1、 2.3.1 通過平壁的導熱通過平壁的導熱本節將針對一維、穩態、常物性、無內熱源情況，考察平本節將針對一維、穩態、常物性、無內熱源情況，考察平板和圓柱內的導熱。板和圓柱內的導熱。直角坐標系：直角坐標系：ztzytyxtxtc)()()(1 單層平壁的導熱單層平壁的導熱oxa 幾何條件：一維大平壁厚度；幾何條件：一維大平壁厚度； b 物理條件：物理條件： 、c、 已知；已知；無內熱源無內熱源 c 時間條件：時間條件： 0 :t穩態導熱 d 邊界條件：第一類邊界條件：第一類2-3 典型一維穩態導熱問題的分析解典型一維穩態導熱問題的分析解0dd22xtxot1tt221 , , 0wwttxttx直

2、接積分，得：直接積分，得：211 cxctcdxdt根據上面的條件可得：根據上面的條件可得：第一類邊條：第一類邊條：xtxtc)(控制控制方程方程邊界邊界條件條件帶入邊界條件：帶入邊界條件：12121tcttc)(dd1212112Attttqttxttxttt帶入帶入Fourier 定律定律ARr線性分布線性分布熱阻分析法適用于一維、穩態、無內熱源的情況熱阻分析法適用于一維、穩態、無內熱源的情況2 多層平壁的導熱多層平壁的導熱t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩態導熱三層平壁的穩態導熱多層平壁：由幾層不同材料組成多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁例：房屋的墻壁 白灰內層、水泥

3、白灰內層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成假設各層之間接觸良好，可以近似地認假設各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等為接合面上各處的溫度相等v 邊界條件：邊界條件：1110nniittxttxv 熱阻：熱阻：nnnrr,111由熱阻分析法：由熱阻分析法：niiinniinttrttq111111問：現在已經知道了問：現在已經知道了q q，如何計算其中第，如何計算其中第 i i 層的右側壁溫？層的右側壁溫？第一層：第一層： 11122111)(qttttq第二層：第二層：22233222)(qttttq第第 i 層：層： iiiiiiiiqt

4、tttq111)(2112111hhttqniiiff2mW 單位：單位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三層平壁的穩態導熱三層平壁的穩態導熱h1h2tf2tf1？傳熱系數？傳熱系數？多層、第三類邊條多層、第三類邊條1 單層圓筒壁單層圓筒壁圓柱坐標系：圓柱坐標系：ztztrrtrrrtc)()(1)(12一維、穩態、無內熱源、常物性：一維、穩態、無內熱源、常物性：0)dd(ddrtrr第一類邊界條件：第一類邊界條件：2211wwttrrttrr時時(a)假設單管長度為假設單管長度為l，圓筒壁的外半，圓筒壁的外半徑小于長度的徑小于長度的1/10。 2.3.2 通過圓筒壁的導熱通過圓筒壁的導熱

5、對上述方程對上述方程(a)積分兩次積分兩次:211ln crctcdrdtr22122111ln ;lncrctcrctww)ln(ln)( ;)ln(121121212121rrrtttcrrttcwwwww第一次積分第一次積分第二次積分第二次積分應用邊界條件應用邊界條件獲得兩個系數獲得兩個系數)ln()ln( 112121rrrrttttwww將積分常數帶入通解將積分常數帶入通解顯然，溫度呈對數曲線分布顯然，溫度呈對數曲線分布圓筒壁內溫度分布：圓筒壁內溫度分布：)ln()ln()(121211rrrrttttwww212212212211)ln( ;1)ln(rrrttdrtdrrrttd

6、rdtwwww圓筒壁內溫度分布曲線的形狀？圓筒壁內溫度分布曲線的形狀？向上凹若 0 : 2221drtdttww向上凸若 0 : 2221drtdttww下面來看一下圓筒壁內部的熱流密度和熱流分布情況下面來看一下圓筒壁內部的熱流密度和熱流分布情況21221mW)ln(ddrrttrrtqwwW 2)ln( 2211221Rttlrrttrlqwwww)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrttdrdtww1)ln(1221長度為長度為 l 的圓筒的圓筒壁的導熱熱阻壁的導熱熱阻雖然是穩態導熱，但雖然是穩態導熱，但熱流密度熱流密度 q 與半徑與半徑 r 成反比！成反比！4 n層

7、圓筒壁層圓筒壁由不同材料構成的多層圓筒壁，其由不同材料構成的多層圓筒壁，其導熱熱流量可按總溫差和總熱阻計算導熱熱流量可按總溫差和總熱阻計算mW ln21W ln2111)1(111)1(1niiiinwwlniiiinwwrrttqrrLtt通過單位長度圓筒壁的熱流量通過單位長度圓筒壁的熱流量單層圓筒壁，第三類邊界條件，穩態導熱單層圓筒壁，第三類邊界條件，穩態導熱 )(2ln21 )(222222122111111fwrlwwlwfrltthrqrrttqtthrqmW 21ln21212122121121lfffflRttrhrrrhttq通過單位長度圓筒壁傳熱過程的通過單位長度圓筒壁傳熱過

8、程的熱阻熱阻 mK/Wh1h2多層圓筒壁傳熱多層圓筒壁傳熱121111211ln211nniiiiffldhdddhttq類似地，可通過球殼的導熱推導出類似地，可通過球殼的導熱推導出2-33，2-34，2-35式式 2.3.3 通過球殼的導熱通過球殼的導熱2.3.5 變截面或變導熱系數的一維問題變截面或變導熱系數的一維問題求解導熱問題主要有兩種途徑：求解導熱問題主要有兩種途徑：求解導熱微分方程，獲得溫度場；根據求解導熱微分方程，獲得溫度場；根據Fourier定律計定律計算熱流量算熱流量; 對于穩態、無內熱源、第一類邊界條件下的一維導熱對于穩態、無內熱源、第一類邊界條件下的一維導熱 問題，可以不

9、通過溫度場而直接應用問題，可以不通過溫度場而直接應用Fourier定律獲得定律獲得熱流量。此時，熱流量。此時， 一維一維Fourier定律：定律：xtxAtdd)()(當當 (t), A=A(x)時，時，xtAdd 2.3.4 帶第二類、第三類邊界條件的導熱實例帶第二類、第三類邊界條件的導熱實例分離變量后積分，并注意到熱流量分離變量后積分，并注意到熱流量與與x 無關無關(穩態穩態)，得，得1221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxttxtxAtdd)()()()()()()(12121212212121tttttttttdttxAdxttttxx當當 隨溫度呈線性分布時，即隨溫度呈

10、線性分布時，即 0at，則，則2210tta實際上，不論實際上，不論 如何變化，只要能計算出平均導熱系如何變化，只要能計算出平均導熱系數，就可以利用前面講過的所有定導熱系數公式，只數，就可以利用前面講過的所有定導熱系數公式，只是需要將是需要將 換成平均導熱系數。換成平均導熱系數。2-4 通過肋片的導熱通過肋片的導熱第三類邊界條件下通過平壁的一維穩態導熱：第三類邊界條件下通過平壁的一維穩態導熱：為了增加傳熱量，可以采取哪些措施為了增加傳熱量，可以采取哪些措施?W 112121AhAAhttff（1）增加溫差（）增加溫差（tf1 - tf2），但受工藝條件限制），但受工藝條件限制（2）減小熱阻：）

11、減小熱阻： a) 金屬壁一般很薄金屬壁一般很薄( 很小很小)、熱導率很大，故導熱熱阻一般可忽略、熱導率很大，故導熱熱阻一般可忽略b) 增大增大h1、h2，但提高，但提高h1、h2并非任意的并非任意的c) 增大換熱面積增大換熱面積 A 也能增加傳熱量也能增加傳熱量在一些換熱設備中，在換熱面上加裝肋片是增大換熱量的重要手段在一些換熱設備中，在換熱面上加裝肋片是增大換熱量的重要手段肋壁：直肋、環肋；等截面、變截面肋壁：直肋、環肋；等截面、變截面2.4.1 通過等截面直肋的導熱通過等截面直肋的導熱l假設：假設：矩形直肋矩形直肋肋根溫度為肋根溫度為t0，且且t0 t 肋片與環境的表肋片與環境的表面傳熱系

12、數為面傳熱系數為 h. ，h和和Ac均保持均保持不變不變求：求：溫度場溫度場 t 和熱流量和熱流量 分析：分析：嚴格地說，肋片中的溫度場是三維、穩態、無內熱嚴格地說，肋片中的溫度場是三維、穩態、無內熱 源、常物性、第三類邊界條件的導熱問題。但由于源、常物性、第三類邊界條件的導熱問題。但由于三三 維問題比較復雜，故此，在忽略次要因素的基礎上，維問題比較復雜，故此，在忽略次要因素的基礎上， 將問題簡化為一維問題。將問題簡化為一維問題。簡化：簡化：a 寬度寬度 l 和和 H 肋片寬度方向溫度均勻肋片寬度方向溫度均勻 l = 1 b 大、大、 H，認為溫度沿厚度方向均勻，認為溫度沿厚度方向均勻 ( /

13、2 )/ 1/ h:內部肋厚度方向的導熱熱阻遠小于肋表面上的對流熱阻邊界：邊界：肋根：第一類；肋端：絕熱；四周：對流換熱肋根：第一類；肋端：絕熱；四周：對流換熱求解：求解：這個問題可以從兩個方面入手：這個問題可以從兩個方面入手： a 導熱微分方程，例如書上第導熱微分方程，例如書上第59頁頁 b 能量守恒能量守恒Fourier law能量守恒：能量守恒：dxxxdFourier 定律：定律：xtAcxddxxtAxxcxxxxxdddddd22d)(ttPdxhdNewton冷卻公式：冷卻公式：0)(dd22ttAhPxtc關于溫度的二階非關于溫度的二階非齊次常微分方程齊次常微分方程0)(dd2

14、2ttAhPxtc導熱微分方程：導熱微分方程：混合邊界條件：混合邊界條件：0dd000 xHxttx時，時，引入過余溫度引入過余溫度 。令。令ttconstcAhPm222ddmx則有：則有：關于溫度的二階齊關于溫度的二階齊次常微分方程次常微分方程方程的通解為：方程的通解為：mxmxecec21應用邊界條件可得：應用邊界條件可得：mHmHmHmHmHmHeeeceeec0201)(ch)(ch0)()(0mHxHmeeeemHmHxHmxHm最后可得等截面內的溫度分布：最后可得等截面內的溫度分布：xxxxxxxxeeeexeexeex)( th;2)(ch ;2)(sh雙曲余弦函數雙曲余弦函數

15、雙曲正切函數雙曲正切函數雙曲正弦函數雙曲正弦函數穩態條件下肋片表面的散熱量穩態條件下肋片表面的散熱量 = 通過肋基導入肋片的熱量通過肋基導入肋片的熱量)(th)(th000mHmhPmHmAdxdAcx肋端過余溫度：肋端過余溫度： 即即 x H)(ch1)(ch)(ch00mHmHxHm幾點說明：幾點說明：(1) 上述推導中忽略了肋端的散熱（認為肋端絕熱）。對上述推導中忽略了肋端的散熱（認為肋端絕熱）。對于一般工程計算，尤其高而薄的肋片，足夠精確。若必于一般工程計算，尤其高而薄的肋片，足夠精確。若必須考慮肋端散熱，取：須考慮肋端散熱，取：H=H + /2(2)上述分析近似認為肋片溫度場為一維。

16、上述分析近似認為肋片溫度場為一維。當當Bi=h / 0.05 時，誤差小于時，誤差小于1%。對于短而厚的肋片，。對于短而厚的肋片，二維溫度場，上述算式不適用；實際上，肋片表面上表面二維溫度場，上述算式不適用；實際上，肋片表面上表面傳熱系數傳熱系數h不是均勻一致的不是均勻一致的 數值計算數值計算2.4.2 肋效率與肋面總效率肋效率與肋面總效率 為了從散熱的角度評價加裝肋片后換熱效果，引進為了從散熱的角度評價加裝肋片后換熱效果，引進肋片效率肋片效率0基溫度下的散熱量假設整個肋表面處于肋實際散熱量肋片效率fmHmHhPHmHmhP)(th)(th00flPl2cAhPm2322HHhHllhHAhP

17、mHc1、 等截面直肋的效率等截面直肋的效率23212322HAhHHhmHLLAH 肋片的縱截面積肋片的縱截面積影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導率影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導率 、肋片表面與周圍介、肋片表面與周圍介質之間的表面傳熱系數質之間的表面傳熱系數 h、肋片的幾何形狀和尺寸（、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）查得肋效率查得肋效率 后，可求通過肋片的散熱量：后，可求通過肋片的散熱量： f00hPHff2 通過環肋及三角形截面直肋的導熱通過環肋及三角形截面直肋的導熱 為了減輕肋片重量、節省材料，并保持散熱量基本不變，為了減輕肋片重量、節省材料，并保持散熱量基本不變，需要采用變截面

18、肋片，環肋及三角形截面直肋是其中的兩需要采用變截面肋片，環肋及三角形截面直肋是其中的兩種。種。 對于變截面肋片來講，由于從導熱微分方程求得的肋片對于變截面肋片來講，由于從導熱微分方程求得的肋片散熱量計算公式相當復雜，因此，人們仿照等截面直肋。散熱量計算公式相當復雜，因此，人們仿照等截面直肋。利用肋片效率曲線來計算方便多了，書中圖利用肋片效率曲線來計算方便多了，書中圖219和和220分別給出了等截面直肋、三角形直肋和矩形剖面環肋的效分別給出了等截面直肋、三角形直肋和矩形剖面環肋的效率曲線。率曲線。例題例題2-6 分析溫度及套管的測溫誤差分析溫度及套管的測溫誤差圖圖 219圖圖 220)()()(

19、)()(ofoofoffrfofffortthAtthAAtthAtthArfoAAA3、 肋面總效率肋面總效率如圖如圖2-22所示：由所示：由n片類組成的肋化表面，片類組成的肋化表面， Af：肋片表面積；：肋片表面積； Ar：兩肋片之間的根部表面積；：兩肋片之間的根部表面積；其中，其中，稱為肋面總效率。稱為肋面總效率。frffrAAAAo2.4.3 肋片的選用與最小重量肋片肋片的選用與最小重量肋片 在傳熱弱的一側安肋片是為了強化傳熱，但是安肋后將產生兩方在傳熱弱的一側安肋片是為了強化傳熱，但是安肋后將產生兩方面的效果：面的效果： 首先，增加了對流換熱的面積，從而減小了對流熱阻首先，增加了對流

20、換熱的面積，從而減小了對流熱阻，強化傳熱；另一方面，安肋以后增加了通過固體的導熱熱阻，強化傳熱；另一方面，安肋以后增加了通過固體的導熱熱阻，削弱傳熱。因此，安肋后是否能起到增強傳熱的目的就取決于要削弱傳熱。因此，安肋后是否能起到增強傳熱的目的就取決于要看總熱阻是不是減少了。看總熱阻是不是減少了。 Bi0.25時，安肋有利于強化傳熱。時，安肋有利于強化傳熱。 其中，其中，是半個肋厚度。是半個肋厚度。從單位重量散熱量最優化分析知，在一定散熱量下，最優肋片的從單位重量散熱量最優化分析知，在一定散熱量下，最優肋片的截面型線應為拋物線形，鑒于制造工藝方面的考慮，一般選取三截面型線應為拋物線形，鑒于制造工

21、藝方面的考慮，一般選取三角形肋片。角形肋片。hBi 2.4.4 接觸熱阻接觸熱阻實際固體表面不是理想平整的，所以兩固體表面直接接觸的界實際固體表面不是理想平整的，所以兩固體表面直接接觸的界面容易出現點接觸，或者只是部分的而不是完全的和平整的面面容易出現點接觸，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接觸接觸 給導熱帶來額外的熱阻給導熱帶來額外的熱阻當界面上的空隙中充滿導熱系當界面上的空隙中充滿導熱系數遠小于固體的氣體時，接觸數遠小于固體的氣體時，接觸熱阻的影響更突出熱阻的影響更突出 接觸熱阻接觸熱阻當兩固體壁具有溫差時，接合當兩固體壁具有溫差時，接合處的熱傳遞機理為接觸點間的處的熱傳遞機理為接觸點

22、間的固體導熱和間隙中的空氣導熱，固體導熱和間隙中的空氣導熱，對流和輻射的影響一般不大對流和輻射的影響一般不大(Thermal contact resistance）（1）當熱流量不變時，接觸熱阻）當熱流量不變時，接觸熱阻 rc 較大時，必然較大時，必然 在界面上產生較大溫差在界面上產生較大溫差13()ABcAA Bttqr（3）即使接觸熱阻）即使接觸熱阻 rc 不是很大，若熱流量很大，不是很大，若熱流量很大， 界面上的溫差是不容忽視的界面上的溫差是不容忽視的13ABcAA Bttqr接觸熱阻的影響因素：接觸熱阻的影響因素：（1）固體表面的粗糙度）固體表面的粗糙度（3）接觸面上的擠壓壓力）接觸面

23、上的擠壓壓力例：例：（2）接觸表面的硬度匹配）接觸表面的硬度匹配（4）空隙中的介質的性質）空隙中的介質的性質在實驗研究與工程應用中，消除接觸熱阻很重要在實驗研究與工程應用中，消除接觸熱阻很重要導熱姆（導熱油、硅油）、銀導熱姆（導熱油、硅油）、銀先進的電子封裝材料先進的電子封裝材料 （AIN），導熱系數達），導熱系數達400以上以上5242610Wm2.6410m KW158.4 Ccccqrtqr2-5 具有內熱源的一維導熱問題具有內熱源的一維導熱問題2.5.1 具有內熱源的平板導熱具有內熱源的平板導熱 如果平壁內有均勻的內熱如果平壁內有均勻的內熱源源q qv v，且認為導熱系數，且認為導熱系

24、數為為常數常數, ,平壁兩邊同時與溫度為平壁兩邊同時與溫度為t tf f的流體發生對流換熱的流體發生對流換熱, ,表面表面傳熱系數為傳熱系數為h h。 tf h 2 tf h 0 x qv022vqdxtd0, 0dxdtx,()fdtxh ttdx2122cxcxqtv積分后：積分后：22()2vvfqqttxh溫度分布：溫度分布：22()2vwqttx第一類邊界第一類邊界條件的解：條件的解：vdtqq xdx 熱流密度：熱流密度：hqqttvvf2max2x=0：2.5.2 通過含內熱源圓柱體的導熱通過含內熱源圓柱體的導熱 wwvttrrdrdtrqdrdtrdrdr,; 0, 0; 01

25、積分上面的微分方程兩次有積分上面的微分方程兩次有 2124cnrcrqtvtctwrwr0由傅里葉定律由傅里葉定律得出：得出：)(2wLrqv熱流密度分布熱流密度分布 ：)/(22mwrqqvr=0處處,圓柱體內的最高溫度圓柱體內的最高溫度： 2max4v wwq rtt帶入邊界條件得溫度分為：帶入邊界條件得溫度分為： 224rrqttwvw2rqdrdtv2.6.2 計算導熱量的形狀因子法計算導熱量的形狀因子法 2-6 多維穩態導熱的求解多維穩態導熱的求解12tttAA 12221111lnln22tttrrlrlr 比較平壁導熱公式和圓筒比較平壁導熱公式和圓筒壁導熱公式壁導熱公式: : 兩等溫面間的導熱兩等溫面間的導熱公式總可以表示為公式總可以表示為: :St S S與導熱體形狀、大與導熱體形狀、大小有關，稱為形狀因小有關，稱為形狀因子子2.6.3 分離變量法舉例分離變量法舉例 如圖如圖2-30，二維矩形域常物性無內熱源穩態導熱，四個邊界為非，二維矩形域常物性無內熱源穩態導熱，四個邊界為非奇次第一類邊界條件，三個邊界溫度同為奇次第一類邊界條件，三個邊界溫度同為t1，一個邊界溫度為，一個邊界溫度為t2 222211120;(0, ),( , );( ,0)( , )ttxytytt a ytt xtt x bt引入量綱為一的變量：引入量綱為一的變量： 使三個