1、立體幾何中的各類角的求解專練1、 選擇題1已知，是空間不共面的四個(gè)點(diǎn)，且，則直線與（ ）A垂直 B平行 C相交 D位置關(guān)系不確定【答案】A【解析】 過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，由三垂線定理可得同理，所以故選2如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，若，則異面直線和所成角為( )A B C D【答案】D【解析】M、N分別是棱BB1、B1C1的中點(diǎn)，MNAD1，CMN=90，CMMN，CMAD1，由長(zhǎng)方體的幾何特征,我們可得CDAD1，AD1平面CDM故AD1DM即異面直線AD1與DM所成的角為90故選D3線段AB的兩端在直二面角l的兩個(gè)面內(nèi)，并與這兩個(gè)面都成30°角，則異面直線AB與l所成的角是

2、()A30° B45°C60° D75°【答案】B【解析】設(shè)AB=a，在平面內(nèi)，作AAl于A，則AA，連AB，則ABA=30°.在RtAAB中，AB=a，所以AA=a.同理作BBl于B，連AB，則BAB=30°，所以BB=a，AB=a，所以AB=a，過(guò)B作BCAB.連接AC，則ACBB，連接AC，在RtAAC中，AC=a.由BC平面AAC，所以ABC為直角三角形，且AC=BC，所以ABC=45°，為l與AB所成角.選B.4如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC與BD的中點(diǎn)，若CD2AB4，EFBA，則EF與CD所成的角為

3、() A90° B45°C60° D30°【答案】D【解析】設(shè) 為 的中點(diǎn)，連接 則 分別為 ，三角形 的中位線則 ，且 且 則 與 所成角的度數(shù)等于與 所成角的度數(shù)又 則 為直角三角形， 則在直角中， 故選D5設(shè)直線l平面，過(guò)平面外一點(diǎn)A與l，都成30°角的直線有 ()A1條 B2條 C3條 D4條【答案】B【解析】如圖，和成30°角的直線一定是以A為頂點(diǎn)的圓錐的母線所在直線，當(dāng)ABCACB30°且BCl時(shí)，直線AC，AB都滿足條件，故選B6已知三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正

4、三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為() A75° B60°C45° D30°【答案】B【解析】如圖所示，P為正三角形A1B1C1的中心，設(shè)O為ABC的中心，由題意知：PO平面ABC，連接OA，則PAO即為PA與平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，則S×()2，VABC­A1B1C1S×PO，PO.又AO1，tan PAO，PAO60°.選B.7在三棱錐中，平面，已知，則二面角的平面角是（ ）A B C D【答案】D【解析】因?yàn)槠矫嫫矫妫礊槎娼堑钠矫娼牵郑裕?/p>

5、故為直角三角形，二面角的平面角是，故選D.8將正方形ABCD沿BD折成直二面角，M為CD的中點(diǎn)，則AMD的大小是()A45° B30°C60° D90°【答案】D【解析】如圖，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，作AOBD，則AM 又ADa，DM，AD2DM2AM2，AMD90°.選D.9正四棱錐(頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則側(cè)面與底面所成的二面角為()A30° B45°C60° D90°【答案】C【解析】由棱錐體積公式可得底面邊長(zhǎng)為2，高為3，在底面正方形的任一邊上，取其中點(diǎn)，

6、連接棱錐的頂點(diǎn)及其在底面的射影，根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因?yàn)閠an (設(shè)為所求平面角)，所以二面角為60°，選C.10在等腰RtABC中，ABBC1，M為AC的中點(diǎn)，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角CBMA的大小為()A30° B60°C90° D120°【答案】C【解析】如圖，由ABBC1，ABC90°知ACM為AC的中點(diǎn)，MCAM，且CMBM，AMBM，CMA為二面角CBMA的平面角AC1，MCMA，MC2MA2AC2，CMA90°，故選C11如圖所示,四邊形ABCD中,ADB

7、C,AD=AB,BCD=45°,BAD=90°,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,構(gòu)成四面體A-BCD,則在四面體A-BCD中,下列說(shuō)法正確的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABD【答案】D【解析】因?yàn)椋裕裕裕制矫嫫矫妫矫嫫矫? 平面，所以平面，又平面，所以平面平面。選D。12如圖，在三棱柱中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是（ ）A B C D【答案】A【解析】取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則DE底面ABC，DAE為AD與平面BC所成的角設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)

8、為1，則AE，DE，tanDAE，DAE30°故選：A二、填空題13如圖，在正方體中，直線與所成角大小為【答案】【解析】連接，交于點(diǎn)，再連接，是在正方體中 則是直線與平面所成的角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1 則直線與平面所成的角的大小為 故答案為14在長(zhǎng)方體中，則直線與平面所成角的余弦值等于【答案】【解析】連接，在長(zhǎng)方體中，平面，是直線與平面所成角，直線與平面所成角的余弦值：故答案為：15在三棱錐中，平面，則直線與平面所成角的大小為【答案】【解析】作ADPC，連接BD， PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，ACBC，PAACA，BC平面PAC，AD平面PAC，BCAD，ADPC，BCP

9、CC，AD平面PBC，ABD為AB與平面PBC所成角，在直角PAC中，由等面積可得AD，在直角ADB中，sinABD=，ABD=AB與平面PBC所成的角為，故答案為：16等腰直角ABC中，AB=BC=1，M為AC的中點(diǎn)，沿BM把ABC折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角CBMA的大小為【答案】【解析】結(jié)合題意可知,所以,而發(fā)現(xiàn) 所以,結(jié)合二面角的找法:如果兩平面內(nèi)兩直線分別垂直兩平面交線,則該兩直線的夾角即為所求二面角,故為所求的二面角,為三、解答題17如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中， 平面，,.(1)求證: 平面；(2)求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）

10、連接交于，平面，平面又，即又平面（2）連接平面，為二面角的平面角在中，二面角的大小為18如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中將MN和PB畫出來(lái)，并就這個(gè)正方體解決下面問(wèn)題。（1）求證：MN平面PBD； （2）求證：平面；（3）求PB和平面NMB所成的角的大小【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】MN和PB的位置如右圖示：（1）NDMB 且NDMB，四邊形NDBM為平行四邊形MN 即PB和平面NMB所成的角為30°19如圖，在四棱錐中，平面，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.

11、【答案】（）.（）見解析（）.【解析】解：（）如圖，由已知AD因?yàn)锳D平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得，故.所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.（）證明：因?yàn)锳D平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD.又因?yàn)锽C（）過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因?yàn)镻D平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得.所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.20如圖，已知中，且，繞旋轉(zhuǎn)至，使點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】（1），又平面， 又在中，即， 又平面（2）過(guò)作，在平面中作于，連，則為與所成角 ，又因?yàn)椋矫妫郑?又在中