1、12020年普通高等學校招生全國統一考試數學注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A=(x|1夾V3)B=(x|2x4，貝UAUB=丙場館安排3名，則不同的安排方法共有A.120種B.90種C.60種D.30種4.日唇是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂

2、直的唇針投射到唇面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日唇，若唇面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40，則唇針與點A處的水平面所成角為2.A.(x|2x3)C.(x|1x4)2i12iB.(x|2夾v3)D.(x|1xn0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B.若m=n0,則C是圓，其半徑為布C.若mn0,則C是兩條直線y=sin(3對4)的部分圖像，貝Usin(w對()=10.下圖是函數3413.斜率為右的直線過拋物線C:y2=4x的焦點，且與C交于A,B兩點，則|AB

3、=14.將數列(2nT 甬3n-2的公共項從小到大排列得到數列an,則an的前n項和為.15.某中學開展勞動實習， 學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BCDG,垂足為C,tan/ODC=3,BH/DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,5圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.16.已知直四棱柱ABCDAB1C1D1的棱長均為2,ZBAD=60。.以D1為球心，擊為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為四、解答題：本題共6小題，共70

4、分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。-TTA.sin(x)3Tt_一Tt、B.sin(2x)C.cos(2x-)D.cos(52x)611.已知a0,b0,且a+b=1,則A.a2b21B.2ab1C.log2alog2b22212.信息痼是信息論中的一個重要概念.設隨機變量XnP(XI)pi0(i1,2，川,n),pi1,定義X的信息痼H(X)所有可能的取值為1,2，川,n,Pi廚2Pi.i1A.若n=1，則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著0的增大而增大C若pi1(i1,2”|,n)，則H(X)隨著n的增大而增大D.若n=2m,隨機變量丫所有可能的取值為1,2，川,m，且P(

5、Yj)PjP2m1j(j1,2|,m)，貝UH(X)判Y)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。517. (10分)在ac龍，csinA3,c3b這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在ABC，它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinAJ3sinB,C-,?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18. (12分)已知公比大于1的等比數列an滿足a2a420,a38.(1)求an的通項公式；(2)記bm為莒在區間(0,m(mN*)中的項的個數，求數列bm的前100項和昂。.19. (12

6、分)為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的3PM2.5和SO2濃度(單位：舊/m),得下表：PM2.5、0,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估計事件該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;(2)根據所給數據，完成下面的22列聯表：SOSO2PM2.50,1500,150(150,4750,75(75,115(3)根據(2)中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關?62n(adbc)2附：K2,(ab

7、)(cd)(ac)(bd)(1)證明：I 平面PDC；P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形,20.PD底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為1.(2)已知PD=AD=1,Q為1上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.(12分)已知函數f(x)aex11nxIna.(1)當ae時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)a1,求a的取值范圍.22.(12分)2已知橢圓C:與aYy1(ab0)的離心率為，且過點A(2,1)-b22(1)求C的方

8、程:(2)點M,N在C上，且AMAN,ADMN,D為垂足.證明：存在定點Q,使得|DQ|為定值.20.解:7方案三：選條件.由C-和余弦定理得abab一c c- -藪62ab2參考答案、選擇題1.C2.D3.C4.B5.C6.B7.A8.D、選擇題12.AC三、填空題1613.314. 3n22n15.216.2四、解答題17.解:方案一:選條件.由C C和余弦定理得62,22abc2ab由sinAJ3sinB及正弦定理得aJ3b2曰3b正22lbc3(_廠 2，由此可得bc.由ac3，解得a.3,bc1.因此，選條件時問題中的三角形存在，此時方案二：選條件.由 CzCz 和余弦定理得abab

9、一c c- -匝6 62ab2由sinAJ3sinB及正弦定理得ab222曰3bbc3正-=-2，由此可礙bc,由csinA3,所以cb23,a6.因此，選條件時問題中的三角形存在，此時2.3-2.3-9.ACDBC10.11.ABD8由sinA夠sinB及正弦定理得a夠b-由cJ3b，與bc矛盾.因此，選條件時問題中的三角形不存在.18.解：(1)設an的公比為q.由題設得aq aq320,aq28.1.解礙q2(舍去)，q2.由題設得a12.所以an的通項公式為ann2.(2)由題設及(1)知b10,且當2nm2n1時，bmn.n.所以S00b(b2b3)(b4b5b6b7)|(b3213

10、3川底3)(b(b64b b65|“000)2301222324245256(10063)480.19.解：(1)根據抽查數據，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的大數為32186864,因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計值(2)根據抽查數據，可得22列聯表:、S:PM2.5、0,150(150,4750,756416(75,11510102(3)根據(2)的列聯表得K2(7.484.80207426于是2223bbc23b2由此可得b641000.64.20.解:9由于7.4846.635，故有99%的把握認

11、為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.10(1)因為PD底面ABCD，所以PDAD.又底面ABCD為正方形，所以ADDC，因此AD底面PDC.因為ADIIBC,AD平面PBC，所以ADII平面PBC.由已知得l/AD.因此l平面PDC.(2)以D為坐標原點，W 的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.由(1)可設Q(a,0,1)，則DQ(a,0,1).3la11.32a設所與平面QCD所成角為則湘T孑胃TV1E21.解:x11f(x)的正義域為(0,),f(x)ae-.x(1)當ae時，f(x)exlnx1,f(1)e1,曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線方程

12、為y(e1)(e1)(x1),即y(e1)x2.則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),(1,1,1).0,即DC0,axz0,0.因為3為-6.32a2a6,當且僅當3I時等號成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值(0,1,0),PB(x,y,z)是平面QCD的法向量，則可取所以1a、.3.1a220.解:11直線y(e1)x2在x軸，y軸上的截距分別為,2.e1一一，,2因此所求三角形的面積為.12(2)當0a1時，f(1)aIna1.當a1時，f(x)ex1Inx,f(x)ex1-.x當x(0,1)時，f(x)0;當x(1,)時，f(x)0.當

13、a1時，f(x)aex1InxInaex1Inx1.綜上，a的取值范圍是1,).22.解:_41由題設得21 1ab所以C的方程為丈丈1.63(2)設M(x1,y1),Ng,y2).24km2m6,心r12k212k2可得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240.2將代入上式可得(k21)26(kmk2)4km2(m1)240.12k12k整理得(2k3m1)(2km1)0.因為A(2,1)不在直線MN上，所以2km10,故2k3m10,k1.21于正MN的方程為yk(x-)(k1)33所以直線MN過點P(2,1).33若直線MN與x軸垂直，可得N(x,y1).由AMAN0得(x2)(x12)(y11)(y11)0.22又a_YL1可得3x18XI40.解得x所以當x1時，f(x)取得最小值，最小值為f(1)1,從而f(x)1.若直線MN與x軸不垂直，設直線MN的方程為yk