1、待定系數法求特殊數列的通項公式靖州一中蔣利在高中數學教學中，經常碰到一些特殊數列求通項公式，而這些問題在高考和競賽中也經常出現，是一類廣泛而復雜的問題，歷屆高考常以這類問題作為一道重大的試題。因此，在教學中，針對這類問題，提供一些特殊數列求通項公式范例，幫助同學們全面掌握這類問題及求解的一般方法。求數列的通項公式，最為廣泛的的辦法是：把所給的遞推關系變形，使之成為某個等差數列或等比數列的形式，于是就可以由此推得所給數列的通項公式。求解的關健在于變形的技巧，而變形的技巧主要在于引進待定系數。其基本原理是遞推關系兩邊加上相同的數或相同性質的量，構造數列的每一項都加上相同的數或相同性質的量，使之成為

2、等差或等比數列。具體的求解過程詳見示例。第一類別：an=Aan-i+B例1設x1=2，且xn=5xn+7.求數列的通項公式解：所給的遞推公式可變形為xn+m=5xn+7+m=5（xn+7+m）,令m=7+m.貝Um=-55554于是xn+-=5（xn+Z）,xn+'是等比數列，其首項為444x#7=15,公比為q=5.于是xn+7=155n,4444所以xn=155仃-44.一一3x.,例2設xi=1,且xn=（n=2,3,4,）2xn45求數列xn的通項公式解：所給的遞推公式可變為：1=5+2xn3xn4323mmt1/m=-+，貝Um=15515,123m、人+m=(+),vxn3

3、xn二55于是1+1=5（，+1）。1+1是等比數列，xn3xn1xn其首項是1+1=2,公比是q=5x13于是2+1=2(5)o所求的xn=算Fxn32.5n-3第二類別:an=Aan-1+Ban-2例3設x1=1,x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,(n=3,4,)求數列xn的通項公式解：所給的遞推公式可變為xn+mxn-1=(m+13)xn-1-22xn-2=(m+13)(xn-122xn-2)m13人22令m=-,則m=2,或m=11m13于是xn-2xn-1=11(xn-1-xn-2),xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)xn-2xn-1,xn-11xn-1都是等比數

4、列，其首項與公比分別為x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。于是xn-2xn-1=311n-2,xn-11xn-1=-6-2n-t由此消去xn-1可得xn=(11-1+2n)/3例4:設Xi=1,x2=2。且xn=7xn-i+18xn-2(n=3,4,)求數列Xn的通項公式解：所給的遞推公式可變為Xn+mXn-1=(m+7)Xn-1+18Xn-2=(m+7)(xn-1+18Xn-2)m7令m=18,貝Um=2,或m=-9m7Xn+2xn-1=9(xn-1+2Xn-2),Xn-9Xn-1=-2(Xn-1-9Xn-2)Xn+2Xn-1與Xn-9Xn-1都是等比數列，其首項與公比

5、分別為X2+2x1=4,q=9oX2-9x1=-7,q=-2由此消去Xn-1可得Xn=(49n-1+7(-2)n-1)/11第三類別：an=Aan-1+f(n)例5設X1=1,且Xn=3xn-1+5n+1(n=2,3,)(1)求數列Xn的通項公式解：X2=14,于是(1)把n改成n-1得Xn-1=3Xn-2+5(n-1)+1(2)兩式相減得Xn-Xn-1=3(Xn-1-Xn-2)+55m、Xn-Xn-1+m=3(Xn-1-Xn-2)+5+m=3(Xn-1-Xn-2+)33令m=5+m,貝Um=-。于是Xn-Xn-1+=3(Xn-1-Xn-2+5)332225Xn-Xn-1+是等比數列，2其首項

6、為乂?"。"31,其公比q=3022于是Xn-Xn-1+芻=義3n-2(3)22由(1)與(3)消去Xn-1得Xn=(31-3n-1-10n-17)/4例6:設Xi=4,且Xn=5xn-1+7n3(n=2,3,)(1)求數列Xn的通項公式方法1解：X2=31,于是(1)把n改成n-1得Xn-1=5xn-2+7(n-1)-3(2)兩式相減得Xn-Xn-1=5(Xn-1-Xn-2)+77m、Xn-Xn-1+m=5(xn-1-Xn-2)+7+m=5(xn-1-Xn-2H)5令m=75m,貝Um=7。Xn-Xn-1+7=5(xn-1-Xn-2+7)Xn-Xn-1+-是等比數列，其首

7、項為X2-X1+Z=115,444其公比q=5。于是Xn-xn-1+7=115-5n-2(3)44由(1)與(3)消去Xn-1得Xn=1(235n-28n-23)16方法2:所給的遞推公式可變為Xn+An+B=5(xn-1+AnB+設A(n-1)+B=An+B57n-3+57n-35比較系數得A=-A+B=由此求得A=7,4Xn+28T=5(X5B=2|B-3516n-1+283H),于是1628n2316是等比數列，其首項為X1+51=1151616其公比q=5。于是xn+1616所以Xn=(23-5n-28n-23)16例7,設X1=2，且Xn=3xn-1+2n2+1,求數列Xn的通項公式

8、解：所給的遞推公式可變為Xn+An2+Bn+C=3(xn-iAn2BnC32n21)3設A(n-1)2+B(n-1)cAn2BnC2n21+C=33A2BC1比較系數得：A=A32,-2A+B=；,A-B+C=C3：由此求得A=1,B=3,C=o于是22n26n72(n-1)26(n-1)7、Xn+=3(xn-1+)1)222n26n71519,Xn+2n£7是等比數列，其首項為乂什；=1；,其公比_2_一2n6n719/1q=30于是Xn+=一3o所以Xn=1(19-3n-1-2n2-6n-7)2例8:設X1=1,且Xn=-xn-1+3-2n,(n=2,3,)(1)求數列Xn的通項

9、公式xn-i=-xn-2+32n-1,2xn-i=-2xn-2+3-2n(2)(1)一(2)得xn-2xn-1=-xn-l+2xn-2o即Xn=xn-l+2xn-2xn+mxn-i=(m+1)(xn-1+2xn-2)o令m=2,則m=1,m=-2m1m-1是S:xn+xn-1=2(xn-1+xn-2)；xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2)xn+xn-1與xn-2xn-1都是等比數列，其首項與公比分別為首項x2+x1=12,公比q=20首項x2-2x1=9,公比q=-1。于是xn+xn-1=12-2n-2,xn-2xn-1=9(-1)n-2由此消去xn-1得xn=2n+1+3(-1)n練習：1設x1=5,且xn=7xn-1+8n+3,(n=2,3,)求數列xn的通項公