1、常見不定積分的求解方法的討論指導老師：封新學摘要介紹不定積分的性質，分析常見不定積分的各種求解方法：直接積分法、第一類換元法（湊微法）、第二類換元法、分部積分法，并結合實際例題加以討論，以便于在解不定積分時能快速選擇最佳的解題方法。關鍵詞不定積分直接積分法第一類換元法（湊微法）第二類換元法分部積分法。ThediscussionofcommonindefiniteintegralmethodofcalculatingMaZhengAbstracttherearefoursolutionsofindefiniteintegrationinthisdiscourse:directintegratio

2、n;exchangeableintegration;parcelintegration.Itdiscussedthefeasibilitywhichthesewaysinthesolutionofintegration,anditishelpfultosolveindefiniteintegrationquickly.KeywordsIndefiniteintegration,exchangeableintegration,parcelintegration.0引言不定積分是高等數學中的一個重要內容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關積分的函數的基礎，要解決以上問題，不

3、定積分的問題必須解決，而不定積分的基礎就是常見不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運算時有一定的法則，它要根據不同題型的特點采用不同的解法，積分運算比起微分運算來，不僅技巧性更強，而且也已證明，有許多初等函數是“積不出來”的，就是說這些函數的原函數不能用初等函數來表示，例如dxsinx,、,21,r2dxe-xdx；dx-ksinx(其中0k完全抵消。d抵消后差一常數。2 .兩函數代數和的不定積分，等于它們各自積分的代數和，即：Jf(x)-g(x)dx=ff(x)dxjg(x)dxo3 .在求不定積分時，非零數可提到積分符號外面，即：kf(x)dx=k1f(x)dx(k項。在這里，給出兩個重

4、要定理：(1)導數為0的函數是常函數。(2)若兩函數的導數處處相等，則兩函數相差一個常數。以便于更好的解決一些簡單的不定積分問題。上面將不定積分的概念以及性質做了簡單的介紹，下面，我們開始討論不定積分的各種求解方法。2直接積分法(公式法)從解題方面來看，利用不定積分的定義來計算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運算性質和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種方法就是直接積分法（另稱公式法）。F面先給出基本求導公式:(9)(kx)=k1(lnx);x(arcsinx)=(cosx)=-sinx(11)(cotx)=-csc2x1(x)x，1(arctanx);八、，1(6)(logax)ga

5、xlna(8)(sinx)=cosx(10)(tanx)=sec2x根據以上基本求導公式，我們不難導出以下基本積分表:(1)kkdx=kx+C(k是常數)1xdx：C(J)(9)dx,八f=lnx+Cx1dx二arcsinxC2一xexdx=exCsinxdx-cosxC(6)(10)1,；dx=arctanxC1x2xaxdx)-a-Clnacosxdx二sinxCse(2xdx=tanxC(11)csc2xdx-cotxCF面舉例子加以說明:2例2.1：求(3x-4x+1)dx原式=3x2dx-4xdxdx=3x2dx-4xdxdx32=3(x01)-4(|C2)(xC3)32=x3-2x

6、2xC注意：這里三個積分常數都是任意的，故可寫成一個積分常數。所以對一個不定積分，只要在最后所得的式子中寫上一個積分常數即可，以后遇到這種情況不再說明。2例2.2:求2.ddxdxx21x1(x21)-1.dY解原式=J2+4dx=Jdxx1=x-arctanxC注：此處有一個技巧的方法，這里先稱作“加1減1”法，相當于是將多項式拆分成多個單項式，然后利用基本積分公式計算，下面的例題中還會遇到類似的題型，遇到時具體講解。直接積分法只能計算較簡單的不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表解決的不定積分，對于稍微復雜一點的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。3第一類換元法（湊微法）

7、利用基本積分公式和積分性質可求得一些函數的原函數，但只是這樣遠不能解決問題，如一2sinxcosxdx就無法求出，必須將它進行變形，然后就可以利用基本積分公式求出其積分。如果不定積分1f(x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數可分解為f(x)=g中(x)中，(x),作變量代換u=平(x),并注意到中(x)dx=d(x),則可將關于變量x的積分轉化為關于u的積分，于是有f(x)dx=g(x)(x)dx=g(u)du.如果g(u)du可以求出，不定積分f(x)dx的計算問題就解決了，這就是第一類換元法(湊微分法)。注：上述公式中，第一個等號表示換元x)u,最后一個等號表示回代u=(x).下面具體

8、舉例題加以討論10.例3,1:求(2x+1)dx.1解原式=丁0十葉白+1)”110=2(2x1)d(2x1)1111011_112x1=uiiduuCu=2x1(2x1)C2u21122)對變量代換比較熟練后，可省去書寫中間變量的換元和回代過程。例3.2:求-1d(x)x2-8x25解原式=2(x-4)29d(x)=d(x)14)12(：4)134-rcta-n-C3dx例3.3:求21一x11771r7(1-x)(1x)21x1-1”一頭21x1-x=1ln1+x-2ln1-x十Cln2在這里做一個小結，當遇到形如:dxgV2+hx+r的不定積分,axxc可分為以下3中情況:2.=axbx

9、c的:大于0時。可將原式化為（x-x1)(xx2),其中，x1、x2為ax2+bx+c=0的兩個解，則原不定積分為:dx1rd(x-xi)d(x-x2)一,:=一,：1T一T】(x-xi)(x-x2)(x2-xi)(x-xi)(x-x2)等于0時。可利用完全平方公式，然后可化成2.f(x-k)d(x-k)。然后根據基本微分公式(2)便可求解。4小于0時。形如例4,可先給分母進行配方。然后可根據基本積分公式(4)便可求解例3.4：求secxdxdxcosxdxdsinx原式.高二Ws二,丁嬴及dsinxdsinx(1-sinx)(1sinx)(1-sinx)1 rdsinx2 (1sinx)1

10、,1+sinx=In2 1-sinx該題也可利用三角函數之間的關系求解:2secxsecxtanx原式=dxsecxtanxsecxtanxd(secxtanx)=Insecx+tanx+C.雖然兩種解法的結果不同，但經驗證均為secx的原函數，這也就體現了不定積分的解法以及結果的不唯一性。例3.5:求COS2xdx1cos2xcos2xdx二62secxdx=(secx)2secxdx=(12ta2x)d(tan),1,dx=(dxcos2xdx)11一一dxcos2xd(2x)24xsin2x-)C24例3.6:求1se(6xdx.=(12tan2xtan4x)d(tanx)x2315c=

11、tanx-tanx-tanxC5注：當被積函數是三角函數的乘積時，拆開奇次項去湊微分。當被積函數為三角函數的偶數次屆時，常用半角公式通過降低哥次的方法來計算；若為奇次，則拆一項去湊微，剩余的偶次用半角公式降哥后再計算。求(x-1)dx100x解原式二x2-11100-dx(x-1)(x-1)9910dx(x-1)x1299(x-1)(x-1)100dx(x-1)+9898(x-1)(x-1)?00d(x一D1(x-1)97-971(x-1)49981-99-(x-1)C99注：這里也就是類似例2所說的方法，此處是“減1加1”法。4第二類換元法如果不定積分f(x)dx用直接積分法或第一類換元法不

12、易求得，但作適當的變量替換x=邛(t)后，所得到的關于新積分變量t的不定積分f(t)(t)dt可以求得，則可解決f(x)dx的計算問題，這就是所謂的第二類換元(積分)法。設x=平(t)是單調、可導函數，且限(t)#0,又設f?(t)F(t)具有原函數F(t),則ff(x)dx=ff)F(t)dt=F(t)+C=FT(x)+C,其中v(x)是x=*(t)的反函數。注：由此可見，第二類換元積分法的換元與回代過程與第一類換元積分法的正好相反。例4,1:求不定積分Ha2-x2dx(a0).解令*=asint,則dx=acostdt,t三(-冗/21/2),所以2、a2-x2dx=acostacostd

13、t=(1cos2t)dt212二a(t-sir2t)C:a(tsincoC222為將變量t還原回原來的積分變量x,由x=asint作直角三角形,得22.a-x可知c0st=，代入上式，a2a2x2dx),rcsin：注：對本題，若令x=acost1例4.2:求不定積分+a2dx(a0)解令乂=atant,貝Udx=asec2tdt,t(-n/2產/2),所以1,12:22dx=asec2tdt=sectdtxaasect=Insect+tant+C1=Inx+Jx2*a2*C1例4.3：求不定積分777a2dx(a0)解令乂=aseCt,則dx=asecttantd,h(0產/2),所以ase

14、cttantatantdt=sectdt=Insect+tant+Ci=Inx+Jx2-a2+C注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根22式，具一般規律如下：若果被積函數中含有a-x時，可令x=asint,小（一元/2，到2）；如果被積函數中含有口可，可令x=atant,3（一冗/2,冗/2）；如果被積函數中含有Jx2-1；可令x=士asedte（j/2）.例4.4:求不定積分dx_e-x解令t=ex(t0),生x一Int,所以，dxt。1dx；二-tdtx-X1eet-t2dt=arctantC=arct電n+C.例4.5:求不定積分xdx2-3x2.xdx1dx2解7m(

15、變形).22.2-t22_2.令t=j2-3x2(t之0),x-dx-tdt。31 1211.原式二9；(一Qtdt)=一dt=-w2-3xc2 t333關于第二類換元法，就舉些例子說明，具體要多做大量的習題，這樣才能找到該怎么樣換元的感覺，才能更好的掌握這種方法。5分部積分法前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計算問題，但有些積分，如xexdx、1fxe0sxdx等，利用換元法就無法求解.接下來要介紹另一種基本積分法一一分部積分法.設函數u=u(x)和v=v(x)具有連續導數，貝Ud(uv)=vdu+udv移項得到udv=d(uv)-vdu,所以有fudv=uv-1vdu或uuvdx

16、=uv-uvd.上面兩個式子稱為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分的關鍵在于如何將所給積分f(x)dx化成fudv的形式，使它更容易計算.所采用的主要方法就是湊微分法，例如，xexdx=xdex=xex【exdx=xex-exC=(x-1)exC利用分部積分法計算不定積分，選擇好u,v非常關鍵，選擇不當將會使積分的計算變得更加復雜。下面將通過例題介紹分部積分法的應用。例5.1：求不定積分fxcosxdx.解令u=x,cosxdx=dsinx=dv,貝Uxcosxdx=xdsinx=xsinx-sinxdx=xsinxcosxC有些函數的積分需要連續多次應用分部積分法。例5.2：求不定積分

17、x2exdx.解令u=x2和dv=exdx,則xx2exdx=xdex-21xexdx.對后面的不定積分再用分部積分法，xexdx=xdex=xex-exC（運算熟練后，式子中不再指出u和v了），代入前式即得x2exdx=（x2-2x2）exC.注：若被積函數是募函數（指數為正整數）與指數函數或正（余）弦函數的乘積，可設哥函數為u,而將其余部分湊微分進入微分符號，使得應用分部積分公式后，哥函數的哥次降低一次（哥指相碰哥為u）。例5.3：求不定積分1xarctanxdx.乂2解令u=arctanx,xdx=d3，則22x,xxarctanxdx=-arctanx-d（arctanx）arctan

18、x-)dx，1，、八arctanx-(x-arctanx)C，可注：若被積函數是哥指函數與對數函數或反三角函數的乘積設對數函數或反三角函數為u,而將募函數湊微分進入微分號，使得應用分部積分公式后，對數函數或反三角函數消失(哥對角(反三角函數)，對角u).例5.4：求不定積分，exsinxdx.解exsinxdx=jsinxde%取三角函數為u)=exsinx-exd(sinx)=exsinx-excosxdx=esinx-cosxdex(再取三角函數為u)=exsinx-(excosx-exdcosx)=ex(sinx-cosx)-exsinxdxxve/解得exsinxdx=J(sinx-cosx)C注：若被積函數是指數函數與正(余)弦函數的乘積時，u,dv可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的u,以便經過兩次分部積分后產生循環式，從而解出所求積分(指正余，隨意選).F面將分部積分法關于u,dv的選擇總結成一個表，以便于更好學習，如下: