1、材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法第二十六講第二十六講材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法131 概述概述 132 桿件應變能的計算桿件應變能的計算133 應變能的普遍表達方式應變能的普遍表達方式 134 互等定理互等定理137 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法131 131 概述概述能量原理：能量原理：彈性體內部所貯存的應變能，在數值上等于外力所作的功，彈性體內部所貯存的應變能，在數值上等于外力所作的功，即即VW能量方法：能量方法：利用功能關系分析計算可變形固體的位移、變利用功能關系分析計算可變形固體

2、的位移、變形和內力的方法。形和內力的方法。能量法的應用范圍：能量法的應用范圍：（1 1）線彈性體；非線性彈性體）線彈性體；非線性彈性體（2 2）靜定問題；超靜定問題）靜定問題；超靜定問題材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法2NF( )V d2LxxEA2N1FV2niiiiiLE A單位體積內的應變能單位體積內的應變能( (應變比能應變比能) )：1.1.軸向拉壓桿的應變能：軸向拉壓桿的應變能：132 132 桿件應變能的計算桿件應變能的計算WV lF 21EAlFEAlFN2222FlFllFFl2122E材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法2.2.扭轉軸的應

3、變能：扭轉軸的應變能：21pTV2G IniiiiiLlmmmppGIlTGIlmmWV222122xGIxTVlpd 2)( 2G2212應變比能應變比能材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法lxxIExMVd)(2)(23.3.彎曲桿的應變能計算：彎曲桿的應變能計算：EIlmmWV2212ddxMM材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法4、應變能公式統一形式：、應變能公式統一形式：WV 12F其中，其中，F-廣義力，廣義力，-與與F對應的廣義位移對應的廣義位移.,lFF材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法332211212121FFFWV克拉貝依

4、隆原理：克拉貝依隆原理：線彈性體的變形能等于每一外力與其線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和。相應位移乘積的二分之一的總和。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法比例加載比例加載0 . 10 , , ,321PPPdddd332211PPPWP3P1P2321 , , ,321 P Pn nPPdP10332211d )(dPPPWWV材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法2( )2NLFx dxVEA2( )2LMx dxEI2( )2PLTx dxGI三種基本變形組合三種基本變形組合桿應變能計算桿應變能計算dxFN(x)FN(x)M(x)

5、M(x)T t(x)T t(x) 材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法Pl / 2l / 2EIlPxEIxMVl96d 2)( 2322 0 2EIlPPy962132maxEIPly483max2)(PxxMymax思考：分布荷載時，可否用此法求思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？點位移？材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法 例例13.2 13.2 圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內，在圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內，在A A點受鉛垂力點受鉛垂力P P的作用，求的作用，求A A點的垂直位移。點的垂直位移

6、。解：解：內力方程內力方程sin)(:PRM彎矩:T( )(1 cos )PR扭矩APR材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法A A點的垂直位移點的垂直位移應變能：應變能：222T ( )( )( )V d d d222LLLPxMxNxxxxEAGIEI02220222d2)(sind2)cos1(REIRPRGIRPPEIRPGIRPP44332321V2AWPfEIPRGIPRfPA22333材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法forces displacements strain energy21,PP21,22112121PP43,PP43,443321

7、21PPP1P221P3P443First groupSecond group13-4 互等定理互等定理材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法P1P221P3P443P1P2P3P44312If we first apply P1 and P2 , and then apply P3 and P444332211121212121PPPPUIf we first apply P3 and P4, and then apply P1 and P222114433221212121PPPPU21UU 44332211PPPP212211PP4433PP34strain energys

8、train energy材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法 第一組力在第二組力所引起的位移上所作的功，等于第一組力在第二組力所引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力所引起的位移上所作的功。第二組力在第一組力所引起的位移上所作的功。P1P221P3P443P1P2P3P443122134說明：互等定理中的力和位移都為廣義的。說明：互等定理中的力和位移都為廣義的。44332211PPPP材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法212121FF，則得若21FF 211212F1F2說明：互等定理中的位移為廣義的。說明：互等定理中的位移為廣義的。F21222F111

9、21第一力作用點沿第一力方向因第二力引起的位移，等于第一力作用點沿第一力方向因第二力引起的位移，等于第二力作用點沿第二力方向因第一力引起的位移。第二力作用點沿第二力方向因第一力引起的位移。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法求解求解解解EIlalEIa3),3(63221用功的互等定理用功的互等定理:021BRPlPaCAB1XBRP ,0 (at point B)03)3(632EIlRalEIPaB)3(232allPaRBPRBCABX=1CAB21材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法21BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC2221得：IEMlwC

10、821由此得：1CwB2F 例例6：求圖示懸臂梁中點：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法第二十七講第二十七講材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法應變能表達式：應變能表達式：能量原理：能量原理：VW互等定理互等定理: 212121FF21122( )2NLFx dxVEA2( )2LMx dxEI2( )2PLTx dxGI材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法137 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分 欲求梁上欲求梁上C點在載荷點在載荷P1，P2

11、，作用下的位移作用下的位移，可在可在C點假想有單位力點假想有單位力P0=1作用，作用，xEIxMUld2)( 2P0=1作用的應變能：作用的應變能：xEIxMUld 2)( 2 P1 ,P2, 作用的應變能：作用的應變能：lBACP1P2BAC1P01材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法先作用單位力先作用單位力P0 ,后后作用作用P1， P2，,梁內梁內應變能應變能:xEIxMxMUUVld 2)()(1 2 xEIxMxMld )()( lBACP1P2BAC1P01P1P2xEIxMUld2)( 2xEIxMUld 2)( 2 BA1CP01莫爾定理莫爾定理材料力學材料力學

12、 第十三章第十三章 能量方法能量方法這些式子統稱為莫爾定理這些式子統稱為莫爾定理,式中積分稱為莫爾積分式中積分稱為莫爾積分.)(),(),(xFxTxMN是單位力系統的內力是單位力系統的內力.l梁梁l軸軸xGIxTxTlpd )()( l拉壓桿拉壓桿xEAxFxFlNNd )()( 桁架桁架niiiiNiNEAlFF1xEIxMxMld )()( xGIxTxTxEIxMxMxEAxFxFlpllNNd )()(d )()(d )()( 組合組合結構結構材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法求兩點的相對位移求兩點的相對位移: 在兩點的聯線方向加一對方向相反的單位力在兩點的聯線方向

13、加一對方向相反的單位力xEIxMxMlBAd )()( lBAlBA11求兩截面相對轉角求兩截面相對轉角?在兩截面上加方向相反的在兩截面上加方向相反的一對單位力偶。一對單位力偶。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法單位載荷法：用單位載荷法：用莫爾定理莫爾定理求結構位移的方法。求結構位移的方法。)(T ),( ),(xxMxFNl 步驟步驟:先建立單位力系統先建立單位力系統列單位力系統的內力方程列單位力系統的內力方程)(T),( ),(xxMxFN列載荷系統的內力方程列載荷系統的內力方程用用莫爾定理莫爾定理求結構位移。求結構位移。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方

14、法注意事項：注意事項：3.莫爾積分必須遍及整個結構莫爾積分必須遍及整個結構。1.所加單位力必須是原結構所加單位力必須是原結構, 與所求位移對應的廣義力。與所求位移對應的廣義力。2.單位力系統的內力單位力系統的內力與載荷系統的內力坐標系必須一致。與載荷系統的內力坐標系必須一致。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法Solution:2)(2qxPxxMEIPlEIqlxxqxPxEIxEIxMxMyllB38d)(2( 1d )()( 3402 xxM)(PABlqxBAx 例例7.求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁B處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。1材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法

15、能量方法Solution: (1) AyB1111)( ,)(xxMPxxMaxMPaxM)( ,)(22ACPBalEI1EI21ACBx1x2x2x1202101112022210111d )(1d )(1d )()(d )()(xaPaEIxxPxEIxEIxMxMxEIxMxMylalaA22133EIlPaEIPa 例例8.求圖示剛架求圖示剛架A處的鉛垂位移處的鉛垂位移 和和B處截面轉角處截面轉角 。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法(2) Apply an unit couple at the point B:Segment AB:0)( ,)(111xMPxxM

16、Segment BC:1)( ,)(22xMPaxMACBACPBalEI1EI21ACBx1x2x2x12202d 1)(1EIPalxPaEIlB1x1x2材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法BARP1BARPP)cos1()( ),cos1()(RMPRMEIPREIPRREIMMAB3 0 23 0 3d)cos1(2d)()(2BAORPPddsdds 例例9.求圖示剛圈求圖示剛圈A.B處鉛垂方向的相對位移。處鉛垂方向的相對位移。材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法BACD12345111BACD12345BACD123452PlPl111FDFCyF

17、Cx 例例10.求圖示桁架求圖示桁架B 處的水平位移和處的水平位移和AD兩點的相對位移。兩點的相對位移。EAPlEAPlEAlNNiiiiBx828.3)12(251EAPlEAlNNiiiiAB251材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法編號iliNiNiiilNNiNiiilNNAB(1)AC(2)BD(3)CD(4)CB(5)00- 102l2121212100- Pl0Pl22P- 2PP0P2Pl2lllll 22Pl2Pl22Pl0Pl2Pl) 122(51iiiilNN列表求桁架載荷系統和兩種單位力系統各桿的軸力列表求桁架載荷系統和兩種單位力系統各桿的軸力;51ii

18、iilNN材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法例例11. 11. 求求C點的撓度和轉角。梁為等截面直梁。點的撓度和轉角。梁為等截面直梁。2)(2qxaqxxM ;(0)2( )(2) ;(2 )2xxaM xxaxaxa解：解：BAaaCqBAaaC0P =1x20( )( )( )( )dd aaCaM x M xM x M xfxxEIEI4524qaEI材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法求求C截面轉角截面轉角aaCxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC 1 ( )2xM xa 0 2)( :222qxqaxxMBC2( )2xM xaqBAaaCx2x1BAaaCM0=1材料力學材料力學 第十三章第十三章 能量方法能量方法例例12 12 拐桿如圖，拐桿如