,2,)iiL S平面的左半平面 ，z的幅值在0和1之間變化，對應z平面單位圓內； S平面的虛軸 ，對應z平面的單位圓；

37、當 由 變到 時，jsezTs,sTTzez2arg,00z2s2s3 3）s s平面與平面與z z平面的映射關系平面的映射關系 線性采樣系統不能直接使用勞斯穩定判線性采樣系統不能直接使用勞斯穩定判據，因為采樣系統穩定邊界是據，因為采樣系統穩定邊界是z z平面上以平面上以原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據，可將為能使用勞斯判據，可將z z平面上單位圓平面上單位圓周映射到新坐標系中的虛軸，這種變換周映射到新坐標系中的虛軸，這種變換稱為稱為w w變換變換，或稱雙線性變換。，或稱雙線性變換。4 4）線性采樣系統勞斯判據）線性采樣系統勞斯判據式中，式中

38、，z z、w w均為復變量，可分別寫為均為復變量，可分別寫為 代入雙線性變換公式，得代入雙線性變換公式，得w w平面虛軸上的點對應于平面虛軸上的點對應于上式中實部為零的點，即上式中實部為零的點，即 則則11zzw設設11wzw jjzxy w uv ，22222212jj(1)(1)xyyuvxyxy22221(1)xyuxy z z平面上單位圓內平面上單位圓內(x(x2 2+y+y2 21)1)對應著對應著w w平面實部平面實部為負數的左半平面。為負數的左半平面。z z平面上單位圓外平面上單位圓外(x(x2 2+y+y2 21)1)對應著對應著w w平面實部為正數的右半平面。平面實部為正數的

39、右半平面。z z平面平面與與w w平面的映射平面的映射關系所示。關系所示。uju平面wz平面xy j【例【例】設采樣控制系統的方框圖如圖所示。設采樣控制系統的方框圖如圖所示。采樣周期采樣周期T=1s, T=1s, T=0.5sT=0.5s試求使系統穩定試求使系統穩定的的K K值范圍。值范圍。 解解 系統的開環脈沖傳遞函數為系統的開環脈沖傳遞函數為 sR sYT1ssK1 eTss12(e1)(1 ee )( )1(1)(1)(e )TTTTKTzTG zzZKs szz 相應的閉環系統特征方程相應的閉環系統特征方程為為 10D zG z 將將T=1sT=1s代入上式，得代入上式，得 進行進行w

40、 w變換可求得變換可求得w w域系統的特征方程為域系統的特征方程為 2( )(0.3681.368)(0.2640.368)0D zzKzK2( ) 0.632(1.264 0.528 )(0.2640.368) 0D wKwK wK根據代數判據，閉環系統穩定條件根據代數判據，閉環系統穩定條件為為1.2640.5280K所以穩定時所以穩定時K K的取值為的取值為 02.4K同理可得同理可得T=1sT=1s時時 穩定時穩定時K K的取值為的取值為 02.4K穩定時穩定時K K的取值為的取值為 同理可得同理可得,T=0.5s,T=0.5s時時 04.37K開環增益開環增益K K和采樣周期和采樣周期

41、T T對采樣系統穩定性有如下影響：對采樣系統穩定性有如下影響：(1)(1)采樣周期采樣周期T T一定時，增加開環增益一定時，增加開環增益K K會使采樣系統穩定會使采樣系統穩定性變差，甚至使系統不穩定。性變差，甚至使系統不穩定。(2)(2)開環增益開環增益K K一定時一定時, , 采樣周期采樣周期T T越長，丟失的信息越多，越長，丟失的信息越多，對采樣系統穩定性及動態性能均不利，甚至使系統不穩定。對采樣系統穩定性及動態性能均不利，甚至使系統不穩定。2、閉環脈沖傳遞函數零、極點分布與閉環脈沖傳遞函數零、極點分布與暫態響應的一般關系暫態響應的一般關系 1）系統的單位階躍響應 設閉環采樣系統的脈沖傳遞

42、函數為設閉環采樣系統的脈沖傳遞函數為式中式中M M(Z)(Z)、D(Z)D(Z)閉環脈沖傳遞函數分子閉環脈沖傳遞函數分子多項式和分母多項式多項式和分母多項式 設設 i i閉環極點閉環極點 z zj j閉環零點閉環零點1011B1011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zM zGzR za za zazaD zLL當輸入為單位階躍信號時系統輸出信號的z變換為 10110121()( )( ) ( )( )11()()()mmmmBBnb zb zbzbazzY zGz R zGzzzzzzLL( )1zR zz將上式展成部分分式可得01( )1niiizzY z

43、AAzz式中：01()( ),( )(1)()iiiizMMzAAD zD對上式進行對上式進行z z反變換，得采樣系統輸出采樣信號為反變換，得采樣系統輸出采樣信號為 上式右邊第一項為系統的穩態響應分量，第二項上式右邊第一項為系統的穩態響應分量，第二項為暫態響應分量。為暫態響應分量。01( )1( )nkiiiy kAkA 顯然,隨極點在平面位置的不同，它所對應的暫態分量也不同。 實數極點：實數極點：若實數極點分布在單位圓內，其對應的若實數極點分布在單位圓內，其對應的分量呈衰減變化。正實數極點對應的單調衰減，負分量呈衰減變化。正實數極點對應的單調衰減，負實數極點對應的振蕩衰減；實數極點對應的振蕩

44、衰減； 共軛極點：共軛極點： 有一對共軛復數極點有一對共軛復數極點 i i與與 i i，即，即 jje,e( )2cos()iiiiiikiiiiiy kAk當當| | i i| |1 1時時,y,yi i(k(k) )為發散振蕩函數；當為發散振蕩函數；當| | i i| |1 1時，時，y yi i(k(k) )為衰減振蕩函數為衰減振蕩函數, ,振蕩角振蕩角頻率為頻率為 i i為共軛復數系數為共軛復數系數A Ai i的幅角。的幅角。 iiT xxxxxx暫態響應與極點位置關系暫態響應與極點位置關系 1)1)當閉環脈沖傳遞函數的極點位于當閉環脈沖傳遞函數的極點位于z z平面上以平面上以原點為圓

45、心的單位圓內時原點為圓心的單位圓內時, ,其對應的暫態分量其對應的暫態分量是衰減的。是衰減的。 2)2)要使控制系統具有比較滿意的暫態響應要使控制系統具有比較滿意的暫態響應, ,其其閉環極點應盡量避免分布在閉環極點應盡量避免分布在Z Z平面單位圓平面單位圓內內的的左左半部半部, ,最好分布在單位圓內的右半部。最好分布在單位圓內的右半部。 3)3)極點盡量靠近坐標原點極點盡量靠近坐標原點, ,相應的暫態分量衰相應的暫態分量衰減速度較快。減速度較快。 4)4)離單位圓周最近且附近無閉環零點的共軛復離單位圓周最近且附近無閉環零點的共軛復數極點為主導極點。數極點為主導極點。3 3、采樣系統的穩態誤差、

46、采樣系統的穩態誤差 與連續系統類似地求穩態誤差有兩種方與連續系統類似地求穩態誤差有兩種方法：法： 1)1)應用應用z z變換變換終值定理終值定理計算穩態誤差的終計算穩態誤差的終值；值； 2)2)應用誤差脈沖傳遞函數計算應用誤差脈沖傳遞函數計算靜態誤差靜態誤差系數系數, ,進而進而得到穩態誤差。得到穩態誤差。 誤差脈沖傳遞函數為誤差脈沖傳遞函數為 tr ty* ty te te* zG( )( )1( )R zE zG z閉環采樣控制系統閉環采樣控制系統 由由z z變換終值定理得穩態誤差為變換終值定理得穩態誤差為 與連續系統類似與連續系統類似, ,開環脈沖傳遞函數的一般開環脈沖傳遞函數的一般形式

47、為形式為11( )lim ( )lim(1) ( )lim(1)1( )sskzzR zee kzE zzG z 11()( )(1)()mjjn vviiKzzG zzzp =0=0稱為稱為0 0型系統；型系統； =1=1稱為稱為I I型系統；型系統； =n=n稱為稱為n n型系統。型系統。定義為靜態位置誤差系數定義為靜態位置誤差系數對于對于0 0型系統型系統 為一常量，穩態誤差為為一常量，穩態誤差為對于對于型及以上系統型及以上系統( )1r t ( )1zR zz 11111lim (1)lim1( )11(1)sszzpzezG zzGK 1lim 1( )pzKG zpK1sspeK

48、pK0sse1 1）單位階躍輸入：）單位階躍輸入：定義靜態速度誤差系數定義靜態速度誤差系數對于對于0 0型系統型系統 ，穩態誤差為，穩態誤差為對于對于型型 為常值為常值 , , 也為常值也為常值對于對于型及以上系統型及以上系統0vKsse0ssevKssevK22111( )(1)111( )lim (1)limlim1( ) (1)(1)1( )(1) ( )zzzvTzR zzTzTezTTG zzzG zzG zK 1lim(1) ( )vzKzG z2 2）單位斜坡輸入：）單位斜坡輸入：定義靜態加速度誤差系數對于0型和型系統 ，穩態誤差為對于型 為常值, 也為常值0vKssevKsse

49、23222211(1)( )2(1)1(1)1( )lim(1)lim1( ) 2(1)(1)( )zzT z zR zzT z zezTG zzzG z 21lim(1)( )azKzG z3 3）單位加速度輸入：）單位加速度輸入： 采樣系統誤差除了與系統的結構、參數和輸入信采樣系統誤差除了與系統的結構、參數和輸入信號有關外，還與采樣周期有關，縮小采樣周期可號有關外，還與采樣周期有關，縮小采樣周期可以減小穩態誤差。以減小穩態誤差。系統型別系統型別位置誤差位置誤差速度誤差速度誤差加速度誤差加速度誤差0 0型型1 1型型0 02 2型型0 00 01pKvTK2aTK例例 采樣系統結構圖如圖所示

50、，設采樣系統結構圖如圖所示，設T=0.2sT=0.2s，輸入信號為，輸入信號為求系統的穩態誤差。求系統的穩態誤差。21( )12r ttt tr tyT te te*215 . 010ss1eTss解：解： 系統的開環脈沖傳遞函數為系統的開環脈沖傳遞函數為2133210(0.51)1 5(1)5( )(1)(1)(1)szT z zTzG zzZszzz解：解： 系統的開環脈沖傳遞函數為系統的開環脈沖傳遞函數為2133210(0.51)1 5(1)5( )(1)(1)(1)szT z zTzG zzZszzzT=0.2sT=0.2s時時21.20.8( )(1)zG zz系統特征方程為系統特征

51、方程為 20.80.20zz1,20.4j0.2所以系統穩定所以系統穩定 ,0.4pvaKKK 所以采樣時刻的穩態誤差為所以采樣時刻的穩態誤差為 21( )0.1pvaTTeKKK 關于采樣時刻之間的波紋引起的誤差關于采樣時刻之間的波紋引起的誤差 0TT2T3T4T5)(tyt由于采樣，系統中增加由于采樣，系統中增加了高頻分量，造成了采了高頻分量，造成了采樣間隔的紋波如圖所示。樣間隔的紋波如圖所示。它們同樣影響到采樣點它們同樣影響到采樣點的穩態誤差，所以在用的穩態誤差，所以在用上述方法求誤差時，嚴上述方法求誤差時，嚴格說還應將它們也考慮格說還應將它們也考慮進去。分析紋波須應用進去。分析紋波須應

52、用修正修正z z變換法。變換法。 采樣時刻間的紋波采樣時刻間的紋波 8-6 8-6 最少拍采樣系統的校正最少拍采樣系統的校正 在采樣系統中通常將一個采樣周期稱之為一拍，在采樣系統中通常將一個采樣周期稱之為一拍，若在典型輸入信號作用下，經過最少采樣周期，若在典型輸入信號作用下，經過最少采樣周期，系統的采樣誤差信號減小為零實現完全跟蹤，系統的采樣誤差信號減小為零實現完全跟蹤，則稱之為則稱之為最少拍系統最少拍系統。 sR sY sE zD sGh sG0TT具有數字控制器的采樣控制系統具有數字控制器的采樣控制系統 閉環脈沖傳遞函數閉環脈沖傳遞函數 B( )( ) ( )( )( )1( ) ( )Y

53、 zD z G zGzR zD z G z誤差脈沖傳遞函數為誤差脈沖傳遞函數為( )1( )( )1( ) ( )EE zGzR zD z G z( )1( )BEGzGz 且求出數字控制器的脈沖傳遞函數為求出數字控制器的脈沖傳遞函數為 B( )( )( ) 1( )BGzD zG zGz或或 1( )( )( )( )EEGzD zG z Gz 最小拍系統的設計是針對典型輸入作用進行的最小拍系統的設計是針對典型輸入作用進行的. . 典型輸入信號的典型輸入信號的z z變換可以表示為如下一般形式變換可以表示為如下一般形式1( )( )(1)A zR zz所以有所以有 1( )( )( ) ( )( )(1)EEA zE zGz R zGzz根據終值定理，采樣系統的穩態誤差為根據終值定理，采樣系統的穩態誤差為 11111( )( )lim(1) ( )lim(1)( )(1)EzzA zezE zzGzz 根據終值定理，采樣系統的穩態誤差為根據終值定理，采樣系統的穩態誤差為 11111( )( )lim(1) ( )lim(1)( )(1)EzzA zezE zzGzz 要使系統無穩態誤差要使系統無穩態誤差 1( )(1)( )EGzzF