第四章第三節(jié)向量組的秩_第1頁
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第四章第三節(jié)向量組的秩_第3頁
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1、第三節(jié) 向量組的秩一、基本概念1、向量組等價設(shè) A :a1,a2 ,L,am ; B : b1,b2 ,L,bn個向量組，若為兩ìa1= k11b1 + k12b2+L+ k1nbn ,ïa = k b + kb +L+ kb ,ï22112222nní（1）ïLîïam= km1b1 + km 2b2+L+ kmnbn稱向量組 A若可由向量組 B線性表示；ìb1= l11a1 + l12a2+L+ l1mam ,ïb = l a + la +L+ la ,ï22112222mmí（2

2、）ïLïîbn= ln1a1+ ln 2a2+L+ lnmam稱向量組 B 可由向量組 A線性表示。若（1）（2）都成立，稱兩個向量組等價。2、向量組的極大線性無關(guān)組設(shè)A :a1 ,a2 ,L,an為向 量組，若（1） 存在 r 個向量線性無關(guān)；（2） 任意 r +1個向量（如果有）一定線性相關(guān)，稱 r 個線性無關(guān)的向量為向量組 A的極大線性無關(guān)組，r稱為向量組的秩。3、矩陣的行秩與列秩設(shè) A 為m ´ n矩陣，令æ a1öça ÷A = ç÷ = (b,b ,L,b )2Mç

3、7;12nç÷èam ø稱a1 ,a2 ,L,am為矩陣A 的行向量組，其秩稱為矩陣的行秩；稱b1,b2 ,L,bn 為矩陣 稱為矩陣的列秩。A的列向量組，其秩【注解】（1） 極大線性無關(guān)組不一定唯一。（2） 向量組a1,a2 ,L,an 線性無關(guān)的充分必要條件是a1 ,a2 ,L,an 的秩等于n ；a1,a2 ,L,an 線性相關(guān)的充分必要條件是a1,a2 ,L,an的秩小于 n 。（3）設(shè)A :a1 ,a2 ,L,am ; A :a1 ,a2 ,L,am , b ,則情形一：向量組 A 與向量組 A 的秩相等的充分必要條件是向量b 可由向量組a1,a2 ,L,an 線性表示。情形二：向量組 A的秩與向量組 A 的秩不等的充分必要條件是向量b 不可由向量組a1,a2 ,L,an 線性表示。（4）設(shè)A 為m ´ n 矩陣，B 為n ´ s矩陣，且B = (b1,L,bs ) ，則AB = A(b1,L,bs ) = ( Ab1, Ab2 ,L, Abs ) 。二、性質(zhì)性質(zhì)1矩陣的秩、矩陣的行向量組的秩、矩陣的列向量組的秩相等。設(shè)A :a1 ,a2 ,L,am；B : b1 ,b2 ,L

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