1、圓的極坐標(biāo)方程1 .曲線的極坐標(biāo)方程一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f（p,e）=0,并且坐標(biāo)適合方程f（p,e）=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f（p,e）=0叫做曲線c的極坐標(biāo)方程.2 .圓的極坐標(biāo)方程（1）特殊情形如下表圓心位直極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)（0,0）p=r(0<e<2兀)圓心在點(diǎn)（r,0）p=2rcos8兀(一1.八兀e<2)兀圓心在點(diǎn)（r,）p=2rsin9(0we<兀)圓心在點(diǎn)（r,兀）p=2rcose(兀03兀)(；圓心在點(diǎn)（r,2）p=-2rsine(一<<8w0)©（2）一般情形：

2、設(shè)圓心qP0,00）,半徑為r,MP,0）為圓上任意一點(diǎn)，則|CM=r,/coivt|ee0|,根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為p22p0pcos（e-e0）+p2-r2=0,1.極坐標(biāo)方程P=4表示的曲線是（）A.過(guò)（4,0）點(diǎn)，且垂直于極軸的直線B.過(guò)（2,0）點(diǎn)，且垂直于極軸的直線C.以（4,0）為圓心，半徑為4的圓D解析：選D.由極坐標(biāo)方程的定義可知，極坐標(biāo)方程.以極點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓p=4表不以極點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓.2.圓心在（1,0）且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)（）A.p=1Bp=cos0C.p=2cos0D.p=2sin0解析：選C.經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O且半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為=2

3、acose,因圓心在（1,0）,所以半徑為1,所以極坐標(biāo)方程為p=2cos0,故選C.3.極坐標(biāo)方程兀=cos4表示的曲線是（）A.雙曲線橢圓解析:選D.P=cos兀T-e7171=coscos0+sinsine+*sie,所以pcose+斗即X2+y2=¥x+2122y.化簡(jiǎn)整理得x平+y平=1,表示圓選D.4.極坐標(biāo)方程p=2cos0表示的曲線所圍成的面積為解析：由p=2cos0=2X1xcos0知，曲線表示圓，且圓的半徑所以面積8=兀答案：Tt圓的極坐標(biāo)方程例fl求圓心在C2,3處并且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并判斷點(diǎn)5兀2,sin6是否在這個(gè)圓上.解如圖，由題意知,圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O

4、OA為其一條直徑，設(shè)MP,0）為圓上除點(diǎn)OA以外的任意一點(diǎn)，則|OA=2r,連接AM則OMLMA,一3兀在RtOA汕,10M=|OAcos/AOM即p=2rcos-20所以p=4sin0,經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)0（0,0）,A4,2-的坐標(biāo)滿足上式.所以滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為p=-4sin9.因?yàn)閟in5兀1所以p=-4sin9=-4sin-6-=2,5兀所以點(diǎn)一2,sin-在此圓上.6求曲線的極坐標(biāo)方程的五個(gè)步驟（1）建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系（本題無(wú)需建）；（2）在曲線上任取一點(diǎn)mp,e）；（3）根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫出等式；（4）用極坐標(biāo)（p,e）表示上述等式，并化簡(jiǎn)得曲線的極坐標(biāo)方程；（5）證明

5、所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程.（一般只要對(duì)特殊點(diǎn)加以檢驗(yàn)即可）.注意求曲線的極坐標(biāo)方程，關(guān)鍵要找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件，并進(jìn)行坐標(biāo)表本.兇JR蹤訓(xùn)練求圓心在C版彳，半徑為1的圓的極坐標(biāo)方程.解：設(shè)圓C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為MP,8）,如圖，在OCMK由余弦定理，得|OM2+|OC22|OM|OC-cosZCOM|CM2,即p2-22pcos94+1=0.當(dāng)O,C,M三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)后1,A也適合上式，所以圓的極坐標(biāo)方程為p2-22pcos0-+1=0.圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化EE）進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化：y2=4x；(2)x2+y22x1=0;(3)1P=

6、71;r2cos0解(1)將x=pcos0,y=psin0代入y2=4x,得(Psin8)2=4pcos9.化簡(jiǎn)，得psin20=4cos0.(2)將x=pcos0,y=psin0代入y2+x22x-1=0,得(psin0)2+(pcos0)22pcos01=0,2-化間，得p2pcos81=0.一、，1因?yàn)閜=2TT'所以2ppcos9=1.所以242+y2x=1.化簡(jiǎn)，得3x2+4y2-2x-1=0.在進(jìn)行兩種坐標(biāo)方程間的互化時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)互化公式是有三個(gè)前提條件的，即極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極軸與直角坐標(biāo)系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同.(2)由直角坐標(biāo)求

7、極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是唯一的，但這里約定只在0We<2兀范圍內(nèi)求值.(3)由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，最后要注意化簡(jiǎn).(4)由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)要注意變形的等價(jià)性，通常要用p去乘方程的兩端，應(yīng)該檢查極點(diǎn)是否在曲線上，若在，是等價(jià)變形，否則，不是等價(jià)變形.QJR蹤訓(xùn)練1.把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.1 1)y=*x；(2)x2-y2=1.解：(1)將x=pcos0,y=psin0代入y=>/3x得psin8=43pcos0,從而化簡(jiǎn)，得21cos29.(2)將x=pcos0,y=psine代入x2-y2=1,得p2cos20p2sin20=1,2 .把下列極坐標(biāo)方程化

8、為直角坐標(biāo)方程.(1) p2cos20=1;一一八兀(2) p=2cos0-.解：(1)因?yàn)閜2cos20=1,所以p2cos20-p2sin20=1.所以化為直角坐標(biāo)方程為x2-y2=1.一.兀兀L-.21(2)因?yàn)閜=2cos0cos+2sin0sin=cos0+2sin0,所以p="pcos8+，2psin0.所以化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2，2xJ2y=0.求相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程例3)從極點(diǎn)O作圓C：p=2acos0的任意一條弦ON求各弦的中點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程.解法一：如圖所示，圓C的圓心qa,0),半徑r=|OC=a,因?yàn)镸為弦ON的中點(diǎn)，連接CM所以CMLON故M在以。的直

9、徑的圓上，所以動(dòng)點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程是p=acos9.因?yàn)樗砸驗(yàn)樗苑ǘ涸O(shè)MP,0),NP1,81).N點(diǎn)在圓p=2acos0上，p1=2acos01.M是ON勺中點(diǎn)，P1=2p,91=9.將它代入式得2p=2acos0,故M的極坐標(biāo)方程是p=acos0.將本例中所求得的中點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.2解：因?yàn)閜=acos0,所以p=a-pcos0,所以x2+y2=ax,所以中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)方程為x2+y2ax=0.本例所涉及的問(wèn)題有相關(guān)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程已知，求另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.求解時(shí)找出等量關(guān)系，代入化簡(jiǎn)即可.蹤訓(xùn)練從極點(diǎn)O弓I定圓p=2cos0的弦OP延長(zhǎng)OP到

10、Q使祟|,求點(diǎn)Q的PQ3極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明所求的軌跡是什么圖形?解：設(shè)Qp,9),P(p0,80),貝U8=80,=2,所以P0=|p,因?yàn)閜p035它表不一個(gè)圓.=2cos80.所以：p=2cos8,即p=5cos51 .曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的區(qū)別由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一",即（p,8）,（P,2ti+8）,（p,兀+e）,（p,兀+e）都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同，所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例,.,一，、一一.兀兀.兀兀，、兀兀，、如對(duì)于極坐標(biāo)方程p=8,點(diǎn)M,可以表不為,+2%或

11、,2%或1,等多種形式，其中，只有,的極坐標(biāo)滿足方程p=0.2 .曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化與點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化一樣，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.平面內(nèi)的曲線（含直線）的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程也可以進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化.3 .求曲線的極坐標(biāo)方程求解步驟與直角坐標(biāo)系中求曲線方程的步驟基本相同.較簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程可直接求，較復(fù)雜曲線的極坐標(biāo)方程可以先求直角坐標(biāo)方程，然后再轉(zhuǎn)化.4 .極坐標(biāo)方程表示的曲線形狀的判斷方法極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)曲線的形狀往往不易看出，通常是先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程后再分析形狀.1 .極坐標(biāo)方程p=1表木

12、（）A.直線B.射線C.圓D.半圓解析：選C.因?yàn)閜=1,所以p2=i,所以x?+y2=l.所以表示圓.2 .極坐標(biāo)方程p=asin0（a>0）所表示的曲線的圖形是（）設(shè)MP,0）是圓上任意一點(diǎn)，則/ONMZMOx=0,在RtANMCO3,|OM=|ONsinZONM即p=2rsin9=asin9.,圓心的0代入得3 .把圓C的極坐標(biāo)方程p=2cos0轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)為.解析：因?yàn)閜=2cos0,所以p2=2pcos8,將p2=x2+y2,x=pcos直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x,其圓心坐標(biāo)為(1,0).答案：x2+y2=2x(1,0)4 .寫出圓心在(1,-1)處，且過(guò)原

13、點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程.解：圓的半徑為r=圓的直角坐標(biāo)方程為(x1)2+(y+1)2=2.變形得x2+y2=2(x-y),用坐標(biāo)互化公式得p2=2(pcos0-psin0),即p=2cos02sin0.A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .在極坐標(biāo)系中，圓心在A.p=2a/2cos0C.p=2/2sin0(也，兀)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為()B.p=2/2cos0D.p=-272sin0解析：選B.如圖所示，P(2,兀)，在圓上任找一點(diǎn)M(P,8),延長(zhǎng)OP與圓交于點(diǎn)Q則/OMQ90,在RtAOM（J,10M=|OQ-cos/QOM所以p=2，2cos（兀-9）,即P=2小cos0.選B.2.x1圓心分別為2，°

14、，。，2，圓心距d=、/4+T=*，故選D.+y24x=0的極坐標(biāo)方程為（）A.p=2cos0B.p=2sin0解析：選C.把x=p-cos9,y=p-sinC.p=4cos0D.p=4sin09,x2+y2=p2代入得p24pcose=0,所以p=0或p=4cos9.又極點(diǎn)也在p=4cos0上，故選C.3.圓p=5cos05，3sin0的圓心坐標(biāo)是（）A.5,B.5,7C.5,yD.5,三3333解析：選D.因?yàn)閜=5cos0-53sin0,所以p2=5pcos05/3psin8,所以x2+y2=5x5g3y,所以x-|+y+52-=25,所以圓心八y_八5兀tan9=*/3,9=2,X3所

15、以圓心C的極坐標(biāo)為C5,粵.3p=sin0的兩個(gè)圓的圓心距是（）2.1D.三24.極坐標(biāo)方程分別為p=cos9和A.2B.啦C解析：選D.兩圓的直角坐標(biāo)方程分別為1 2,212,121X2+y=-,X+y2=4，5.極坐標(biāo)方程p=cos(7t8）表木的曲線是（）A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.圓解析：選D.因?yàn)閜=cos彳，即P=¥(cos8+sin8),2：2.一.一所以P=弓Pcos0+psin0),所以x2+y2=x+-y,即x+y=7.224446 .在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin0,則曲線C的直角坐

16、標(biāo)方程為.解析：因?yàn)閜=2sin8,所以p2=2psin8,所以x2+y2=2y,即x2+y2-2y=0.答案：x2+y22y=07 .圓心在點(diǎn)（3,兀）處，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程為.解析：如圖所示C（3,兀），A（6,兀），設(shè)M（P,0）為圓上異于QA的任一點(diǎn)，連接OMAM則OMLAM|OA=6為圓C的直徑，在RtOMM,/AO隨兀0或0兀，因?yàn)閨OM=|OAcos（兀一e）,所以p=6cos（兀-9）,即p=6cos0,驗(yàn)證知OA也適合，所以所求圓的極坐標(biāo)方程為p=-6cos8（_2"W0<2）.答案：p=6cos0(_2-&0&-2-)8.在極坐標(biāo)系中，

17、若過(guò)點(diǎn)A（3,0）且與極軸垂直的直線交曲線p=4cos0于A、兩點(diǎn)，則|AB=.解析：由題意知，直線方程為x=3,曲線方程為（x2）2+y2=4,將x=3代入圓的方程，得y=土水，則|AB=23.答案：239.把下列直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化.（1） x2+y2-2x=0;（2） p=cos92sin9;p2=cos28.解：(1)因?yàn)閤2+y22x=0,2所以p2Pcos9=0.所以p=2cos0.(2)因?yàn)閜=cos02sin0,所以p2=pcos02psin0.所以x2+y2=x2y,即x2+y2-x+2y=0.因?yàn)閜2=cos20,所以p4=p2cos20=(pcos0)2.所以

18、(x2+y2)2=x2,即x2+y2=x或x2+y2=x.10.若圓C的方程是p=2asin0,求：(1)關(guān)于極軸對(duì)稱的圓的極坐標(biāo)方程；(2)關(guān)于直線0=34對(duì)稱的圓的極坐標(biāo)方程.解：設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)m的極坐標(biāo)為（p,e）.點(diǎn)Mp,e）關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)為（p,e）,代入圓C的方程P=2asin0,得p=2asin（e）,3P,28，代入圓C的方程p=即p=2asin0為所求.（2）點(diǎn)mp,e）關(guān)于直線e=34L對(duì)稱的點(diǎn)為32asin8,得p=2asin9，即p=2acos0為所求.B能力提升11.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)（1,1）為圓心，1為半徑的圓的方程是（）p=2sinC.p=2cos(01)Dp=2sin(81)解析：選C.在極坐標(biāo)系中，圓心在（p。，00）,半徑為r的圓的方程為:222r=p。+p2pp0cos(880),所以可得p=2cos(01).2兀兀12.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P2,可，點(diǎn)Q是圓p=2cos0+上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ的最小值是_.5解析：