1、平面向量應試技巧總結向量有關概念：1 .向量的概念：既有大小又有方向的量,注意向量和數量的區別.向量常用有向線段來表示,注意不能說向量就是有向線段,為什么？向量可以平移.如：A1,2,B4,2,那么把向量點按向量2=1,3平移后得到的向量是答：3,02 .零向量：長度為0的向量叫零向量,記作：0,注意零向量的方向是任意的；3 .單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量與W共線的單位向量是且;|碣4 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;5 .平行向量也叫共線向量：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,記作：a/b,規定零向量和任何向量平行提醒：相等向

2、量一定是共線向量,但共線向量不一定相等;兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！由于有0；三點AB、C共線a!aC共線;6 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是一ao如anu貝IC4.a假設5)以下命題：1假設a4,那么a兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同,終點相同.3假設ABdC,那么ABCD是平行四邊形.4假設ABCD是平行四邊形,那么"ABW.6假設力/b,b/c,那么臺C.其中正確的選項是(答：(4)(5)向量的表小方法：1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表

3、示,如AB,注意起點在前,終點在后；2 .符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示,如a,b,c等；3 .坐標表示法：在平面建立直角坐標系,以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量：,j為基底,那么平面的任一向量a可表示為叫做向量a的坐標表示.如果向量的起點在原點,那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.平面向量的根本定理：如果e1和&是同一平面的兩個不共線向量,那么對該平面的任向量a,有且只有一對實數1、2,使a=1e1+2e2.如(1)假設a(1,1)(1,1),(1,2),那么(2)以下向量組中,能作為平面所有向量基底的是A.e1(0,0)©(1,2)B.e(1,2),e,(5,

4、7)C.e(3,5),e'(6,10)r.13e(2,3),e2(2,4)(答：B);(3)aD,bEk分別是ABC的邊BC,AC上的中線,且AD&品b,那么BC可用向量表小為(4)ABC中,點D在BC邊上,且CD2DB,CDrABsAC,貝Urs的值是(答：0)四.實數與向量的積：實數與向量a的積是一個向量,記作a,它的長度和方向規定如下：1a|a,2當>0時,1的方向與2的方向相同,當<0時,2的方向與I的方向相反,當=0時,a0,注意：aw0.五.平面向量的數量積：1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a,b,作OAa,oB3,AOB0稱為向量a,b的夾角,當=0

5、時,a,b同向,當=時,a,b反向,當=時,a,b垂直.2口上,口«匚由人公一口-八一s-八、,一,",442 .平面向重的數重積：如果兩個非布向重a,b,匕們的夾角為,我們把數年|a|b|cos叫做a與b的數量積或積或點積,記作：a?b,即a?b=a/cos.規定：零向量與任一向量的數量積是0,注意數量積是一個實數,不再是一個向量.如(1)ABC中,|AB|3,|AC|4,|BC|5,那么ABBC答：9;2才1,b0,1,cakb,dab,C與力的夾角為一,那么k等于224答:1；3a2,b5,1|33,那么ab等于答：疝;4a,b是兩個非零向量,且Jra3. b在a上的

6、投影為|b|cos,它是一個實數,但不一定大于0o如|a|3,|b|5,且ab12,那么向量a在向量b上的投影為124. a?b的幾何意義：數量積a?b等于a的模1a1與b在a上的投影的積5. 向量數量積的性質：設兩個非零向量a,b,其夾角為,那么:aba?b0;當a,b同向時,a?b=2Jraa;當a與b反向時,aa?b>0,且ab不同向,ab0是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時,a?b<0,且區b不反向,0是為鈍角的必要非充分條件；非零向量a,b夾角的計算公式：cosa?b；1a?bidubaJbi|.如(1)a(,2),b(2)OFQ的面積為(3,2),如果a與b的夾角為銳

7、角,那么的取值圍是(3)a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a與b之間有關系式ka用k表示ab；求ab的最小值,并求此時與b的夾角的大小TTk.3S,且OFFQ1,假設-S那么of,FQ夾角的取值圍21160；)(答：ab寸住°)；最小值為:六.向量的運算：1.幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法那么進行,但“平行四邊形法那么只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法那么：設aBa,BCb,那么向量nC叫做與b的和,即abaBbCaC；向量的減法：用“三角形法那么的終點指向被減向量的終點.注息：此處減向量與被減向量的起點相同.如(D化簡：aBbCcD

8、；aBaDdC；(點cD)(溫畝)(2)假設正方形ABCD的邊長為1,ABa,BCb,aCC,那么Ab2|=(答:2五);(3)假設0是&ABC所在平面一點,且滿足oBoC.oBoC20A,那么kABC的形狀答：直角三角形；(4)假設D為ABC的邊BC的中點,ABC所在平面有一點P,滿足設,那么的值為答：2;(5)假設點.是4ABC的外心,且OAOBCO%,那么ABC的角C為(答:120；);(xi,yi),b(X2,y2),那么:2.坐標運算:向量的加減法運算：ab(x1x2,y1y2).如(1)點A(2,3),B(5,4),C(7,10),假設APaBaC(R),那么當=時,點P在

9、第、三象限的角平分線上2)；(2)A(2,3),B(1,4),且(sinx,cosy),x,y(-),那么xy222(答：或)；62(3)作用在點A(1,1)的三個力目(3,4),F2(2,5),F3(3,1),那么合力F月F2f3的終點坐標是(答：(9,1)Jra,X1y1,X1假設A(oy)B(x2,y2),那么WX2x1,y2y1,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.如設A(2,3),B(1,5),且tCitB,aD3aB,那么C、D的坐標分別是3“11(答：(17),(7,9);I平面向量數量積：a?bx1x2y1y2.如f向量a=(sinx,cos4,b

10、=(sinx,sinx),c=(1,0).(1)假設x=&,求向量a、31c的夾角；(2)右xC一,函數f(x)ab的取大值為一,求的值842(答：(1)150;(2)1或后1);2.iI彳2S42二00向重的模：|a|Jxy,a|a|xy.如a,b均為單位向量,它們的夾角為60：,那么電3b|=(答：VT3)；兩點間的距離：假設A*,yi,BX2,y2,那么2 .結合律：ab3 .分配律:如4,bJraTataJrclbIla,HICI4JD1-a,4faJraJraJra1-c-Tb?JraJralb?Jra4,b?Tadie?JraoJrc?lb?Jfa卜列命題中：a(bc)ab

11、ac;a(bc)(ab)c;(ab)|a|或oa貝7oba假設-ranu貝Jrclb4a22o2Mlb4bTa2其中正確的選項是:22上|ab|JX2xy2y1.如如圖,在平面斜坐標系xOy中,xOy60：,平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：假設OPxSyW,其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量,那么P點斜坐標為(x,y).(1)假設點P的斜坐標為(2,2),求P到.的距離|P0|;(2)求以.為圓心,1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程.(答：(1)2;(2)x2y2xy10);七.向量的運算律：答：提醒：1向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式,可以移項,

12、兩邊平方、兩邊同乘以一個實數,兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除相約；2向量的“乘法不滿足結合律,即ab?ca?bc,為什么？八.向量平行共線的充要條件：a/b(|!|b|)2x1y2y1x2=0.如1假設向量ax,i,b4,X,當*=時a與b共線且方向相同(答：2或11)X1X2NN20.特別地(1)OA(1,2),oB(3,m),假設OA(答：2);(2)a(1,1),b(4,X),ua2b,v2b,且力v,那么x=(答：4);I(3)設PA(k,12),pB(4,5),pC(10,k),那么k=時,A,B,C共線九.向量

13、垂直的充要條件：工bab0|ab|ab|2以原點O和A4,2為兩個頂點作等月直角三角形OAB,B90,那么點B的坐標是答：1,3或3,-1;(3)n(a,b),向量(答:(b,a)或(b,a)十.線段的定比分點：1.定比分點的概念：設點P是直線P1P2上異于P1、P2的任意一點,假設存在一個實數使pPP甘,那么叫做點P分有向線段定比分點；所成白比,p點叫做有向線段pp2的以定比為的2 .的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段PF?上時>0;當P點在線段P1P2的延長線上時<1；當p點在線段P2P1的延長線上時1有向線段Pp2所成的比為,那么點p分有向線段點所成的比為-o如0;

14、假設點P分假設點P分點所成的比為-,那么A分點所成的比為43 .線段的定比分點公式：設以不,火)、P2(x2,y2),P(x,y)分有向線段笳2所成的比為,特別地,當=1時,就得到線段P1P2的中點公式y2yxx22y1y2.在使用定2比分點的坐標公式時,應明確(x,y),(xi,yi)、(x2,y2)的意義,即分別為分點,起點,終點的坐標.在具體計算時應根據題設條件,靈活地確定起點,分點和終點,并根據這些點確定對應的定比.如一11)假設M-3,-2),N6,-1),且MP-MN,那么點P的坐標為3A(a,0),B(3,2a),直線y1ax與線段AB交于M,且7M2MB,那么a等于2卜一.平移

15、公式：如果點P(x,y)按向量la(答：2或4)h,k平移至P(x,y),那么xxh;曲線yykf(x,y)0按向量ah,k平移得曲線f(xh,yk)0.注意：(1)函數按向量平移與平常左加右減有何聯系？2向量平移具有坐標不變性,可別忘了啊！如1按向量a把2,3平移到1,2,那么按向量a把點7,2平移到點答：8,3;2函數ysin2x的圖象按向量a平移后,所得函數的解析式是ycos2x1,那么2=答：一,1412、向量中一些常用的結論：1一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運用；l|a|b|b|,特別地,當ab同向或有0|日|山|Ab|a|b|這些和實數比擬類似.(3)在ABC中,假設AX1,y1,Bx2,y2,CX3,y3,那么其重心的坐標為XiX2X3%y2y3.如假設,ABC勺三邊的中點分別為2,1、-3,4、標為-1,那么/ABC勺重心的坐DPG1(PAPBpC)3G為ABC的重心,特別地PApBpC0P為