1、第二章第二章 連續系統的時域分析連續系統的時域分析時域分析方法：時域分析方法：即對于給定的激勵，由系統的數即對于給定的激勵，由系統的數學模型（微分方程）求得其響應的方法。學模型（微分方程）求得其響應的方法。由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故稱為故稱為時域分析法時域分析法。本章主要內容本章主要內容2.1 LTI連續系統的響應連續系統的響應2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應2.3 卷積積分卷積積分2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質2.1 LTI連續系統的響應連續系統的響應一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解二、關于二、關于0 0- -

2、和和0 0+ +值值三、零輸入響應三、零輸入響應四、零狀態響應四、零狀態響應五、全響應五、全響應 其經典解：其經典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解）特解） 齊次解齊次解是齊次微分方程：是齊次微分方程： y(n) (t) +an-1y(n-1) (t) + a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。的解。 齊次解齊次解yh(t)的函數形式的函數形式由上述微分方程的由上述微分方程的特特 征根征根確定。特解的函數形式與激勵有關。確定。特解的函數形式與激勵有關。 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y

3、 (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解解解: (1) 特征方程為特征方程為2 + 5+ 6 = 0 其特征根：其特征根： 1= 2，2= 3。齊次解為：。齊次解為：yh(t) = C1e 2t + C2e3t 因為因為f(t) = 2e t，故其特解可設為：，故其特解可設為：yp(t) = Pe t 將其代入微分方程得將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得P=1 于是特解為于是特解為yp(t) = e t例（例（p40）描述某系

4、統的微分方程為：描述某系統的微分方程為： y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)，求：求： （1）當）當f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1時的全解；時的全解； （2）當）當f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。時的全解。其中待定常數其中待定常數C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1解得解得C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0全解為：全解為：y(t) = yh(t) + y

5、p(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t自由響應強迫響應 解：齊次解同上。由于解：齊次解同上。由于f(t)=e2t，其指數與特征根之，其指數與特征根之一相重。故其特解可設為一相重。故其特解可設為yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得P1e-2t = e2t 所以所以P1= 1 但但P0不能求得。全解為不能求得。全解為 y (t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t= (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 將初始條件代入，得將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C

6、1+P0) 3C2+1=0 解得解得C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0注：上式第一項的系數注：上式第一項的系數C1+P0= 2，不能區分，不能區分C1和和P0，因而也不能區分自由響應和強迫響應。因而也不能區分自由響應和強迫響應。（2）當）當f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。時的全解。二、關于二、關于0-和和0+值值在在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反反映了映了系統的歷史情況系統的歷史情況而與激勵無關。稱這些值

7、為而與激勵無關。稱這些值為初始狀態初始狀態。為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態y(j)(0-)設法求得設法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。下列舉例說明。若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時接入系統，則確定待定系數時接入系統，則確定待定系數Ci時用時用t = 0+時刻的時刻的初始值初始值，即：，即：y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。解：將輸入解：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 由于上式對于所有由于上式對于所有t都成立，等號兩端都成立

8、，等號兩端(t)項的系項的系數應相等。由于等號右端為數應相等。由于等號右端為2(t)，故，故y”(t)應包含應包含沖激函數，從而沖激函數，從而y(t)在在t= 0處將發生躍變，處將發生躍變， 即即y(0+)y(0-)。但。但y(t)不含沖激函數，否則不含沖激函數，否則y”(t)將含有將含有(t)項。由于項。由于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0處是連續的。故處是連續的。故y(0+) = y(0-) = 2例：描述某系統的微分方程為：例：描述某系統的微分方程為： y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0

9、，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。由于積分在無窮小區間由于積分在無窮小區間0-，0+進行的，且進行的，且y(t)在在t=0連續，故連續，故對式對式(1)兩端積分有兩端積分有于是由上式得于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2因為因為y(0+) = y(0-)=2 ，所以，所以y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可見，由上可見，當微分方程等號右端含有沖激函數（及其各階導數）當微分方程等號右端含有沖激函數（及其各階導數）時，響應時，響應y(t)及其各階導數中，有些在及其各階導數中，有些在t=0處將發生躍變。

10、但如果處將發生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變右端不含時，則不會躍變。三、零輸入響應三、零輸入響應y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。零輸入響應，對應的輸入為零，所以方程為零輸入響應，對應的輸入為零，所以方程為y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)0若其特征根都為單根，則零輸入響應為：若其特征根都為單根，則零輸入響應為：njtzijzijeCty1)(由于激勵為零，故有由于激勵為零，故有yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)四、零狀態響應四、零狀態響應方程仍為方程仍為

11、 y (n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t) 對于對于零狀態響應零狀態響應，在，在t=0-時刻激勵尚未接入，故時刻激勵尚未接入，故應有應有yzs(j)(0-)=0； 若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態響應為：若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態響應為：)()(1tyeCtyptnjzsjzsCzsj 為待定系數，為待定系數，yp(t)為方程的特解為方程的特解解：解：（1）零輸入響應零輸入響應yzi(t) 滿足滿足yzi”(t)

12、+ 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 該齊次方程的特征根為該齊次方程的特征根為1， 2，故，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解得系數為代入初始值并解得系數為Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入，代入 得得yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0例例：描述某系統的微分方程為：描述某系統的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該

13、系統的。求該系統的 零輸入響應和零狀態響應。零輸入響應和零狀態響應。注意此時系數注意此時系數C的求法！的求法！ yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等號右端含有由于上式等號右端含有(t)，故，故yzs”(t)含有含有(t)，從，從 而而yzs(t)躍變，即躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs(t)在在t = 0 連續，即連續，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得：，積分得：（2）零狀態響應零狀態響應yzs(t) 滿足：滿足： 因此因此，yzs(0+)= 2

14、 yzs(0-)=2 對對t0時，有時，有yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 齊次解為齊次解為Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數，其特解為常數3， 于是有于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得代入初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0五、全響應五、全響應 如果系統的初始狀態不為零，在激勵如果系統的初始狀態不為零，在激勵f(t)的作的作用下，用下，LTI系統的響應稱為全響應，它是零輸入系統的響應稱為全響應，它是零輸入響應與零狀態響應之和，即響應與零狀態響應之和，即 y(t)=yzi(t

15、)+yzs(t) 零狀態響應零輸入響應強迫響應自由響應)()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj 雖然自由響應和零輸入響應都是齊次方程的解，雖然自由響應和零輸入響應都是齊次方程的解，但兩者的系數各不相同，但兩者的系數各不相同，c czijzij僅由系統的初始僅由系統的初始狀態所決定，而狀態所決定，而c cj j由系統的初始狀態和激勵信由系統的初始狀態和激勵信號共同來確定。號共同來確定。 也就是說，自由響應包含零輸入響應的全部和也就是說，自由響應包含零輸入響應的全部和零狀態響應的一部分。零狀態響應的一部分。討論2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應

16、一、沖激響應一、沖激響應 由單位沖激函數由單位沖激函數(t)所引起的零狀態響應稱所引起的零狀態響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)。 h(t)=T0,(t) x(0)=0沖激響應示意圖沖激響應示意圖 例例1 描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其沖激響應求其沖激響應h(t)。解：根據解：根據h(t)的定義有的定義有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數平衡法。

17、，故利用系數平衡法。 h”(t) 中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續，即連續，即h(0+)=h(0-)。積分得：。積分得：對對t0時，有時，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統的沖激響應為一齊次解。故系統的沖激響應為一齊次解。 微分方程的特征根為微分方程的特征根為-2，-3。故系統的沖激響應為。故系統的沖激響應為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t) 代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t)考慮考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得：，由上式

18、可得： h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1二、階躍響應二、階躍響應階躍響應示意圖階躍響應示意圖 階躍響應是激勵為單位階躍函數階躍響應是激勵為單位階躍函數 (t)(t)時，時，系統的零狀態響應，如下圖所示。系統的零狀態響應，如下圖所示。線性非時變系統g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示階躍響應表示階躍響應 1. 如果描述系統的微分方程為：如果描述系統的微分方程為：y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= f(t) （1） 當當f(t)= (t)時，有時，有01)(a

19、tgp式（式（1 1）的特解為）的特解為) 1 ()()()()()(01)1(1)(ttgatgatgatgnnn其初始值為其初始值為: :0)0()0( )0()0()2()1(ggggnn注：注：除g(n)(t)外？ y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征根若微分方程的特征根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均為均為單根，則系統的階躍響應的一般形式單根，則系統的階躍響應的一般形式(nm)(nm)為為 )()1()(01taectgnitii

20、2.若若描述系統的微分方程為：描述系統的微分方程為：可根據可根據LTILTI系統的線性性質和微積分特性系統的線性性質和微積分特性求出階躍響應。求出階躍響應。dttdt)()(tdxxt)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()(三、沖激響應和階躍響應的關系三、沖激響應和階躍響應的關系解：設圖中右端積分器的輸出為解：設圖中右端積分器的輸出為x(t)，則其輸入，則其輸入 為為x(t)，左端積分器的輸入為，左端積分器的輸入為x(t)。左端加。左端加 法器的輸出為法器的輸出為 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t) 即即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)例例2.2-3

21、2.2-3 如圖所示的如圖所示的LTILTI系統，求其階躍響應系統，求其階躍響應 y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)右端加法器的輸出為右端加法器的輸出為 y(t)=- x(t)+2 x(t) x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t); （1） y(t)=- x(t)+2 x(t) （2）若設（若設（1）式所述系統的階躍響應為）式所述系統的階躍響應為gx(t),則有則有 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)gx(t)滿足方程滿足方程 gx(t) +3 gx(t)+2 gx(t) (t) gx(0_) = gx (0_) =0其特征根其特征根 11；

22、22，其特解為，其特解為0.5，于是得于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5) (t) 初始值為初始值為gx(0) = gx(0) =0，代入上式得，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0; gx(0) =-C1-2C2=0解得解得 C1-1；C20.5所以，所以， gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5) (t) 求出求出 gx(t)，代入，代入g(t)=- gx(t)+2 gx(t)得得 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1) (t) 另法：也可以先求另法：也可以先求h(t)，再對其積分得到，再對其積分得到g(t)2.3 卷積積分

23、卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1 .信號的時域分解信號的時域分解(1) 預備知識預備知識 問f1(t) = ? p(t) “0”號脈沖高度號脈沖高度f(0) ,寬度為寬度為， 用用p(t)表示為：表示為：f(0) p(t) “1”號脈沖高度號脈沖高度f() ,寬度為寬度為 ，用，用p(t - )表示為：表示為： f() p(t - ) “-1”號脈沖高度號脈沖高度f(-) 、寬度為、寬度為，用，用p(t +)表表示為：示為： f ( - ) p(t + )(2) (2) 任意信號分解任意信號分解nntpnftf)()()(dtftftf)()()()(lim0

24、2 .任意信號作用下的零狀態響應任意信號作用下的零狀態響應根據根據h(t)h(t)的定義：的定義： (t) h(t)由時不變性：由時不變性： (t -) h(t -)由齊次性：由齊次性：f ()(t -) f () h(t -)由疊加性：由疊加性：3 .卷積積分的定義卷積積分的定義 已知定義在區間（已知定義在區間（ ，）上的兩個函數）上的兩個函數f1(t)和和f2(t)，則定義積分，則定義積分為為f1(t)與與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為的卷積積分，簡稱卷積；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量注意：積分是在虛設的變量下進行的，下進行的，為積分為積分變量，變

25、量，t為參變量。結果仍為為參變量。結果仍為t 的函數。的函數。)(*)()()()(thtfdthftyzs解：解： yzs(t) = f (t) * h(t)例例：f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t 1)(t)， 求求yzs(t)。當當t t時，時，(t -) = 0習題（習題（p81 2.17p81 2.17）tttedetftf02221)() 1(21)()(tttttttededeetftf0202)(2221)(1)()()()()() 1()()(320303)( 3221teeteedeedeetftftttttttt（2 2）（3 3）（4 4）)(

26、)(. 2 hh反折)(. 3th位移4.相乘相乘5.積分積分 求函數求函數 的面積。的面積。)()( thf)()( thfdthfthtftyzs)()()()()()()(),()(hthftf求響應，必須：求響應，必須：1.換元（換元（t)二、卷積的圖示二、卷積的圖示例例1：兩個時限信號的卷積：兩個時限信號的卷積解：解：1.1.變量替換變量替換2.2.反轉反轉3.3.平移平移4.4.分段相乘積分分段相乘積分0)()(221tftft時：（1 1）)2(23)432()()(02221tdtftftt時：（2 2）3)432()()(20221dtftfttt時：（3 3）)4(23)4

27、32()()(422221tdtftftt時：（4 4）0)()(421tftft時：（5 5）（6 6）11t0)(tf130.5t)(th0110)(f130.5)(h0解：解：)()()()(),(2thtftythtfzs波形如圖，求：已知例-1-30.5)(h0-1+t-3+t0.5)(th0(1)當當-1+t0即即t1時，時，-1+t-3+t)(th011)(fyzs(t)=0移動距離移動距離 t前沿坐標前沿坐標-1+t兩函數兩函數無無公共的非零區域公共的非零區域)(th011)(f-3+t-1+t時，即當21110)2(tt) 1(5 . 05 . 01)()()(1010tdd

28、thftyttzs-3+t-1+t時，即且當320311)3(ttt5 . 05 . 01)()()(1010ddthftyzs)(th011)(f-3+t-1+t時，即當43130)4(tt)4(5 . 05 . 01)()()(1313tddthftyttzs-3+t-1+t時，即當413)5(tt0)(tyzs)(th011)(f)(th011)(f4043)4(5 . 0325 . 021) 1(5 . 010)(ttttttttyzs將上述結果整理得：0.51 2 3 4120t)(tf解：解：(1)當當t0時時 1t0)(th10)(th)(f2tyzs(t)=0)()()(),(

29、)(),2()(sin)(thtftytethttttfzst求例：設01)(th)(f2時當20)2( t)cos(sin21sinsin)()()(00)(0ttttttzsettdeededthfty01)(th)(f2時當2)3(t)1 (21sin)()()(220)(20eededthftyttzstt一、一、 卷積的代數運算卷積的代數運算(1)交換律交換律)()()()(tfththtfx t ( )h t ( )y t ( )(tfh t ( )y t ( )如，輸入和沖激響應的函數表達式互換如，輸入和沖激響應的函數表達式互換位置，則零狀態響應不變。位置，則零狀態響應不變。卷積積分的性質卷積積分的性質(2)分配律分配律)()()()()()()(2121thtfthtfththtf兩個子系統并聯兩個子系統并聯)(1th)(2th)(tf)()()()(21ththtfty)()(1thtf)()(2thtf)()(21thth)(ty)(tf兩次卷積運算是二重積分，變換積分次序兩