1、僅供個人參考For personal use only in study and research; not forcommercial use專題二 立方和(差)公式、和(差)的立方公式(2) (x+1)(x _1)(x2 +x+1)(x2 _x+1)；(3) (x+2y)2(x2 _2xy+4y2)2 ；分析：利用乘法的交換律、積的乘方，找出滿足立方和（差）的兩個因式，是計算的關(guān)鍵解：（1）原式=(x9 _1)(x9 + 1) = x18 _1 ；(2)解法一：原式 =(x+1)(x2x+1)( x-1)(x2+x+1) = (x3+1)(x31) = x61 ；解法二：原式 =(x 1)

2、(x-1)(x2 1) x(x2 1)-x=x6 -1 ；(3)原式=(x 2y)(x2 -2xy 4y2)2=x6 +16x3y3 +64 y6。說明：第（2）、（3）題往往先用立方和（差）公式計算簡捷.相反，如第（2）題的第二種解法就比較麻煩.例3因式分解:(1)3 3_x3 y3 +125 ；(2)a -27a4 ；(3)66x _y 。分析:對照立方和（差）公式，正確找出對應(yīng)的a,b是解題關(guān)鍵，然后再利用立方公式分解因式。解：(1)原式=(xy)3+53 = (xy+5)(x2y25xy + 25)；3332(2)原式=a(1 -27a ) =a1 -(3a) = a(1 -3a)(1

3、 3a 9a )（3）原式3232 ,3,333.2. 22 .2、=(x ) (y ) =(x +y )(x -y ) = (x + y)(x -xy + y )(x-y)(x + xy + y )。說明：我們可嘗試一下，第（3）題先用立方差公式分解就比較復(fù)雜，會導(dǎo)致有的同學(xué)分解不 徹底。例 4 設(shè) x + y = 5, xy = -1 ,試求 x3 + y3 的值。分析：對于立方和公式a3 +b3 =（a +b）（a2 -ab +b2）,我們不難把它變成:a3 +b3=(a+b)(a+b)23ab,即 a3+b3 = a+b )33b a b ),再應(yīng)用兩數(shù)和、 兩數(shù)積解題較為方便。解：x

4、3 + y3 =(x + y)3 -3xy(x + y) =53一3父(-1)乂5 = 140。說明：立方和(差)與和(差)的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。 322223_ _ 例5 如果AABC的二邊a, b,c滿足a ab + ab -ac +bc -b =0,試判斷AABC的形狀。分析：直接看不出三角形邊之間的關(guān)系，可把左邊的多項式分解因式，變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)系。解： 因為 a3a2b+ ab3 (3) (5 b)3； 323(4)(m -1) (m +m +1)。ac2+bc2b3 = 0 ,所以 a3 一b3 +(-a2b +ab2) +(-ac2 +bc2) =0 ,即(a -

5、b)(a2 +ab +b2) -ab(a -b) -c2(a -b) =0 ,(a -b)(a2 +b2 -c2) =0 ,所以 a =b 或 a2 +b2 =c2,因此AABC是等腰三角形或直角三角形.說明：此類題型，通常是把等式一邊化為零，另一邊利用因式分解進行恒等變形練習(xí)1 .計算：，一2(1) (4 +a)(16 -4a +a )；(2) (2a -1b)(4a2 +-ab + -b2)；339(3) ( -x -1)(x2 -x +1)；(4) x(x-2)2 -(x2 -2x+4)(x+2)o2 .計算：(1) (x+2)(x 2)2(x2 2x+4)(x2 +2x + 4)；3(

6、2x+3y)3；3 .分解因式：(1) (2x+1)3 +x3;(2) 27x3-8y3；(3) 2x31y3；4(4) m (1) -8 (2) 1 7.兩個正方體的棱長分別為1cm和3cm. 一64。4 .化簡：a -b a、a -b、b不得用于商業(yè)用途8.19.539210.-6（興化市第一中學(xué)張俊）僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu ko

7、mmerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' etude et la recherche uniquementd des fins personnelles; pasd des fins commerciales.tojibko AJiajiiOAe ak pTOpMenojib 3yg)oi 旦 Gi6yqeHH 豆 c ,n e a o b 團 hhha o ji >k h eiHcnojib3OBaTbCH b KOMMepnecKHx uejiax.以下無正文我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a+ b)

8、(ab) =a2b2;(* 1 2)完全平方公式(a士b)2 = a2 ± 2ab+ b2。我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(a + b)(a2 -ab + b2) = a3 + b3 ；(2)立方差公式(a b)(a2+ab+b2) = a3b3 ；(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+bc + ac)；(4)兩數(shù)和立方公式(a+ b)3 * * * * * = a3+3a2b+3ab2+b3 ；(5)兩數(shù)差立方公式(a b)3 = a33a2b+3ab2b3。對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。反過來，就可以利

9、用上述公式對多項式進行因式分解。例1計算：，一2(1) (3 +2y)(9 -6y +4y )；-1o 51 o(5x-一y)(25x +xy+-y )；224_2_(3) (2x+1)(4x +2x+1)。分析：兩項式與三項式相乘，先觀察其是否滿足立方和(差)公式，然后再計算.解：(1)原式二33 十(2y)3 =27+8y3;313_313(2)原式=(5x) -(- y) =125x - y ；28(3)原式=8x3 +4x2 +2x +4x2 +2x +1 =8x3 +8x2 +4x +1 。說明：第(1)、(2)兩題直接利用公式計算.第(3)題不能直接利用公式計算，只好用多項 式乘法

10、法則計算，若將此題第一個因式中“+1”改成“-1 ”則利用公式計算；若將第二個因式中“ +2x”改成“ 2x”則利用公式計算；若將第二個因式中“ 42x”改成“ +4x”,可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式計算(2x+1)(2x+1)2 =(2x+1)3 =(2x)3+3(2x)2 1 *3(2 為 1 2 < 3 =8 x3+12 x2+6 x+1 。例2計算：(1) (x31)(x6+x3+1)(x9+1)；:。a -，b a ab b5.若 a+b+c=0,求證：a3 + a2c+b2c abc+ b3 = 0。6. (1)已知 m + n = -2 ,求 m3 +

11、n3 -6mn 的值；(2)已知：x y =1,求 x3 -y3 3xy 的值.7.已知兩個正方體，其棱長之總和為48cm,體積之和為28cnf,求兩個正方體的棱長.8.已知 a+b=1 ,求 a3+3ab+b3 的值。9.已知 ab=2,ab=48,求 a* 2 * 4 *+b4 的值。10.已知實數(shù) a, b,c滿足 abc=0, a+b+c =1,a2+b2+c2 =2, a3+b3+c3,求 abc的值。答案：3212321 . (1) 64+a ； (2) 8a b ； (3) -x 1； (4) -4x +4x8。272. (1) x6-64;(2) 8x3+36x2y+54xy2+27y3 ;5 213963(3) 125 25b+b2 - b3; (4) m9-3m6+3