1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用解題方法歸納總結(jié)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an 1 an d （d為常數(shù)），an a1 n 1d等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列 2A x yai a n nn n 1前n項(xiàng)和Sn- - najd2 2性質(zhì)：an是等差數(shù)列（-）若m - p q，則 am a. ap aq ；（2）數(shù)列a2n-， a2n， kan b仍為等差數(shù)列;Sn , S2n Sn , S3n S2n仍為等差數(shù)列；（3）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a d, a, a d；（4）若an, bn是等差數(shù)列Sn, Tn為前n項(xiàng)和，則 亞 沁 ;b m T2 m 1（5） an為等差數(shù)列Sn an2 bn （ a, b

2、為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）Sn的最值可求二次函數(shù) Sn an2 bn的最值；或者求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng) a10, d0,解不等式組 an 0可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值。an 10當(dāng) a10, d0,由an0可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。an 10女口：等差數(shù)列an ,Sn18, an an 1 an 2 3, S3 1,則-（由 an an 1an 233an 13,an11又s3a- a3 33a21,1a2_.u a1 a n n-Sna? a. 1 n21 1n3218n 27)二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：引匸anq （q為常數(shù)，q0）an1、等比中項(xiàng):前n項(xiàng)和：

3、Sn性質(zhì):(1)(2)anSn ,G、y成等比數(shù)列na1 (q 1)1 qn(q 1)qa1-1是等比數(shù)列n p q.則 amanS2nSn， S3nS2n、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法公式法2、由Sn求an ；（n 1 時(shí)，a1Si，3、求差（商）法如:解:a n滿足a12n 1 時(shí)，-a 212a12時(shí),2 得:練習(xí)數(shù)列an（注意到G2xy，或 G（要注意!）ap aq仍為等比數(shù)列2 時(shí)，anSnSn1 a2225,二 a114122a2滿足SnSn5an3Sn 1a1an 12n2n14,求 an1)1214 (n 1)2n 1 (n 2)Sn代入得:SnSn 4Sn是等比數(shù)列,Sn 4n4

4、、疊乘法例如：數(shù)列an中，a13,an 1ann +，求ann 1解：去 a3 an12n 1. an 1a2an 123na1n又a13,二 an3n5、等差型遞推公式由an an 1 f(n)， a1ao，求an，用迭加法n 2 時(shí)，a2 a1f(2)a3a2f(3)兩邊相加，得：anan 1f(n)an a1 f(2) f(3)f(n)二 ana0f(2)f(3)f(n)練習(xí)數(shù)列an ，a11，an3n1an 1n 2，求 an1(an 丄 3n 1 )26、等比型遞推公式an can 1 d c、d為常數(shù)，c 0, c 1, d 0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) an x c an 1 xa n

5、 can 1d，.d Xc 1令(c 1)xd an是首項(xiàng)為a1d ， c為公比的等比數(shù)列n c 1c 1ddn 1ana1cc 1c 1dn 1dana1cc 1c1練習(xí)數(shù)列an滿足ai9, 3an i an 4，求 a.n 14(an 831)如:an是公差為d的等差數(shù)列,k 1 akak 1解:由ak ak 1ak ak d1丄d ak1ak 1k 1 akak 1k 1 d ak1ak 11 丄丄da1a21 11d a1an 11 1a?a31 1anan 17、倒數(shù)法例如：a11,a n 12an，求 an ，由已知得：1an 2 11an 12an2 anan2.1 1111 1

6、為等差數(shù)列，'1,公差為'an 1an2ana121 , 11, . 21 n1 一n1，anan22n 1三、求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法1、公式法：等差、等比前 n項(xiàng)和公式2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。練習(xí)求和：111 2 3 n1 （an ，Sn 2 -）n 13、錯(cuò)位相減法：若an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列，求數(shù)列 anbn（差比數(shù)列）和，可由Sn qSn求Sn，其中q為bn的公比。如:Sn2x 3x2 4x3nxn 1Snc2小 3x 2x 3x4x41 nxn1 x Snx2xn 1nxn1時(shí),Snn1 x21 xnnxr_x1時(shí)

7、,Sn4、倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加。Sna1a2an 1Sn an32an相加a12Snana2an 1a1 an練習(xí)已知f（x）x21 x2則 f(1)f(2)f(3) ff(4) f2x2x原式 f(1)f(2)f(3)1f(4) f 43(由 f(x) f)于（2A 128B.80 C.64 D.56 （卷第3題）略解： a2 +a 7 =a1+a8=16, an前8項(xiàng)的和為64,故應(yīng)選C.例2已知等比數(shù)列an滿足a1a2 3,a2a36，貝U a7()A 64B. 81C. 128D. 243 （全國(guó)I卷第7題）答案：A.例3已知等差數(shù)列an 中，a26

8、 , a515，若bn a2n，則數(shù)列bn的前5項(xiàng)和等例1設(shè)an是等差數(shù)列，若32=3,則數(shù)列 an前8項(xiàng)的和為（)a7 =13,)略解：T a 5-a 2 =3d=9,. d=3 , b 1 = a2 6 , b5 =a10 =30，bn 的前 5 項(xiàng)和等于 90,故答案是C.20，則該數(shù)列的公差d （）A 2B . 3 C.6 D.7 （卷第4題）略解： S4S2 S2 4d12,d3,故選B.例5在數(shù)列an中，an ，4n -，2aa2Lanan2 bn，n N，則ab.倦第15題）答案：1.例6在數(shù)列an中，a12，an1 an ln(11)，n則 an()A 2In nB .2 (n

9、1)ln nC. 2nln nD .1 nIn n (卷第5題）答案：A .例7設(shè)數(shù)列an 中，a12, an 1an n 1，則通項(xiàng)an,其中a,b為常數(shù)例4記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，若S24, S4（卷第16題）此題重點(diǎn)考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，抓住ananan 1, an 系數(shù)相同是找到方法的突破口.略解：2, an 1ananan 1 nan 1an 2an 2 an 3a3a22 1,a?a11 1 , a11.將以上各式相加，得ann 11,故2應(yīng)填mu+1.2例8若（x+2x)的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為（）A 6 答案：B . 使用選

10、擇題、B. 7C. 8D. 9 (卷第10題)填空題形式考查的文科數(shù)列試題，充分考慮到文、理科考生在能力上的差異，側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，命題設(shè)計(jì)時(shí)以教材中學(xué)習(xí)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式應(yīng)用為主，女口，例4以前的例題.例5考查考生對(duì)于等差數(shù)列作為自變量離散變化的一 種特殊函數(shù)的理解；例 6、例7考查由給出的一般數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的能 力；例8則考查二項(xiàng)展開式系數(shù)、等差數(shù)列等概念的綜合運(yùn)用.卷第1題，卷第4題，卷第4題，卷第4題，卷第14題，全國(guó)n卷第19題等，都是關(guān)于數(shù)列的客觀題，可供大家作為 練習(xí).2 例9已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，ai=1，且點(diǎn)(.an,an!) (n

11、N*)在函數(shù)y=x+1的圖象上( I )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(n )若數(shù)列 bn滿足bi=i, bn+i=bn+2an，求證： bn bn+2 V b2n+1.(卷第 20 題)略解：(I)由已知，得 an+1-an=1，又a1=1,所以數(shù)列禺是以1為首項(xiàng)，公差為1的 等差數(shù)列.故 an=1+( n-1) x仁n.(n ) 由 (I)知，&=n,從而 bn+1- bn=2n , bn=( bn- bn-1 ) + ( bn-1-bn-2)+ + ( »2- 4 ) +b1=2n-1+2n-2 +n2nn+2n+12n2+2+1=2 -1 . . b n? bn+2-b 爲(wèi)

12、=(2 -1)(2-1)-(2-1) = -2 V 0, /. bn bn+2V b2 1 .對(duì)于第(n)小題，我們也可以作如下的證明： 2n .n+1. 2n +1 .nn n+1 n .n+1/b2=1, bnbn+2-bn 1 =( bn+1-2 )(tb+1+2)- bn 1 =2 bn+1-2bn+1-2 2= 2 (bn+1-2)nn n+1nnnn2=2 ( bn + 2 -2) =2 ( bn-2 )=2 ( b1-2 ) =-2 <0, b n- bn+2<b n+1.a例10在數(shù)列an中，a11,an12an2n. (I)設(shè)bn(冷.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(

13、n)求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn.(全國(guó)I卷第19題)略解：(I) bn 1bn =an 12nan = an 1 2an =2* 1 =2*芻=1，則2nbn為等差數(shù)列，bi 1,bnn , an 1n n2(n)0 1Sn 1c22g2L (nn 2n 11)c2ng,2Sn1g212g22 L(nn1)01 n0兩式相減，得Snng2n1g20 21L2* 1n理 2n 1=( n1)2n 1 .對(duì)于例10第（I）小題，基本的思路不外乎推出后項(xiàng)減前項(xiàng)差相等，即差是一個(gè)常數(shù).可以用迭代法，但不可由ba-b1=1, b3-b2 =1等有限個(gè)的驗(yàn)證歸納得到bn為等差數(shù)列的結(jié)論，犯“以偏蓋全”的錯(cuò)

14、誤.第（n）小題的“等比差數(shù)列”，在高考數(shù)列考題中出現(xiàn)的頻率很高，求和中運(yùn)用的“錯(cuò)項(xiàng)相減”的方法，在教材中求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)給出，是“等比差數(shù)列”求和時(shí)最重要的方法.一般地，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為重要的容常常并不在結(jié)論本身，而在于獲得這一結(jié)論的路徑給予人們的有益啟示.例9、例10是高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列試題的一種常見的重要題型，類似的題目還有卷第 18題，卷第19題，卷第20題等，其共同特征就是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為依托構(gòu)造新的 數(shù)列.主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查推理與運(yùn)算能力.考慮到文、理科考生在能力上的差異，與理科試卷側(cè)重于理性思維，命題設(shè)計(jì)時(shí)以一般 數(shù)列為主，以抽

15、象思維和邏輯思維為主的特點(diǎn)不同；文科試卷則側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，以考查具體思維、演繹思維為主.例11等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，ai 3,前n項(xiàng)和為Sn ,bn為等比數(shù)列，bi 1 ,1 1 且 b2S2 64, bsS3 960 .( I)求 an 與 bn ； ( n )求和：S1 S2略解:Lsn.（卷第19題)£b2(6d)q64,$3匕3(93d)q2960.解之，得8;或65 （舍去，為什么?40亍)故an3 2(n 1) 2n1,bn8nn(2L53nSnL丄S21- SL53423丄51 - 51 - 31 - 41 - 21 - 311 - 22 1n1

16、- n32n（I ）設(shè)an的公差為d , bn的公比為q ,依題意有“裂項(xiàng)相消”是一些特殊數(shù)列求和時(shí)常用的方法.使用解答題形式考查數(shù)列的試題， 其容還往往是一般數(shù)列的容， 其方法是研究數(shù)列通項(xiàng) 及前n項(xiàng)和的一般方法，并且往往不單一考查數(shù)列， 而是與其他容相綜合， 以體現(xiàn)出對(duì)解決 綜合問題的考查力度. 數(shù)列綜合題對(duì)能力有較高的要求， 有一定的難度，對(duì)合理區(qū)分較高能 力的考生起到重要的作用.例12設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2an 2“，（1）求 a1,a4；（n）證明:an 12 an略解：（1 ) t a1S1,2a1s2 ,所以a12,S2 .由 2an Sn2n知，2an1Sn 12n1an

17、 1Sn2n1得an 1Sn2n 1-a?S22 2 22 6,S28a3S2238 2316, S324a4S32440 .（n）由題設(shè)和式知，an12anSn2n1Sn2n 2n 1 2n2n? * *是等比數(shù)列；（川）求an的通項(xiàng)公式.（卷第21題）an 1 2an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.(出)anan 2an 12 an 12an 22na22q2n1a12* 1兩式相減是解決含有 Sn的遞推公式的重要手段，使其轉(zhuǎn)化為不含Sn的遞推公式，從而有針對(duì)性地解決問題在由遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，首項(xiàng)是否可以被吸收是易錯(cuò)點(diǎn)同時(shí)，還應(yīng)注意到題目設(shè)問的層層深入，前一問常為解決后一問的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，

18、為求解下一問指明方向.2 n an 滿足 a10,a22, a“ 2(1 cos例13數(shù)列2 n2 )an 4sin §,n 1,2,3,L ,(I )求 a3,a4,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II)設(shè) Ska1 a3 La2kTka2 a4 La2k ,Wk2 Tk2Sk (k N )，求使 Wk1的所有k的值，并說(shuō)明理由.第20題）略解：（I ）2as (1 cos -)a124sina. 4 4,a4(12cos2)a2 4sin22a24,般地，當(dāng)n = 2 k 1(kN )時(shí),a2k 11 cos2 (2k21)a2k 1 4sin2(2k 1)a2k 14,即 a2k 1

19、a2k 14.所以數(shù)列a2k1是首項(xiàng)為o、公差為4的等差數(shù)列，因此a2k 14(k1).當(dāng)n 二 2k(k N )時(shí)，a2k 2(1 cos2 空2)a2k4si n2 空2、公比為2的等列，因此a2k2k2 .故數(shù)列2a2k,所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)an的通項(xiàng)公式為2(n 1),n 2k 1(k N ),an2.22, n 2k(k N ).(II )由(I )知,Ska1a3 La2k 10 4 L 4( k 1) 2k (k 1),Tka2a4La2k2k k 12 2 L 222, Wk2Sk2 Tkk(k 1)?k 1 于是，W 0,W21,W3-, W43, W55,W615.下面證明

20、22416Wk 1.事實(shí)上W<1 W(k 1)k k(k 1)k(3 k)2 k2 k 1?k0,即 Wk 1 Wk.又 W61,所以當(dāng)k 6時(shí),Wk1.故滿足Wk1的所有k的值為3,4,5.數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧第一部分：數(shù)列的基本概念1 理解數(shù)列定義的四個(gè)要點(diǎn)數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律” 因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是 不同的數(shù)列.在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn).項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念.數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量 從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列.2

21、. 數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列 a n的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果用一個(gè)公式an = f(n)來(lái)表示，就把這個(gè)公式叫做數(shù)列 a n的通項(xiàng)公式。若給出數(shù)列 a n的通項(xiàng)公式，則這個(gè)數(shù)列是已知的。若數(shù)列 a n的前n項(xiàng)和記為Sn，則Sn與an的關(guān)系是:anSnn 1。Sn 1 n 2第二部分：等差數(shù)列1 .等差數(shù)列定義的幾個(gè)特點(diǎn)：公差是從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)的差 (同一常數(shù))，即d = a n an 1 (n >2)或 d = a n 1 a. (n N ).要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，必須對(duì)任意 n N，an an 1 = d (n >2) 或d = a n 1 an都

22、成立.一般采用的形式為： 當(dāng)n2時(shí)，有an an 1 = d (d為常數(shù)). 當(dāng)n N時(shí)，有an 1 an = d (d為常數(shù)). 當(dāng)n2時(shí)，有 an 1 an = a n an 1成立.若判斷數(shù)列 a n不是等差數(shù)列，只需有a3 a2工a? &1即可.2. 等差中項(xiàng)若a、A、b成等差數(shù)列，即A=S，則A是a與b的等差中項(xiàng)；若A旦上2 2則a、A、b成等差數(shù)列，故A=U是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于2an=an1 an1，所以，等差數(shù)列的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。23 等差數(shù)列的基本性質(zhì)公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列， 其公差仍為 d.公差為

23、d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差 為kd.若 an、 bn為等差數(shù)列，則 an ±bn與叭 + b（k、b為非零常數(shù)） 也是等差數(shù)列.對(duì)任何m n N，在等差數(shù)列 a n中有：a. = a m+ （n m）d,特別地， 當(dāng)m= 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般 性.、一般地，如果I，k，p，m n，r，皆為自然數(shù)，且I + k + p + =m + n + r +（兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)an為等差數(shù)列時(shí)，有：ai + a k + a p+ =a m+ a n + a p+ .公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成

24、一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍 是等差數(shù)列，其公差為kd（ k為取出項(xiàng)數(shù)之差）.如果 a n是等差數(shù)列，公差為d，那么，an，an i，a2、ai也是 等差數(shù)列，其公差為一d；在等差數(shù)列 an中，am | al = am k ak = md .（其 中 m k、I n ）在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列末項(xiàng)除外）都是它前后兩項(xiàng) 的等差中項(xiàng).當(dāng)公差d>0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大； 當(dāng)dv0時(shí)，等差 數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減小；d = 0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù).設(shè)al，am，an為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且al與am，am與an的項(xiàng)距差之比（工1 ），則 amaian14.等

25、差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn = n（ai an）與Sn = nai + 血衛(wèi)d的比較2 2前n項(xiàng)和公式公式適用圍相同點(diǎn)g佝 an）Sn= 2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)都是等差數(shù) 列的前n項(xiàng) 和公式Sn= na1 + n(n °d2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差5 .等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)數(shù)列 a n為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列 a n的前n項(xiàng)和S.可以寫成N*)時(shí)，S偶一S奇=nd,在等差數(shù)列 an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (nSn = an 2 + bn的形式(其中a、b為常數(shù)).當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n -1) (n N )時(shí)，S 偶 S 奇 a n ,.S偶 n 1S奇 = anS 偶a

26、n 1若數(shù)列 a n為等差數(shù)列，則Sn , S2n S. , S?n，仍然成等差數(shù)列，公差為n2d .若兩個(gè)等差數(shù)列a n、 b n的前n項(xiàng)和分別是Sn、Tn(n為奇數(shù))，則SnTnbn 1"2在等差數(shù)列 a n中，Sn= a，Sm= b (n >m)，貝U Sm n = 一m (a b).n m等差數(shù)列a n中，爼是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)(n,色)均在直線y =dxnn2+(a i d)上.2記等差數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為Sn.若a1 >0，公差dv0，則當(dāng)an >0 且an i < 0時(shí)，Sn最大；若ai v0 ,公差d>0,則當(dāng)a. <0且a. i

27、 >0時(shí)，Sn最小.第三部分：等比數(shù)列1 .正確理解等比數(shù)列的含義aq是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，順序不要錯(cuò)，即q =亠 (n N )an或 q =乩(n > 2).an 1由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為0,因而公比q也不為0.要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必須對(duì)任意n N，力 =q；或電 =q （n anan 1> 2）都成立.2等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的主要區(qū)別如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么G=b，即G2 = ab , G =± . ab 所以， a G只要兩個(gè)同號(hào)的數(shù)才有等比中項(xiàng)，而且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；如果A是a與b的等差中項(xiàng)，那么等差中項(xiàng) A

28、唯一地表示為A旦衛(wèi)，其中，a與b2沒有同號(hào)的限制.在這里，等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)既有數(shù)量上的差異， 又有限制條 件的不同.3. 等比數(shù)列的基本性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為qm（ m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差）.對(duì)任何m n N，在等比數(shù)列 a n中有：an = a m q n m，特別地，當(dāng)m= 1時(shí)，便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍 性.一般地，如果t ，k，p，m, n，r，皆為自然數(shù)，且t + k，p，m +=m + n + r +（兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)a n為等比數(shù)列時(shí)，有：at . ak . a p若

29、 a n是公比為q的等比數(shù)列，則| a1、a：、kan、也是an等比數(shù)列，其公比分別為I q |2 1q2、q、丄.q如果 a n是等比數(shù)列，公比為q，那么,a1，a3，a§，,a?n 1，是以q2為公比的等比數(shù)列.如果 a n是等比數(shù)列，那么對(duì)任意在n N，都有an an 2 = a： q2 > 0.兩個(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個(gè) 數(shù)列的公比的積.當(dāng)q> 1且a1 >0或0vqv 1且a1 v 0時(shí)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a1 >0且Ovqv 1或a, v0且q> 1時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí)，等比數(shù) 列為

30、常數(shù)列；當(dāng)qv 0時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.4. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)如果數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，那么，它的前 n項(xiàng)和公式是na,當(dāng) q 1 時(shí),Sn= a1（1 q> 當(dāng) q 1 時(shí).1 q也就是說(shuō)，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函 數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，必須要 弄清公比q是可能等于1還是必不等于1,如果q可能等于1,則需分q = 1和 qM 1進(jìn)行討論.當(dāng)已知a1，q，n時(shí)，用公式Sn = a1（1 q）;當(dāng)已知a1，q，an時(shí)，用1 q公式Sn=a1舸.1 q若Sn是以q為公比的等比數(shù)列，則有 S

31、n m= S m + qS.若數(shù)列 a n為等比數(shù)列，貝U Sn，S2n Sn， S?n，仍然成等比數(shù) 列.若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列（q M 1）前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S1與，次 n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S2與T2，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S3與T3，則S1， S2，S3成等比數(shù)列，T1，T2，T3亦成等比數(shù)列.二、難點(diǎn)突破1.并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一 定唯一.已知一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的.2 .等差（比）數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第 2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng) 與它前一項(xiàng)的差（比）等于同一個(gè)常數(shù)”.這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一

32、項(xiàng) 與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而“同一個(gè)常數(shù)”則是保證至少含有 3項(xiàng).所以，一 個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列的必要非充分條件是這個(gè)數(shù)列至少含有 3項(xiàng).3. 數(shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個(gè)問題： a n與an是不同的，前者表示數(shù)列a1, a2，an，而后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)；數(shù)列a1, a?，an，與集合 a1，a2，an，不同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)， 而集合是一個(gè)有確定圍的整體； 數(shù)列的項(xiàng)有明確的順序性， 而集合的 元素間沒有順序性4注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有區(qū)別，即：對(duì)連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為S,則通常設(shè)，aq 2 , aq 1 ,2a， aq， aq

33、2 ，；對(duì)連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號(hào).的等比數(shù)列，若已知其積為S,則通常設(shè)，aq 3 , aq 1 , aq, aq3，.5. 一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為 0，因此，在研究等比數(shù)列時(shí)，要注意an工0,因?yàn)楫?dāng)an = 0時(shí)，雖有a：= an 1 an 1成立，但an不是等比數(shù)列，即“ b .一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的 中間兩項(xiàng)的和為 24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）= a c”是a、b、c成等比數(shù)列的必要非充分條 件；對(duì)比等差數(shù)列a n , “2b = a + c ”是a、b、c成等差數(shù)列的充要條件， 這一點(diǎn)同學(xué)們要分清.6. 由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不

34、為 0，因此，判斷一數(shù)列是否成 等比數(shù)列， 首先要注意特殊情況 “0”.等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式蘊(yùn)含著分類討論 思想，需分分q = 1和1進(jìn)行分類討論，在具體運(yùn)用公式時(shí)，常常因考慮不 周而出錯(cuò).數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)定時(shí)練習(xí)題（滿分為 100 分 +附加題 20 分，共 120 分；定時(shí)練習(xí)時(shí)間 120 分鐘）一、選擇題 （本大題共 15 小題，每小題 3 分，共 45 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列四個(gè)數(shù)中，哪一個(gè)是數(shù)列 n(n 1) 中的一項(xiàng)A)380(B) 39C) 35( D) 232.在等差數(shù)列 an 中，公差 d1 ， a4 a17 8 ，則 a2 a

35、4 a6a20 的值為（ ）（ A） 40（B）45（C） 503 .一套共 7 冊(cè)的書計(jì)劃每 2 年出一冊(cè)，若各冊(cè)書的出版年份數(shù)之和為 書的年份是（ ）（D）5513979，則出齊這套A) 1997B)1999C) 2001D)20032 倍，又它的首項(xiàng)為 1，且5已知1是a2與b2的等比中項(xiàng)，又是 丄與1的等差中項(xiàng)，貝U 卓巴 的值是（）a ba b（A） 1或丄（B） 1或丄（C 1或1（ D） 1或1336首項(xiàng)為一24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正，則公差d的取值圍是（）（A） d -（ B） d 3（ C） - < d 3（ D） 8 d W 33337.如果-1 , a,b,

36、c ,-9成等比數(shù)列，那么（）(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9(C)b=3, ac=-9 (D)b=-3, ac=-9&在等差數(shù)列 an 中，已知a1=2,a2+a3=13,則a4 +a5+a6等于（）A.40B.42C.43D.459. 已知某等差數(shù)列共有 10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為（）A.5B.4 C. 3D. 210. 若互不相等的實(shí)數(shù) a,b,c成等差數(shù)列，c,a,b成等比數(shù)列，且 a 3b c 10,則a（ ）A. 4B.2C. - 2D.-411.在等比數(shù)列an中，a1 = 1， a10= 3，貝9a2 a3 a4 a5

37、a6 az as a9 ：=()A. 81B.275 27C-/3D. 24312.在等比數(shù)列an中,42,前n項(xiàng)和為Sn，,若數(shù)列an 1也是等比數(shù)列,則Sn等于()(A) 2n 1 2(B)3n(C)2n(D)3n 1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義和求和公式，著重考查了運(yùn)算能力。13.設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列， 若印a2a315，a1 a2 a380 ，則 a1a2 a3()A. 120B.105C.90D.7514.設(shè)Sn是等差數(shù)列 ar,的前n項(xiàng)和，若S735，則 a4()A. 8B.7C.6D.5S3 1 S615.設(shè)Sn是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，若S3= 3,則=（）311

38、1（A 10（B） 3（° 8（D） 9二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.把答案填在題中橫線上）1在數(shù)列an中，an 一1，且5 9，則n .Jn Jn 12等比數(shù)列an的前三項(xiàng)為x， 2x 2， 3x 3，則a°3. 若數(shù)列 an 滿足：a1 1, an 1 2an .n 1, 2, 3.則 a1 a2an 4. 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4 =14,S10 S7 =30,則S =.5. 在數(shù)列an中，若a1 1 , an 1 an 2（n 1），則該數(shù)列的通項(xiàng)an 。三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）1. 已知an為等比數(shù)列，a

39、3 2, a2 a4 ，求an的通項(xiàng)式。32. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S41,Sg17,求通項(xiàng)公式an?3. 已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和S滿足10S=an2+5an+6且a1,a3,a 15成等比數(shù)列，求數(shù)列 an的通項(xiàng)an .4. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,a1 1,an 1 2Sn 1 n 1（1）求 an的通項(xiàng)公式；（n）等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn,且T3 15，又印 da b>,a3 b3成等比數(shù)列，求Tn12本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分 分。1. A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B解：由等比

40、數(shù)列的性質(zhì)可得ac =( - 1)x( 9)= 9, b x b= 9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同,故 b=- 3,選 B 8.B解：在等差數(shù)列an 中,已知 a1 2,a2 a313, d=3, a5=14, 84 玄5a6 =3a5=42，選 B.9.C5a1 20d15解：d 3,故選 C.10. D5a1 25d30解：由互不相等的實(shí)數(shù) a,b,c 成等差數(shù)列可設(shè)a=b-d,c= b + d，由 a3b c10可得 b=2,所以a = 2 d, c = 2 + d,又c, a,b成等比數(shù)列可得d = 6,所以 a=4,選 D11.A解：因?yàn)閿?shù)列 an是等比數(shù)列，且 ai = 1, aio=

41、3,所以a2a3a4a5a6a?a8a9=(a2a9) (a3a8) (a4a?) (a5a6) = ( aiaio) 4=34 = 81,故選 A 12.Cn1【解析】因數(shù)列 an為等比，則an 2q ，因數(shù)列an 1也是等比數(shù)列,2 2 則(an 1 1)(an 1)(an 2 1) an 1an(1 q2 2q) 0 q 12an 1anan 2anan 2an an 2 2an 1即an 2，所以Sn 2n，故選擇答案 G13.B【解析】an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若aia? a315, aa2a380 ,則 a25,qa3 (5 d)(5 d) 16,. d=3 , a12a210d35,a11 a12a13105，選 b.14. D【解析】Sn