1、第 10 講 功與動能本講提示：1. 深刻理解功的定義。2. 使用動能定理分析力學過程注意區分動量與動能，區別功與沖量。知識點睛物體在外力作用下，在力的方向上發生了一段位移，則外力對物體作功。功表征了力對空間的累計效應。1.恒力做功在恒力 F 作用下質點沿直線發生了一段位移Dl ，則在此過程中，力對質點所做的功按以下計算：W = FDl cosq其中 為 F 與Dl 的夾角。這個公式記為矢量的點乘式為：W = F ×Dl功的為焦耳（J），其中1J = 1N × m注意： 功為標量，但有正負：多個力對物體作功，等于各力對物體作功的代數和。證明：W = å F 

2、15; Dl = (F1 + F2 + Wn = åWi+ Fn ) × Dl = W1 + W2 +功的計算式中位移是受力質點作用點的參考系位移。實例：1.如圖：拉力F對球做功等于Fx，但彈簧對墻做功為 0。2.如圖：一射入一個可以自由移動的木塊，設相互作用大小為F，則：隊木塊做功：FS木塊對做功：-F(l+S)這樣的定義必然導致相互作用力的總功不一定為零，這和相互作用力沖量很不一樣，所以當我們高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 1對于一個系統進行功的計算時，必須考慮內力。恒定的相互作用力的總功為W =

3、F × d ，其中d為相對位移。功的定義導致功的計算依賴參考系的選取，但是相互作用力的總功與參考系的選取無關。中學階段只要不刻意強調，功指的都是對地的功。 易證明恒力做功與軌跡無關，只取決于恒力方向上的位移。如軌跡為曲線，可以把曲線看成無窮多段，如圖，設恒力F作用下一物體，從a位置運動到b位置, 把軌跡分成無窮段，分別為Dl1 ， Dl2 ， Dl3 整個過程中做功為W = F ×Dl1 + F ×Dl2 + F ×Dl3 L = F ×Dl總 = FDlF其中DlF 為F方向上位分位移，與F同向取正，反之取負。實例：如圖，用水平恒定的拉力F，

4、把一個質量為m的球拉至新位置，拉力做功為Fl，重力做功為mgh。2.變力做功微元思想給出了變力做功的計算方法，無限分割路徑，以直線段代替曲線段，計算每一小段功，累加即可，可以把功當做力對路徑的路徑lt。W = å F × Dll0作出 F cosqF cosql 的函數圖像，曲線與橫軸所圍面積表示功的大小：loaDlb實例：高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 2如圖：彈性系數為 k 的彈簧，在彈力的作用下，從距原長為收縮到 x，作出彈力隨著位移的函數圖x0象，規定向右為正。圖中陰影部分面積為彈簧對物體做功。

5、= 1 kx2 - 1 kx2由面積公式： DW3.功率o22時間做功為功率，用字母P表示，則功率定義式為：P = DWDt其中 Dt 代入總時間則計算得平均功率， Dt 趨近于零則計算為瞬時功率， 瞬時功率還可用P = Fv cosq 計算，其中為F與v夾角。4.功與動能計算功的目的是什么？功也是力的一種效果，定性的可以想到一定也是改變了與物體運動狀態有關的一個物理量。以下我們用微元法推導，做功過程中一個重要原理：動能定理。假設一個物體在外力F作用下，由a運動到b，速度由v0 變化為vt，把整個軌跡等分成很多的Dl ， 對一段，由于軌跡很短，可以看為勻變速直線運動，由牛頓第二定律：F1 co

6、sq1 = ma1v 2 - v2又 a1 = t0 2x11易得： DW = F ×Dl cosq =m(v - v22 )1111102= F ×Dl cosq = 1 m(v 2 - v 2 )則同理有DW22222121DW = F ×Dl cosq =m(v- v22 )3333322×Dlcosq= 1 m(v 2 - v2 )DW= Fn-1n-1n-1n-1nn-121DW = F ×Dl cosq =m(v -22 )vnnnntn21疊加得åDW =m(v -22 )vit021我們定義一個質量為m的物體以速度為v

7、的物體具備的一個狀態量 mv2 ,叫一個物體的動能，用字2高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 3= 1 mv2母Ek表示，記為： Ek2上述推導結論可以表達為，一個物理做成中外力對某質點做功等于其動能增加量，這個原理叫質點動能定理。對于質點組的情況，只需要把多個質點的方程疊加即可，注意質點組之間的相互作用總功在疊加過程中不一定能消去（內力總功不一定為零），那么質點組動能定理可表達為：W內 +W外 = DEK1 + DEK 2 L即內力與外力總功等于系統總動能變化。實例：當人從地面上跳起過程中，地板對人的力作用于腳上，起跳過程中

8、，雖然身體重心在上升，但是腳沒有上升，所以地面未對人做功，對人做正功的只能是人自身的內力（肌肉對骨骼的力，不是武俠小說中的內力），導致人上升。而跳水的時候，情況正好相反，跳板對人做功導致人上升。從以上實例中我們應該看到，分析同一個，牛頓定律認為是地面對人的支持力導致人產生向上的度，但動能定理卻認為是人自身的內力導致人動能增加。由于方程的不同，導致解釋時的描述不同。例題精講【例 1】用一個時鐘沿著切向的變力，把一個質量為 m，可視為質點的小物塊沿著一個半徑為 R 的光滑半圓底部向上拉到頂部，計算拉力做功（嘗試用兩種方法做）。【例 2】如圖，質量為 m 的小球系在倔強系數為 k 的輕彈簧一端，彈簧

9、的另一端固定在 O 點. 開始時小球位于水平位置 A 點，此時彈簧處于自然長度 l0 狀態. 當小球由位置 A,下落到 O 點正下方自由l0位置 B 時,彈簧的伸長量為，求小球到達 B 點時的速度.n高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 4【例 3】，把彈簧的一端固定在墻上，另一端系一物體 A，當把彈簧壓縮 x1 后，在它的右邊再放一物體 B，然后除去外力，設物體 A 和 B均被放置在光滑的水平面上，質量分別為 mA 和 mB，彈簧的勁度系數為 k，問：物體 A 移動的最大距離是多少？【例 4】用鐵錘將一只鐵釘擊入木板內,設木板

10、對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板之深度成正比,如果在擊第一次時,能將釘擊入木板內 1 cm, 再擊第二次時（錘仍然以第一次同樣的速度擊釘）,能擊入多深？【例 5】用一條細線把質量為 M 的圓環掛起來，環上穿著兩個質量為 m 的小環，它們可以在大環上無摩擦地滑動（）如果兩小環同時從大環頂部并沿相反方向自由滑下，下落過程中小環與大環圓心的連線與豎直線的夾角用q 表示要使繩子拉力在小環下落過程的某時刻剛好變為零，則 m / M必須滿足什么條件？當 m / M 滿足上述條件時，q 角達到多大時，繩子拉力剛好變為零高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的

11、物理學 5【例 6】邊長為10 cm 的正方形木塊（密度為0.5g / cm3 ）浮在有水的杯中，杯的橫截面積為 200 cm2 ，水的密度是1 g / cm3 ，平衡時杯內水深10 cm ， g 取10 m/s2 ，用力使木塊慢慢沉到杯底，外力所做的功是多少？【例 7】質量為 m 的靜止的物體受到沿水平方向均勻增減的沖擊力作用 F = F (t ) 方向不變，水平方向求物體在時刻t 的速率以及沖擊力對物體所做的總功無其它作用力力隨時間的變化【例 8】，質量為 m 的小車以恒定速率v 沿半徑為 R 的豎直圓環軌道運動，已知動摩擦因數為 m ，試求小車從軌道最低點運動到最高點過程中，摩擦力做的功

12、【例 9】如圖，用恒定拉力 F 拉動一物體，不計滑輪重，計算物理速度為 v 拉力功率 P。思考問題：高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 6用動能定理判定一個物體是否能到達某處，先假設物體能到達目標位置，并用動能定理計算末動能，為正即能到達，為負即不能到達。這種思路嚴謹么？舉例說明。【例 10】長為6L 、質量為6m 的勻質繩置于特制的水平桌面上，繩的一端懸垂于桌邊外，另一端系有一個可視為質點的質量為 M 的木塊，木塊在 AB 段與桌面無摩擦，在 BE 段與桌面有摩擦，勻質繩與桌面的摩擦可忽略初始時刻用手按住木塊使其停在 A 處

13、，繩處于繃緊狀態，AB = BC = CD = DE = L ，放手后，木塊最終停要C 處桌面距地面高度大于6L ，求：木塊剛滑至 B 點時的速度v 和木塊與 BE 段的動摩擦因數 m ； 若木塊在 BE 段與桌面的動摩擦因數變為 m ' = 21m / (4M ) ，則木塊最終停在何處？ 是否存在一個 m 值，能使木塊從 A 處若不能，簡要說明理由后，最終停在 E 處，且不再運動？若能，求出該 m 值；【例 11】一只小船以速度v = 2m/s 在水中勻速滑行，船上站有一個人，人和船的總質量為 M ，人的手中拿著一個質量為 m = 1kg 的球該人以相對船的速度v1 = 4m/s 將

14、球水平拋出，若沿船行方向拋出球，人需做多少功？若沿船行的反方向拋出球，人的內力需做多少功？以地面為系，討論船是否做功。【例 12】一電噴能把密度為 r 的油漆從橫截面積為S的噴口以速度v噴出，不考慮生熱，分析電噴的工作功率。【例 13】把 4kg的蒸餾水裝入很大的平底水槽中，通過一虹吸管慢慢往外放，已知虹吸管橫截面積為高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 70.01cm2，虹吸口管到水槽底部落差為 0.8m，水槽中水深可以忽略不計，不考慮阻力，計算水流光所需時間。（g=10m/s2）課后習題1.測定運動員體能的一種裝置，運動員的

15、質量為m1，繩拴在腰間沿水平方向跨過滑輪（不計滑輪摩擦和質量），繩的另一端懸吊的重物質量為m2，人用力向后蹬傳送帶，剛好使人的重心不移動，傳送帶上側以速度v向前運動，則A、人對傳送帶不做功C、人對傳送帶做功的功率為m1gvB、人對傳送帶做功D、人對傳送帶做功的功率為（m1+m2）gv2. L 2，長 L 的細繩一端固定于 A 點，另一端系一小球水平 x 軸的原點 O 位于懸點 A 的正下方處現在 x 軸正方向上某處釘一釘子 P，再將球拉到細繩處于水平的位置，由靜止，要使球下擺后可繞釘子 P 在豎直平面內轉動一周已知細繩能承受的最大拉力為球重的 7 倍，不計空氣阻力求釘子 P 應釘在 x 軸上的

16、位置坐標范圍LAL2OxP3.有一個擺長為 l 的擺(擺球可視為質點，擺線的質量不計)，在過懸掛點的豎直線上距懸掛點 O 的距離為 x 處(x<l)的 C 點有一固定的釘子，當擺擺動時，擺線會受到釘子的阻擋當 l 一定而x 取不同值時，阻擋后擺球的運動情況將不同現將擺拉到位于豎直線的左方(擺球的高度不超過O 點)，然后放手，令其自由擺動，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠試求 x 的最小值釘子，高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 8趣味物理故事是蘋果落地導致牛頓發現萬有引力嗎美國哈佛大學科技史教授柯亨前撰文，對蘋果落地的

17、故事表示懷疑。柯亨引證史料，說明牛頓萬有引力理論的一步是在 1679 年末到 1680 年初。 1679 年 11 月 24 日，胡克寫信給牛頓，向他介紹一種分析曲線運動的新方法。胡克聰明地看到，物體沿曲線軌道的運動有兩個分量，一個是慣性分量，一個是向心分量。慣性分 51 量勢必沿曲線的切線方向作直線運動，而向心分量則總是拉物體偏離慣性的直線軌道。月球運動的穩定軌道就是這兩個分量互相匹配，使得月球既沿切線方向跑掉，又螺旋式地接近地球。笛卡兒認為物體作曲線運動只是運動物體企圖逃離中心的力造成的，但實際上沒有這樣的力存在。胡克信中請牛頓對這個假設提出意見或評論。這個假設顯然是牛頓后來把曲線運動分解

18、為一個慣性分量和一個向心分量這種想法的入門。因為在此之前，牛頓還常常用笛卡兒的離心力來描述運動。胡克在信中還大膽提出，將行星吸向太陽的向心力大小，與兩星之間的距離平方成反比。由于胡克缺乏牛頓的數學才能，因此他不能再往前進，不能由直覺的預感與猜想，飛躍到嚴格的科學結論。11 月 28 日，牛頓回信說，在未讀胡克的來信之前，他沒有“聽到過您的把行星的天體運動看作沿曲線切線方向的直線運動”以及被“吸引”向太陽的運動兩者“所之假說”。隨之牛頓立即把的研究課題換成：地球自轉對自由落體的影響。但是他卻不正確地描繪了自由落體物體的路徑是一條螺線。胡克發現了牛頓的錯誤，在 12 月 9 日的信中指出，自由落體

19、物體的路徑“將類似一個橢圓”。12月 13 日牛頓謹慎地答復了胡克對他的指正，但并沒有對胡克提出的行星運動是“圓周運動”的分析發表什么意見。胡克并不灰心，在 1680 年 1 月 6 日的信中重述了向心吸引力與距離平方成反比的定量的假設，而且說明他的這種分析“十分清楚而正確地說明了天象”。牛頓仍未作答復。1 月 17 日胡克發了一封簡短的補充函件，請牛頓找出：一個中心引力使物體偏離它的慣性軌道作曲線運動，當力與距離平方成反比時，曲線是怎樣的，它的性質及造成的是什么？牛頓幾乎就是按照胡克的思路去做的。但他一直沒有把證明的結果告訴胡克或任何人。直至 1684年 8 月，著名天文學家哈雷來訪，說起他和雷恩都不能解決行星運動這個問題，胡克雖聲稱他已解出，高一·物理·競賽班·第 10 講·學生版講述高端的真正的物理學 9卻拿不出一個公式。牛頓聽了以后，馬上回答：“是橢圓。”哈雷問他怎么知道的，牛頓回答：“我算出來的。”經哈雷敦促，牛頓為學會寫了論運動，詳細談了他的計算過程。應該說，牛頓在其大約是 1684 年 11 月寫成的論運動的初稿中，還未建立萬有引力這一概念。這時，牛頓還沒有領悟太陽吸引每個行星，每個行星還要吸引太陽，而且行星間也互為吸引。頓發覺了反作用定律的重要意義，1684