1、精選優質文檔-傾情為你奉上第八章 SOLOW經濟增長模型 一、經濟增長理論： 在世界各地，生活水平差異之大幾乎令人難以理解。生活水平的這些差異對人的福利有著重要的含義。實際收入在國家間的差異與營養、教育程度、嬰兒死亡率、預期壽命，以及其他福利指標的差異密切相關。與宏觀經濟學在傳統上著重考慮的短期波動的各種可能后果相比，長期增長的福利后果更為重要。如在一次一般的衰退中，人均實際收入僅比正常值低幾個的百分點。而在20年間生產率增長每放慢1個百分點，就會使人們的收入水平降低20%以上。 如果印度的人均實際收入以平均年增長率1.3%增長下去，要花200年才能達到美國目前的水平。如果以平均年增長率3%增

2、長下去，這一過程所需時間不到100年，而如果以平均年增長率5.5%增長下去，所花時間只需50年左右。正如羅伯特.盧卡斯（1988）所說“一旦一個人開始思考（經濟增長問題），他就不會再考慮其他任何問題。 二、模型的基本假定： 1、投入與產出的假定： SOLOW模型包含四個變量：產量（Y），資本（K），勞動（L）和知識或勞動的有效性（A）。在任一時間，經濟中有一定量的資本、勞動和知識，而這些被結合起來生產產品。生產函數的一般形式為： Y(t)=F(K(t),A(t)L(t) (8-1) 其中：t表示時間。 生產函數有兩個特點： （1）時間并不直接進入生產函數，只是通過是K，L和A的函數而進入。只有

3、在生產投入變化時，產量才隨時間而變化。 （2）A和L以相乘的形式進入生產函數，AL稱為有效勞動，以這種形式引入的技術進步稱為勞動增進型或哈羅德中性的。對A的這種進入生產函數的設定方式，與該模型的其他假定一起，將意味著資本-產量比K/Y最終將穩定下來。 2、關于生產函數的假定： 生產函數對于其兩個自變量資本和有效勞動是規模報酬不變的。這意味著生產函數中對兩個自變量同乘以任意非負常數，將使產量同比例變動： F(cK,cAL)=cF(K,AL) （8-2） 對所有的c=0都成立。 規模報酬不變的假定可以分解成以下兩個假定： （1）經濟足夠大，從而不可能再從專業化分工中得到收益和好處。 （2）資本、勞

4、動和知識以外的投入品是相對不重要的，因而可以忽略土地和其他自然資源對經濟帶來的收益。 由規模報酬不變的假定，可以得到密集形式的生產函數，在方程8-2中，令c=1/AL,得： F(K/AL,1)=(1/AL)F(K,AL) （8-3） 式中:K/AL定義為每單位有效勞動的平均資本數量,即每單位有效勞動的平均資本量。而(1/AL)F(K,AL)就是Y/AL，即為每單位有效勞動的平均產量。定義k=K/AL,y=Y/AL, f(k)=F(k,1)。則可將8-3改寫為： y=f(k) （8-4） 經濟學意義：每單位有效勞動的平均產量可以表示成每單位有效勞動的平均資本量的函數。 根據以上關系，一個經濟的總

5、產出量，可以表示成該平均產量乘以有效勞動量的形式，有：Y=ALf(k)。 假定密集型式的生產函數f(k)滿足f(0)=0，f(k)0, f”(k)0。f(k)的經濟學意義：由于F（K，AL）=ALf(K/AL)在總產出函數中對資本K求偏導數，得：上式說明f(k)就是資本的邊際收益產品，即每增加一個單位的資本要素的使用量所引起的總產量的增量。f”(k)為資本邊際收益產品的變化率。當f”(k)0, f”(.)0三、索洛模型的動態學1、單位有效勞動的平均資本存量k的動態學。k=K/ALk對t求導數： （8-11）由于k=K/AL,將這些表達式與8-10式代入8-11式，可得： （8-12）由于Y/A

6、L=f(k),代入8-12式得： （8-13）方程8-13為索洛模型的資本積累方程。它表明每單位有效勞動的平均資本存量的變動率是兩項之差。第一項sf(k)是每單位有效勞動的平均實際投資：每單位有效勞動的平均產量為f(k)，s為單位有效勞動的平均儲蓄率，也就是該產量中用于投資的比例為s。第二項（n+g+）k稱為持平投資，即是使得k保持在其現有水平上所必須的投資量。如果式中第一項的實際投資小于第二項的持平投資，單位有效勞動的平均資本k就會下降。為了防止單位有效勞動的平均資本k下降，必須進行一些投資。其原因有二：第一，現有資本存在著折舊問題：這部分資本必須予以補足，以防止資本存量的下降。這就是8-1

7、3式中的k這一項。第二，有效勞動的數量是增長的。這樣恰好足以使得資本存量K不變投資并不足以保持每單位有效勞動的平均資本存量k不變。相反，由于有效勞動的數量以n+g增長，資本存量也必須以n+g增長以保持k的穩定。資本積累方程也可以表述為：資本深化=單位有效勞動的平均投資-持平投資如圖所示：如果每單位有效勞動的平均實際投資大于所需的持平投資，則k上升。反之如果每單位有效勞動的實際投資低于所需的持平投資，則k下降。當二者相等時，則k將會保持不變。由于f(0)=0，因此，當k=0時，實際投資與持平投資相等。稻田條件意味著當k=0時，f(k)很大,因而曲線sf(k)的斜率陡峭于直線（n+g+）k的斜率.

8、這樣,如果k值較小.則實際投資大于持平投資。稻田條件也意味著隨著k的變大，f(k)將越來越趨于水平直線的極限值，這時f(k)趨向于0。必然有在某一點上，實際投資線的斜率將低于持平投資線的斜率。這兩條曲線終將相交。由于f”(k)0時.這兩條直線只相交一次.用k*表示當實際投資與持平投資相等時的k值。2、穩態平衡經濟增長路徑穩態平衡經濟增長是指經濟在長期增長中的一種均衡狀態，當經濟達到這一狀態時，每個單位有效勞動所占有的資本達到了一個均衡值并將繼續保持這種均衡水平不變。即：k*=常數，dk/dt=0。從前面的分析可知，這正是實際投資曲線與持平投資曲線的交點k*。在穩態平衡系統中，k總是向k*收斂，

9、那么當處于穩態平衡（k=k*）時，該模型的各變量將如何變動？按假定：勞動和知識分別以速率n和g增長。資本存量K=AL k；由于k在k*處是穩定不變的，因此對資本求導經過處理之后得： （8-14）這說明資本K和有效勞動AL均以速率（n+g）增長。根據規模報酬不變的假定，產量Y也會以這一速率增長。對人均資本量K/L和對人均產出量Y/L求導數并求出他們各自的增長率，可以證明在該經濟中，每個工人平均資本K/L和每個工人的平均產量Y/L以g的比例增長。結論：不管在經濟中初始點處于什么位置，經濟都會向穩態平衡增長路徑收斂，在穩態平衡增長路徑上，該模型中的每個變量的增長率都是常數。每個工人的平均資本量的增長

10、率和平均產量的增長率僅僅取決于該經濟社會的技術進步率。四、儲蓄率變化對一國經濟的影響：考慮一個處于穩態平衡增長路徑上的索洛模型，并假定社會儲蓄率s有一個永久性的增加。除了表明該模型中儲蓄的作用外，這一研究還將表明當經濟不在穩態平衡增長路徑上時該模型的特性。1、社會儲蓄率的增加對產量的影響：如圖：社會儲蓄率的增加，使實際投資曲線向上移動，這使k1*上升到k2*，開始時單位有效勞動的平均資本量k處于k1*處，在這一水平上，實際投資超過了持平投資，因此，。這使k開始上升。一直上升到k2*水平，在這一水平上實際投資等于持平投資，它將保持在新的均衡位置上不變。考慮人均產量Y/L的變動：。若k不變，則人均

11、產量以速率g增長，g為技術進步A的增長率。若單位有效勞動的平均資本量k遞增，則人均產量同時由于A和k的增長而增長。這時其增長率超過g，然而，如果k達到新的k2*值時，又只有技術進步A的增長對人均產量的增長有貢獻，則人均產量的增長率又回到了技術進步增長率g了。結論1：儲蓄率的一個永久性增加使人均產量增長率出現暫時性的增加，人均有效勞動產量在一定時期內上升，但最終將增加到一個新的穩態平衡位置上的新的水平k2*，在這一水平上所增加的儲蓄被全部用于維持人均資本k的較高水平的資本補償。結論2：儲蓄率的變化有水平效應，但沒有增長效應：它改變了經濟的穩態增長路徑，因而改變任一時點上人均產量水平，但并不影響處

12、于穩態平衡增長路徑時人均產量的增長率。結論3：在索洛模型中只有技術進步率的變化有增長效應，其他所有變化都只有水平效應。所謂水平效應是指該因素可以改變單位有效勞動的平均資本量，使之達到與新的穩態均衡相匹配的水平，但不能對經濟增長率產生任何影響。2、社會儲蓄率的增加對消費的影響：現在將家庭引入模型，其家庭福利將取決于消費，而非產量，投資只是未來生產中的一種投入品。因此在許多情況下，我們更關心消費變動而非產量的變動。在任何時候，一個經濟社會要想獲得福利最大化，就必須盡可能地使家庭福利最大化。因此能夠滿足家庭消費最大化的社會儲蓄率就被稱為滿足消費黃金率時的社會儲蓄率。每單位有效勞動的平均消費等于每單位

13、有效勞動的平均產量乘以該產量中的消費比例（1-s），可以表示成。 （8-15）令c*為處于穩態平衡路徑k*上的每單位有效勞動的平均消費。顯然：。在穩態平衡路徑上，實際投資等于持平投資，有： （8-16）由于k決定于s和該模型中的其他參數n、g和；因此可以將k寫成：。對8-16式中的人均消費對人均儲蓄率求偏導數，可得： （8-17）社會儲蓄率s的增加會提高每單位有效勞動的平均資本k*,因此，社會儲蓄率s的增加能否在長期提高消費，取決于資本的邊際收益產品是大于還是小于。直觀地看，如果單位有效勞動的平均資本k的這種上升得以維持，每單位有效勞動的平均投資必須上升的變化量。令：，可獲得在一定人均產量下的

14、最大消費的條件是：如果 ，則從增加的資本上獲得的增加的產量不足以將人均有效資本存量維持在其較高的水平上，這時，消費必須下降，以維持較高的資本存量。如果 ，則從增加的資本上獲得的增加的產量大于將人均有效資本存量維持在其較高的水平上，這時，消費必然上升。如果從圖上來看：為單位有效平均產量曲線上相應點上的切線的斜率值，（）則是持平投資線的斜率值。當時的社會平均儲蓄率s被稱為黃金率的儲蓄率，相應的單位有效資本存量水平叫做滿足消費黃金率的資本存量，它滿足資本存量的邊際生產率等于持平投資增長率。滿足黃金率的儲蓄率也可以通過均衡條件得到：由于 所以： ，將和代入可得： （8-18）8-18式即為滿足消費黃金

15、率時的儲蓄率，這時的消費能夠滿足使資本存量的邊際生產率等于持平投資的增長率，并使消費達到最大化。由于家庭的福利取決于消費，滿足黃金率的儲蓄率意味著使家庭福利達到最大化。五、儲蓄率的定量分析1、儲蓄率上升對產量的長期影響：儲蓄率上升對產量的長期影響為： （8-19）其中：為處于穩態平衡增長路徑上的每單位有效勞動的平均產量水平。這樣，要得到，我們需要得到。為此，注意k*是在這一條件下定義的；因此k*需要滿足下面的方程： （8-20）方程8-20對所有的s值以及所有的n,g和值都成立，因此在方程8-20中的兩端對s求導數也必然相等。 （8-21）其中為了簡單起見，省略了k*的自變量。整理8-21式，

16、可得： （8-22）將8-22式代入8-19式，得： （8-23）首先對式8-23兩邊同乘以，從而把它轉化為產量變動對儲蓄變動的彈性形式，稱為產量的儲蓄彈性。所謂產量的儲蓄彈性是指當社會儲蓄率變動百分之一時，對該經濟人均產量的影響狀況。 （8-24）式中：為處的產出的資本彈性。把它用來表示，有： （8-25）如果市場是競爭性的，且無外部性，那么，資本將獲得其邊際收益產品。在此情況下，在穩態平衡增長路徑上，每單位有效勞動的平均資本獲得的總收入為。這樣，在穩態平衡增長路徑上資本收入占總收入的份額為，或。在大多數國家，資本收入所占份額大約為1/3。如果把它作為對的一個估計值，可知在長期，產出的儲蓄率

17、彈性大約為1/2。這樣，如果儲蓄率增加10%，將會使人均產量在長期內提高大約5%。即使儲蓄率增加50%，也僅使人均產量增加大約22%。這樣來看，儲蓄率的顯著變化對于穩態平衡增長路徑上的產量水平只有較小的影響。直觀地說，當值較小時，儲蓄對產量的影響之所以較小，其原因有兩個：第一，它表明實際投資曲線彎曲得相當厲害；其結果，該曲線上移使其與持平投資線的交點只發生較小的移動。因而s的變化對k*的影響較小。第二，小的值意味著k*的變化對人均產量的影響較小。2、收斂速度：我們主要考察k以多快的速度趨近于k*的。由8-13式可知，決定于k，可以寫出：。如果等于，在處對作一階泰勒級數近似，可得： （8-26）

18、這一式子表明，近似等于與之差與處對的導數值的乘積。在式8-13中對求導，并對所得到的表達式在處賦值，得：= （8-27）將8-27代入8-26，得： （8-28）方程8-28表明，在平衡增長路徑的鄰近，每單位有效勞動的平均資本向收斂的速度和它與的距離成比例。也就是說，如果令和8-28式可以寫成：，這就是說：的增長率為常數且等于-。的路徑因而為：，其中為的初始值。用表示，這就成為： （8-29）可以證明，趨近于的速度與趨近于的速度相同。有。我們可以通過8-29作一校準試驗，看看經濟實際上以多快的速度趨近于其平衡增長路徑。一般為每年6%（比如人口增長率為1%-2%，人均產量增長1%-2%，折舊率為

19、3%-4%）。若資本的收入份額大致為1/3，則大致為4%。因此，和每年向和移動剩余距離的4%，要走完到其平衡增長路徑距離的一半大約需要18年時間。因此在本例中，如果儲蓄率增加10%，那么在1年后產量高于其以前路徑0.04*(5%)=0.2%;18年后高出0.5*(5%)=2.5%；且此比例趨近于5%。這樣不僅儲蓄率變化較大時的總體影響較小，而且其作用的出現也不很快。以我國為例，設一般為每年12%（假設人口增長率為2%（實際上我國并未實現充分就業，人口增長要明顯小于勞動供給的增長率，估計可以為3%-4%），人均產量增長5%-6%，折舊率為3%-4%）。若資本的收入份額大致為1/3，則大致為8%。因此，和每年向和移動剩余距離的8%，要走完到其平衡增長路徑距離的一半大約需要9年時間。因此在本例中，如果儲蓄率增加10%，那么在1年后產量高于其以前路徑0.08*(5%)=0.4%。這個比例超過美國近1倍，我們只用9年時間就可以完成美國用18年才能走完的路。這就是中國經濟增長的源動力。在上面的例子中，若資本的收入份額增加到1/2，在其他條件不變時，大致為6%。這意味著和每年向和移動剩余距離的6%，這個增長率要比資本的收入份額為1/3時的增長率要慢2個百分點，這說明一個國家要保持合理的資本收入份額，超過資本收入的合理份額和