1、開環(huán)傳遞函數(shù)方程 M(s)=0 的根，開環(huán)零點(diǎn)。 方程 N(s)=0 的根，開環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)傳遞函數(shù) 方程 M(s)=0 的根，閉環(huán)零點(diǎn)。 方程 N(s)+ M(s) =0 的根，閉環(huán)極點(diǎn)。 G sM sN so( )( )( )G sG sG sM sN sM sN sM sN sM scoo( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )11作輔助函數(shù)F(s)方程 N(s)+ M(s) =0 的根 F(s)的零點(diǎn)。 方程 N (s)=0 的根 F(s)的極點(diǎn)。輔助函數(shù)F(s)作將系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)統(tǒng)一在一個(gè)復(fù)變函數(shù)F(s)中。由于nm，開環(huán)極點(diǎn)、閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)相等 = n個(gè)。

2、輔助函數(shù)F(s)的頻率特性F sG so( )( ) 1 1M sN sN sM sN s( )( )( )( )( )F jN jM jN j()()()()已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Go(j)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當(dāng)由0增至無(wú)窮時(shí)，輔助函數(shù)F(j )的角度增量為 或其中，p為s的右半平面上開環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 一般情況下 p=0，判別式成為 或:()0F jp:()01 Gjpo0)(0:jF0)(1 0:jGo穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)的軌線與角度增量 （1）系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定系統(tǒng)的角度增量為0，或者說(shuō)，軌線不包圍原點(diǎn)。0ImReF(j)=0+=-20 0 Im Re F(j)

3、=0+ =0 進(jìn)而， F(j )平面就是1+G(j )平面。兩平面的關(guān)系為平移關(guān)系。包圍F(j )平面的原點(diǎn)等于包圍G(j )平 面的-1+j0點(diǎn)G(j )曲線即在G(j )平面上的極坐標(biāo)圖，因此可修改判據(jù)為P=0時(shí)，圍繞 1 點(diǎn)角度增量 P0時(shí)，圍繞 1 點(diǎn)角度增量 0 -1 Im Re F(j) 0 Im Re G(j) :()00GjopjGo)(0:證明：輔助多項(xiàng)式 寫為零極點(diǎn)表達(dá)式幅角增量 F(j )的每個(gè)零點(diǎn)，如果位于s平面的左半平面，當(dāng) : 0 時(shí)，則可以獲得增量角為F(j )的每個(gè)零點(diǎn)，如果位于s平面的左半平面，當(dāng) : 0 時(shí)，則可以獲得增量角為F jGjN jM jN jo(

4、)()()()() 1F jkjzjpllniin()()()11:()01 Gjolnlinijzjp1010()():22如，角度增量如，角度增量對(duì)于F(j )的極點(diǎn)，正好與零點(diǎn)相反。所以對(duì)于如果n個(gè)零點(diǎn) 與n個(gè)極點(diǎn)或者n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)與n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)全部位于s的左半平面，則有 zai :()02 ja 0 Im Re -a a j+a azi2)(0:aj 0 Im Re a -a j-a lnlinijzjp1010()():()01 Gjo即角度增量為零，因此有軌線不包圍F(j )平面的原點(diǎn)，等價(jià)于開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)軌線Go(j )不包圍G(j )平面的1+j0點(diǎn)。如果有p個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于

5、s平面的右半平面上 ,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為角度增量為p。 證畢。022nnlnlinijzjp1010()():()01 Gjopppnnppnn222222)(2lnlinijzjp1010()():()01 Gjo1、最小相位系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為 Go(j )曲線不包圍G(j )平面的1+j0點(diǎn)。例例57 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 討論開環(huán)增益K的大小對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 解：解：作極坐標(biāo)草圖:()00GjoG sKTsT sT so( )()()()123111AK( )( )000A( )( ) 0270且增加時(shí)，有作極坐標(biāo)草圖如圖 。穩(wěn)定性判別：當(dāng)K小時(shí)，極坐標(biāo)軌線圍繞-1點(diǎn)的角度

6、增量為 不包圍-1點(diǎn)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當(dāng)K大時(shí)，圍繞 -1點(diǎn)的角度增量為 由于圍繞-1點(diǎn)轉(zhuǎn)了-2圈，不等于零，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 -1 Im Re G(j) K 小 K 大 0 A( )( ) :()00Gjo:()020 Gjo2、原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)情況 原點(diǎn)有開環(huán)極點(diǎn)，個(gè)： 0 時(shí)，復(fù)變函數(shù)F(j)在原點(diǎn)處不解析，幅角增量值不定。 處理方法如圖。作無(wú)窮小半圓饒過(guò)原點(diǎn)，即將原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)視為s左半平面的極點(diǎn)來(lái)處理。由映射關(guān)系，s平面原點(diǎn)處的幅角增量，必有G(j) 平面無(wú)窮遠(yuǎn)處的幅角增量，以增補(bǔ)線來(lái)體現(xiàn)如圖。G sKsG soon( )( ) 0+ j s平面 0 Re =0+ Im G(j

7、)平面 0 增補(bǔ)角 增補(bǔ)線 如果原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)有個(gè)，則在平面上的無(wú)窮大半圓處所作的增補(bǔ)線應(yīng)滿足的增補(bǔ)角為這樣，原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，需要計(jì)入相應(yīng)的增補(bǔ)角，幅角增量的計(jì)算才是正確的。 例例58 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 （1）作極坐標(biāo)圖 A() 與 () 均為單調(diào)減，作圖。 ()2G sKs T sT so( )()()2311A( )( )0090 A( )( ) 0270 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 （2）最小相位系統(tǒng)，穩(wěn)定條件為 =1，在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域作增補(bǔ)線如圖。K小時(shí)，角度增量為 (原角度) (增補(bǔ)角)滿足條件，系統(tǒng)穩(wěn)定。K大時(shí)，

8、角度增量為 (原角度) (增補(bǔ)角)不滿足條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 增補(bǔ)線 增補(bǔ)角 :()00Gjo:()02 Gjo2023)(0:jGo2023、非最小相位系統(tǒng)由s的右半平面開環(huán)極點(diǎn)確定，p0 穩(wěn)定條件為 由s的右半平面開環(huán)零點(diǎn)確定， p=0 穩(wěn)定條件仍為 例例59 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由奈式判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解（1）作極坐標(biāo)圖。 A()單調(diào)減，() 單調(diào)減，穿越點(diǎn)作圖。:()0Gjpo:()00GjoGsKss so( )( .)()0511A( )( )00270 A( )( ) 090 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 18

9、0)414. 1 (（2）穩(wěn)定性判別=1，在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域作增補(bǔ)線如圖K小時(shí)，角度增量為 (原角度) (增補(bǔ)角)不滿足條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定。K大時(shí)，角度增量為 (原角度) (增補(bǔ)角)滿足條件，系統(tǒng)穩(wěn)定。 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 增補(bǔ)線 2)(0:jGo23)(0:jGo22pp1、極坐標(biāo)圖與波德圖的對(duì)應(yīng)引例引例510 開環(huán)傳遞函數(shù)為 極坐標(biāo)圖穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定 A()=1 ()- A()=1 ()=- A()=1 ()- ()=- A()1 GsKT sT sT sO( )()()()123111 Im Re G(j) -1 K 小 A() () Im Re G(j) -1

10、K 臨 Im Re G(j) -1 K 大 波德圖L() = 0dB () - L()0dB ()= - 20lgK小0dB0-180L()() L() = 0dB () = - 20lgK臨0dB0-180L()() L() = 0dB () 0dB () = - 20lgK大0dB0-180L()() 距離系統(tǒng)穩(wěn)定，距離系統(tǒng)穩(wěn)定， L( )還差多少，或者還差多少，或者 ( )還差多少，還差多少，定義定義穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度：極坐標(biāo)圖與波德圖的對(duì)應(yīng) Im Re G(j) -1 Ag c 20lgK0dB0-180L()()cLgcg2、穩(wěn)定裕度定義幅值裕度Lg ：(g) = - 時(shí)，定

11、義系統(tǒng)穩(wěn)定，必有：Lg 0dB)(lg20ggAL20lgK0dB0-180L()()cLgcgggL)L(dB0ggLA)(lg20dB0如果系統(tǒng)穩(wěn)定，如果系統(tǒng)穩(wěn)定， L( ) 再向上再向上移動(dòng)多少分貝系統(tǒng)就不穩(wěn)定移動(dòng)多少分貝系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。了。如果是系統(tǒng)不穩(wěn)定，相反，如果是系統(tǒng)不穩(wěn)定，相反， L( ) 再改善多少分貝系統(tǒng)就穩(wěn)再改善多少分貝系統(tǒng)就穩(wěn)定了。定了。相位裕度相位裕度 c ：L( c) = 0 dB時(shí)時(shí)，定義定義系統(tǒng)穩(wěn)定，必有：系統(tǒng)穩(wěn)定，必有： c 0180)(cc cc180()20lgK0dB0-180L()()cLgcg如果系統(tǒng)穩(wěn)定，如果系統(tǒng)穩(wěn)定， ( ) 再負(fù)再負(fù)多少度系統(tǒng)就

12、不穩(wěn)定了。多少度系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，相反，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，相反， ( ) 再改善多少度再改善多少度系統(tǒng)就穩(wěn)定了。系統(tǒng)就穩(wěn)定了。穩(wěn)定裕度說(shuō)明穩(wěn)定裕度說(shuō)明：（1）穩(wěn)定裕度定義）穩(wěn)定裕度定義只適用于最小相位系統(tǒng)只適用于最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)，由于情況非唯一，沒(méi)有實(shí)用意義。非最小相位系統(tǒng)，由于情況非唯一，沒(méi)有實(shí)用意義。（2）穩(wěn)定裕度可以）穩(wěn)定裕度可以作為頻域性能指標(biāo)作為頻域性能指標(biāo)使用。使用。可以用于系統(tǒng)分析，也可以用于系統(tǒng)設(shè)計(jì)指標(biāo)使用。可以用于系統(tǒng)分析，也可以用于系統(tǒng)設(shè)計(jì)指標(biāo)使用。（3）穩(wěn)定裕度又可成為）穩(wěn)定裕度又可成為相對(duì)穩(wěn)定性指標(biāo)相對(duì)穩(wěn)定性指標(biāo)。（4）部分情況下部分情況下，幅值

13、裕度，幅值裕度Lg與相位裕度與相位裕度 c不能單獨(dú)不能單獨(dú)使用。使用。大部情況下大部情況下，由于相位裕度，由于相位裕度 c 計(jì)算簡(jiǎn)單方便，因此，計(jì)算簡(jiǎn)單方便，因此，經(jīng)常使用相位裕度經(jīng)常使用相位裕度 c。解解 （1）求開環(huán)傳遞函數(shù) 分析，設(shè)：開環(huán)傳遞函數(shù)為 例例511 已知單位反饋的最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示，（1）試求開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。 -60dB/dec 3.16 10 1 -40dB/dec -20dB/dec 0dB L() G sKsTsT soo( )()2122111111T11T10122T1 . 02T2020316121lglg.KsosK

14、o 316.Gsssso( ).()(. )316 110122（2）計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度圖上讀到相位裕度 因?yàn)閏 0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。對(duì)數(shù)相頻特性如圖所示。 幅值裕度 Lg 0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定c 316.( .).31618020111316 tgtg6 .1425 .1724 .721804 .376 .142180)(180cc 3.16 10 1 c=37.4 0 -90 -180 -270 () ()( .)g 894180dB5 .11)(lg2094. 8gggAL一、一、閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性與與開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性關(guān)系關(guān)系 不便于漸近線作圖不便于漸近線作圖 二、二、矢量表

15、示法矢量表示法 可以借助于計(jì)算機(jī)工具將閉環(huán)頻率特性準(zhǔn)確地作出。可以借助于計(jì)算機(jī)工具將閉環(huán)頻率特性準(zhǔn)確地作出。 )(1)()(1)()(1)()(jGjGjGjGjGjGjGooooooc)()(cM Im Re G(j) -1 A P O 0 Go(j) )(jGOAoOP 1)(1jGPAoPAOAjGjGMoo)(1)()(PAOAc)(三、閉環(huán)頻率特性的一般特征引例引例512 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 作開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性。 開環(huán)頻率特性 -20dB/dec -40dB/dec )625. 075. 01)(36. 01 (86. 0)(22sssssGo2008612lg

16、. db11036278.6 . 1625. 012 L() dB () 90 0 -90 -180 -270 0.1 1 10 0 20 -20 -40 -60 -360 -80 2.78 -4 o Lo -1 -3 0.86 1.6 作閉環(huán)系統(tǒng)波德圖比較發(fā)現(xiàn)（1）低頻段Lc()趨于0dB線，c()趨于0； （2）高頻段Lc()趨于Lo()，c()趨于o()；（3）中頻段Lc()產(chǎn)生了諧振峰值 M (r)。 L() dB () 90 0 -90 -180 -270 0.1 1 10 0 20 -20 -40 -60 -360 -80 2.78 -4 o Lo -1 -3 0.86 1.6 c Lc 分析：（1）低頻段因此有：Lc()趨于0dB線，c()趨于0； （2）高頻段因此有： Lc()趨于Lo()，c()趨于o()；)(1)()(jGjGjGooc1)()()(1)()(1)(00jGjGjGjGjGoojGooco)()(1)()(1)(jGjGjGjGojGooco（3）中頻段諧振峰值 M (r)分析。穩(wěn)定系統(tǒng)有：穩(wěn)定系統(tǒng)有： c g，因此，穩(wěn)定系統(tǒng)因此，穩(wěn)定系統(tǒng)M ( r)的出現(xiàn)與兩個(gè)頻率相關(guān)。的出現(xiàn)與兩個(gè)頻率相關(guān)。 20lgK 0dB 0 -180 L() () c L