1、迭代法迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代法又分為精確迭代和近似迭代。“二分法”和“牛頓迭代法”屬于近似迭代法。迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。二、建立迭代關系式。所謂

2、迭代關系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。三、對迭代過程進行控制。在什么時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對于前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對于后一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。例1:一個飼養場引進一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此

3、繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第12個月時，該飼養場共有兔子多少只？分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第1個月時兔子的只數為u1 ,第2個月時兔子的只數為u2,第3個月時兔子的只數為u3,根據題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一只兔子”，則有u1=1,u2=u1+u1X1=2,u3=u2+u2X1=4,根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：un=un1X2（n>2）對應un和un1,定義兩個迭代變量y和x,可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：y=x*2x=y讓計算機對這個迭代關系重復執行11次，就可以算出第12個月時的兔子數。參考程序如下：clsx=1y=x*

4、2x=ynextiprintyend例2：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用3分鐘。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內，45分鐘后容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴220,220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。分析：根據題意，阿米巴每3分鐘分裂一次，那么從開始的時候將阿米巴放入容器里面，到45分鐘后充滿容器，需要分裂45/3=15次。而“容器最多可以裝阿米巴2A20個”，即阿米巴分裂15次以后得到的個數是2A20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第15次分裂之后的2A20個，倒推出第15次分裂之前(即第14次分裂

5、之后)的個數，再進一步倒推出第13次分裂之后、第12次分裂之后、第1次分裂之前的個數。設第1次分裂之前的個數為x0、第1次分裂之后的個數為x1、第2次分裂之后的個數為x2、第15次分裂之后的個數為x15,則有x14=x15/2、x13=x14/2、xn-1=xn/2(n>1)因為第15次分裂之后的個數x15是已知的，如果定義迭代變量為x，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式:x=x/2(x的初值為第15次分裂之后的個數2A20)讓這個迭代公式重復執行15次，就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。

6、參考程序如下：clsx=2A20fori=1to15x=x/2nextiprintxendps:java中冪的算法是Math.pow(2,20)；返回double，稍微注意一下例3：驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對于任意一個自然數n，若n為偶數，則將其除以2；若n為奇數，則將其乘以3，然后再加1。如此經過有限次運算后，總可以得到自然數1。人們把谷角靜夫的這一發現叫做“谷角猜想”。要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數n，把n經過有限次運算后，最終變成自然數1的全過程打印出來。分析：定義迭代變量為n，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關系式：當n為

7、偶數時，n=n/2；當n為奇數時，n=n*3+1。用QBASIC語言把它描述出來就是：ifn為偶數thenn=n/2elsen=n*3+1endif這就是需要計算機重復執行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執行多少次，才能使迭代變量n最終變成自然數1，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數n，只要經過有限次運算后，能夠得到自然數1，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：clsinput"Pleaseinputn="ndountiln=1ifnmod2=

8、0thenrem如果n為偶數，則調用迭代公式n=n/2n=n/2print""n;elsen=n*3+1print""n;endifloopend迭代法開平方：#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain()doublea,x0,x1;printf("Inputa:n");scanf("%lf",&a);/為什么在VC6.0中不能寫成“scanf("%f",&a);”？if(a<0)printf("Er

9、ror!n");elsex0=a/2;x1=(x0+a/x0)/2;dox0=x1;x1=(x0+a/x0)/2;while(fabs(x0-x1)>=1e-6);printf("Result:n");printf("sqrt(%g)=%gn",a,x1);求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0)。算法：1.先自定一個初值X0,作為a的平方根值，在我們的程序中取a/2作為a的初值；利用迭代公式求出一個x1。此值與真正的a的平方根值相比，誤差很大。2 .把新求得的X1代入X0中，準備用此新的X0再去求出一個新的X1.3 .利用迭

10、代公式再求出一個新的X1的值，也就是用新的X0又求出一個新的平方根值x1,此值將更趨近于真正的平方根值。4 .比較前后兩次求得的平方根值X0和X1，如果它們的差值小于我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1就是a的平方根值，去執行步驟5；否則執行步驟2，即循環進行迭代。迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執行：(1)選一個方程的近似根，賦給變量x0；( 2) 將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結果存于變量x0；(3)當x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復步驟(

11、2)的計管算。若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根x0=初始近似根；dox1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程計算新的近似根*/while(fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是n”，x0)；迭代算法也常用于求方程組的根，令X=(x0,x1,，xn-1)設方程組為：xi=gi(X)(I=0,1,，n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程組的根for(i=0;ix=初始近似根；dofor(i=0;iy=x;for(i=

12、0;ix=gi(X);for(delta=0.0,i=0;iif(fabs(y-x)>delta)delta=fabs(y-x)；while(delta>Epsilon)；for(i=0;iprintf("變量%d的近似根是%f",I,x);printf(n”)；具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：(1)如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代算法前應先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數給予限制；(2)方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。遞歸遞歸是設計和描

13、述算法的一種有力的工具，由于它在復雜算法的描述中被經常采用，為此在進一步介紹其他算法設計方法之前先討論它。能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，并且這些規模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，并從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。【問題】編寫計算斐波那契(Fibonacci)數列的第n項函數fib(n)。斐波那契數列為:0、1、1、2、3、，即：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(當

14、n>1時)。寫成遞歸函數有：intfib(intn)if(n=0)return0;if(n=1)return1;if(n>1)returnfib(n-1)+fib(n-2);遞歸算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題(規模為n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib

15、(0)，分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。在回歸階段，當獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib(1)和他(0)后，返回得到fib(2)的結果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果后，返回得到fib(n)的結果。在編寫遞歸函數時要注意，函數中的局部變量和參數知識局限于當前調用層，當遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數調用，并且可能會有一系列的重復計算，遞歸算法的執行效率相對較低。

16、當某個遞歸算法能較方便地轉換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n)應采用遞推算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。【問題】組合問題問題描述：找出從自然數1、2、n中任取r個數的所有組合。例如n=5,r=3的所有組合為：(1)5、4、3(2)5、4、2(3)5、4、1(4)5、3、2(5)5、3、1(6)5、2、1(7)4、3、2(8)4、3、1(9)4、2、1( 10) 3、2、1分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的算法。設函數為voidb(intm,intk)為找出從自

17、然數1、2、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其后的數字是從余下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在ak中，當一個組合求出后，才將a中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、k,函數將確定組合的第一個數字放入數組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程序中的函數b。【程序】#include# defineMAXN100intaMAXN;vo

18、idb(intm,intk)inti,j；for(i=m;i>=k;i-)ak=i；if(k>1)b(i-1,k-1)；elsefor(j=a0;j>0;j-)printf("4d”,aj);printf(n");voidmain()a0=3;b(5,3);【問題】背包問題問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。設n件物品的重量分別為w0、w1、wn-1,物品的價值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，

19、并保留了其中總價值最大的方案于數組option,該方案的總價值存于變量maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數組cop。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw;至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數后找到的方案一定會比前面的方案更好。對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：(1)考慮

20、物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續遞歸去考慮其余物品的選擇。(2)考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。按以上思想寫出遞歸算法如下：try（物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv）/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/if（包含物品i是可以接受的）將物品i包含在當前方案中；if（itry（i+1,tw+物品i的重量,tv）;else/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當前方案作為臨時最佳方案保存;恢復物品i不包含狀態；/*考慮物品i不包含在當前方案中的

21、可能性*/if（不包含物品i僅是可男考慮的）if（itry（i+1,tw,tv-物品i的價值）；else/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當前方案作為臨時最佳方案保存;為了理解上述算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：物品0123重量5321價值4431并設限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。按上述算法編寫函數和程序如下：【程序】# include# defineN100doublelim

22、itW,totV,maxV;intoptionN,copN;structdoubleweight;doublevalue;aN;intn;voidfind（inti,doubletw,doubletv） intk; *考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/if(tw+a.weight<=limitW)cop=1;if(ielse for(k=0;koptionk=copk;maxv=tv;cop=0;/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/if(tv-a.value>maxV)if(ielse for(k=0;koptionk=copk;maxv=tv-a.value;void

23、main() intk;doublew,v;printf(“輸入物品種數n”);scanf(“%d”,&n);printf(“輸入各物品的重量和價值n”);for(totv=0.0,k=0;k scanf(“%1f%1f”,&w,&v);ak.weight=w;ak.value=v;totV+=V;printf(“輸入限制重量n”);scanf(“%1f”,&limitV);maxv=0.0;for(k=0;kfind(0,0.0,totV);for(k=0;kif(optionk)printf(“%4d”,k+1);printf(“n總價值為n”,maxv);

24、作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對于任一值得繼續考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。【

25、程序】# include# defineN100doublelimitW;intcopN;structeledoubleweight;doublevalue;aN;intk,n;structint;doubletw;doubletv;twvN;voidnext(inti,doubletw,doubletv)twv.=1;twv.tw=tw;twv.tv=tv;doublefind(structele*a,intn)inti,k,f;doublemaxv,tw,tv,totv;maxv=0;for(totv=0.0,k=0;ktotv+=ak.value;next(0,0.0,totv);i=0;While(i>=0)f=twv.;tw=twv.tw;tv=twv.tv;switc