1、模塊一：基本輔助線1 .如圖，已知 AC=BD,ADL AC,BC BD 求證：AD=BC.精選2 . 如圖，AB=AE,/ABC4 AED,BC=ED點(diǎn) F 是 CD 的中點(diǎn)，（1）求證：AF CD.（2）在你連接BE后，還能得出什么新的結(jié)論？請(qǐng)寫出三個(gè)（不要求證明）3 . 如圖，/ B=Z E,/C=/ D,BC=DE,Ml CD中點(diǎn)，求證： AML CD.4 .如圖，平面上有一邊長(zhǎng)為 2的正方形ABCD。為對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形 OEFG勺頂點(diǎn)與O重合，OE 0的別與正方形 ABCM邊交于 M N兩點(diǎn).如圖（1）,當(dāng)OELAB時(shí)，四邊形 OMBN勺面積為如圖（2）,當(dāng)正方形 OEF磷點(diǎn)。旋

2、轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形 OMBN勺面積會(huì)發(fā)生變化嗎？試證明你的結(jié)論.5 .如圖所示，在 ABC中，AB=AC ,在AB上取一點(diǎn) E,在AC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) F,使BE=CF , EF 交 BC 于 G.求證：EG=FG 。6 .如圖，在 ABC中，AB=AC E在線段 AC上，D在AB的延長(zhǎng)線，連 DE交BC于F,過點(diǎn)E 作 EG! BC于 G. (1)若/ A=50 , / D=30 ,求/ GEF的度數(shù)；(2)若 BD=CE 求證：FG =BF+CG模塊二：母子型1已知：如圖，點(diǎn) C為線段AB上一點(diǎn)，ACM, ACBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn) 巳 BM交CN于點(diǎn)F.求證：AN=BM;(2)求證：

3、4CEF為等邊三角形7 .如圖，已知，等腰 RtOAB 中，/ AOB=90,等腰 RtEOF 中，/ EOF=90 ,連結(jié) AE、BF。求證：(1) AE=BF ; (2) AEXBFo3.如圖1,若四邊形ABCD四邊形GFE商是正方形，顯然圖中有 AG=CE AGL CE;圖1圖2圖3(1)當(dāng)正方形 GFEDg D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AG=CE否成立？若成立，請(qǐng)給出證明; 若不成立，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)正方形 GFEDg D旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，延長(zhǎng) CE交AG于H,交AD于M求證：AGL CH當(dāng)AD=4 DG=J2時(shí)，求CH的長(zhǎng).4 .如圖，已知 ABD AECIB是等邊三角形， AF

4、 CD于點(diǎn)F, AHL BE于點(diǎn)H,問：(1) BE 與CD有何數(shù)量關(guān)系？為什么？ ( 2) AF、AH有何數(shù)量關(guān)系？為什么？5 .已知：如圖所示，在 ABC和4ADE 中，AB=AC AD=AE / BAC=Z DAE 且點(diǎn) B, A, D 在一條直線上，連接 BE, CD M, N分別為BE, CD的中點(diǎn).(1)求證：BE=CD AMN等腰三角形；(2)在圖的基石上，將 ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180 ,其他條件不變，得到圖 所示的圖形.請(qǐng)直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；ED交線段BC于點(diǎn)P.求證： PBW AMN(3)在(2)的條件下，請(qǐng)你在圖中延長(zhǎng)6 . (2009?豐臺(tái)區(qū)

5、一模)如圖 1,在 ABC中，/ACB為銳角，點(diǎn) D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF(1)如果 AB=AC / BAC=90 ,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖2,線段CF BD所在直線的位置關(guān)系為 : 線段CF BD的數(shù)量關(guān)系為;當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 3,中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；一|(2)如果ABw AC, /BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)/ACB蔭足什么條件時(shí)，CF BC(點(diǎn) C F不重合)，并說明理由.模塊三倍長(zhǎng)中線(1)倍長(zhǎng)中線(2)倍長(zhǎng)類中線1.已知：如圖， ABC中,AD平分/ BAC 且 BD=CD 求證

6、：AB=AC1一一 1 一一2 .已知，如圖 ABC中，ACABAM是BC邊上的中線，求證：(AC-AB) vAMk (AB+AC).22B M C3 .如圖所示，已知 ABC中，AD平分/BAC,E,F分別在BD,AD上，DE=CD,EF=AC,t證:EF/AB.A4 .如圖，AD是4ABC的中線，E、F分別在 AR AC上，且 DEL DF求證：BE+CF EF.5 .如圖，已知在 ABC中，AB=AC CE是AB邊上的中線，延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB連接CD求 一 1 一證：CE一 CD.26 .證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半。7 .分別以 ABC的邊AB,AC為邊，向三角

7、形的外側(cè)作正方形ABD訝口正方形 ACFG,泌BC的中點(diǎn)，求證：AMML EG./：B M C8 如圖，4ABC中，AB=4, AC=7 M是 BC的中點(diǎn)，AD平分/ BAC 過 M# MF/ AD 交 AC于 F, 求FC的長(zhǎng).9 .在4ABC中，AM BC邊上的中線，（1）求證：AB+AC2AM;（2靖 AB=5, AC=9,求 AM的 取值范圍。.4BM C10 . 4ABC中，AC=8 BC邊上的中線AD=6則邊AB的取值范圍是。11 .如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC E為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn) E作EF/ AD交AB于點(diǎn)G,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.求證：BG=CF12 .如圖，已知

8、在 ABC中，AD平分BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于F,AF=EF, 求證：AC=BEA13 .如圖所示，/ BACh DAE=90 , M是 BE 的中點(diǎn)，AB=AC AD=AE 求證：(1) CD=2AM, (2) AML CD14 .在 ABC中，分別以 ABC的邊AB,AC為邊，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG點(diǎn) M為 BC中點(diǎn)，(1)求證：AM EG; (2)求證：EG=2AM.模塊四、截長(zhǎng)補(bǔ)短1 .截長(zhǎng)：截取較長(zhǎng)線段，使其和較短線段長(zhǎng)度相等。2 .補(bǔ)短：延長(zhǎng)較短線段，使其和較長(zhǎng)線段長(zhǎng)度相等。適用范圍：條件或題目中出現(xiàn)“a+b=c”或 a-b=c”目的

9、：構(gòu)造全等三角形1 . 如圖，在 ABC中，/ B=2/ C,ADBC于 D,求證：CD=BD+AB.AB2 .如圖，在正方形 ABCD, M N分別是BG CD上的點(diǎn)，/ MAN=45 .求證：MB+ND=M N3、如圖所示，已知 ABC中，AD平分/ BAC,E、F分別在 BQ AD上，DE=CD已知ABC比正 方形，E、F分別在 CB CD的延長(zhǎng)線上，/ EAF=135 ,求證：BE+DF=EF.4.如圖，五邊形 ABCDE, AB=AE BC+DE=CD/ ABC吆 AED=180 .連接 AD.(1)同學(xué)們學(xué)習(xí)了圖形的變換后知道旋轉(zhuǎn)是研究幾何問題的常用方法，請(qǐng)你在圖中作出 ABC繞著

10、點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)“/ BAE的度數(shù)”后的像；(2)試判斷AD是否平分/ CDE并說明理由.上人5.如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=Z D=180 ,AB=AD,EF分別是線段 BG CD上的一點(diǎn)，且BE+FD=EF證：/ EAF=1 / BAD.2，MN垂足為H,求證:6,已知：如圖，在正方形 ABCD, M在CB延長(zhǎng)線上，N在DC延長(zhǎng)線上，/ MAN=45 , AH (1) MN=DN-BM (2) AH=AB7,已知：如圖， ABCD正方形，/ FAD4 FAE.求證：BE+DF=AE8. 如圖， ABC是正三角形，/ ADC=120 ,求證：BD=AD+CD.模塊五角平分線的性質(zhì)與判

11、定1. 如圖，BE=CF DEL AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E, DF AC于點(diǎn)F,且DB=DC 求證：AD是/ BAC的平分線.2. 如圖，已知 ABC的周長(zhǎng)是22, OB OC分別平分/ ABC和/ ACBQDLBC于D,且OD=3BAC=120 , AD BCT D,且 AB+BD=DC 那么/ C=()度.4 .已知，如圖， ABCD正方形，/ FAD=/ FAE.求證：BE+DF=AE.5 .如圖 ABC是正三角形，ABDC是頂角/ BDC=120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交 AR AC邊于M N兩點(diǎn)，連接 MN探究：（1）線段BM MN NC之間 的數(shù)量關(guān)系.（2）

12、若點(diǎn)M N分別是AB CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線段 BM MN NC之間的數(shù)量關(guān)系，在圖中畫出圖形.并對(duì)以上兩種探究結(jié)果選擇一個(gè)你喜歡的加以6 .如圖：在 ABC中，/ C=90 , AD是/BAC的平分線，D已AB于E, F在AC上，BD=DF 說明:(1) CF=EB(2) AB=AF+2EB7.如圖，已知： ABC勺/ R /C的外角平分線交于點(diǎn) D.求證：AD是/ BAC的平分線.模塊六、角平分線的四大基本模型1 .角平分線+平分線，等腰三角形必呈現(xiàn)2 .點(diǎn)垂線，垂兩邊，線等全等都出現(xiàn)3 .角平分線+垂線，中點(diǎn)全等必可見4 .角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全1 . 如圖，在4

13、ABC中，BD CD分另I平分/ ABC/ ACB.DEAB,FDAC,如果 BC=66 求 DEF 的周長(zhǎng)2 . 4ABC中.(1)如圖1,若/ BAC的平分線過BC的中點(diǎn)D,猜想AB和AC的關(guān)系并證明。(2)如圖2,若/ BAC的平分線不過 BC的中點(diǎn)D,而是與BC的垂直平分線交于點(diǎn) E,過E 作EFL AB,垂足為F,猜想2BR AR AC的關(guān)系并證明。E國(guó)工3 .如圖， ABC中，AB=2AC /1 = /2, DA=DB 你能說明 DC!AC嗎?4 .在 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC,BE 平分/ ABC,CEL BE,求證：(1)BD - BE=AB- BC; (2

14、)CE= 1 BD.25 .如圖，已知 ABC中，AD平分/ BAC / C=20 , AB+BD=AC則/ B的度數(shù)是 6 .已知，等腰 ABC /A=100 , / ABC的平分線交 AC于 D,BD=BE,(1)求/ DEC;(2)求證: AD=EC.7 .如圖，AD是ABC的角平分線，H, G分別在 AC AB上，且HD=BD(1)求證：/ B與/AHD互補(bǔ)；(2)若/ B+2/ DGA=180 ,請(qǐng)?zhí)骄烤€段 AG與線段AH HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證 明.8 .(1)如圖，在 ABC中，AD是/ BAC的外角平分線，P是AD上的任意一點(diǎn)，試比較 PB+PC 與AB+AC勺大小，

15、并說明理由.(2)如圖，AD是 ABC中/ BAC的平分線，P是AD上的任意一點(diǎn)，且 ABAC 求證：AB-AO PB-PC9 .如圖， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AD BC 垂足是 D, AE平分/ BAD 交 BC于點(diǎn) E. 在 ABC外有一點(diǎn) F,使 FAI AE, FC BC. (1)求證：BE=CF (2)在 AB上取一點(diǎn) M,使 B M=2DE連接 MC交AD于點(diǎn)N,連接 ME求證：MEL BC DE=DN.10 . (1)如圖，在 ABC中，/ ABC /ACB的平分線相交于 F,過F作DE/ BC,分另交 AR AC于點(diǎn)D E,判斷DE=DB+E諜否成立？為什

16、么？ ( 2)如圖，若點(diǎn) F是/ ABC的平分線和 外角/ ACG勺平分線的交點(diǎn)，其他條彳不變，請(qǐng)猜想線段DE DB EC之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想.11 .如圖，在 ABC中，BE是/ABC的角平分線，AD BE,垂足為 D,求證：/ 2=/1+/C.12 .如圖，CD為RtABC斜邊上的高，/BAC的平分線分別交 CD BC于點(diǎn)E、F.且FGLAB,垂足為G,求證：CE=FGCAD G B模塊七垂直平分線1 .如圖，已知 AB=AC DE垂直平分 AB交 AC AB于 E、D 兩點(diǎn)，若 AB=12cm BC=10cm / A=50 ,求 BCE的周長(zhǎng)和/ EBC的度數(shù)。2 .電信部門要

17、修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔 P,按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔 P到兩城鎮(zhèn) A B的距離 必須相等，到兩條高速公路 m和n的距離也必須相等.請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔 P的位置.（尺 規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）膛3如圖，在四邊形ABCM,AD/ BC,E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE,BEX AE延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1) FC=AD(2) AB=BC+AD(3)若/ ABC=50，求/ F.4.已知：如圖AB=CD線段AC的垂直平分線于線段 BD的垂直平分線相交于點(diǎn)E,求證：/ ABE二ZCDE.模塊八大角夾半角模型特征：組成大角的兩條線段相等，大角與半角具有公共頂點(diǎn)。方法：旋轉(zhuǎn)某個(gè)圖形使大角

18、的等線段重合在一起，利用全等三角形求解。1 .操作：如圖， ABC是正三角形， BDC是頂角/ BDC=120的等腰三角形，以 D為頂 點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交 AB AC邊于M N兩點(diǎn)，連接 MN探究：線段BM MN NC之間的關(guān)系，并加以證明.說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫 3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中 選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明.二AN=NC（如圖）； DM/ AC （如圖）.附加題：若點(diǎn) M N分別是射線 AB CA上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線段 BM MN NC之間

19、 的關(guān)系，在圖中畫出圖形，并說明理由.A圄 圖 圖 圉12 .如圖，將RtABCg斜邊翻折得到 ADC點(diǎn)E, F分別為DC BC邊上的點(diǎn)，且/ EAF2/DAB (1)試猜想DE, BF, EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想(2)過點(diǎn)A作AML EF于點(diǎn)M,證明EF=BE+DF;(3)試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。3 .如圖，在正方形 ABCD43, E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FGL AE交BC于點(diǎn)G(1)求證：AF=FG(2)如圖，連接 G,當(dāng)BG=3 DE=2時(shí)，求EG的長(zhǎng).4 .如圖所示，4ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，ABDC是頂角頂角為120的等腰三角形， 以D 為頂點(diǎn)做一個(gè)60的/ MDN