1、學 號班 級姓 名裝訂線內不要答題東北大學課程名稱：高等數學試卷：A 答案考試形式：閉卷試卷：共 2 頁授課專業：管理、電子商務、計工、自動化、材料、環境考試日期： 2009 年 12 月 29 日題號一二三四總分得分閱卷裝人一、填空題（每題4 分，共24 分）1、極限lim21222n_ 1 _訂nn1n2nn22、已知limex1x1, 則a_ 3 _x03 1ax212線x2tarctant33、曲線0 處的切線方程為_ xy 5 _y23tln(1在 tt 2 )4、已知函數f ( x)( x1)( x 2)( x3) ，則f'( x) 0的實根個數為 _ 2 _5、曲線y3

2、x 的拐點為_(0,0) _6、定積分11x2 (1sin x)dx_12二、選擇題（每題3 分，共21 分）1、極限limxsin xBx0(A). 0(B) 1(C) e(D) e1x1,x 0,2f (x)在 x0處 B 、函數1ex其它 .0,(A)極限不存在(B)連續不可導(C) 極限存在不連續(D) 可導3、設x0是f ( x) 的極值點，則C(A) f' ( x)0(B) f'( x )不存在(C)f ' ( x )0 或不存在(D) f' ( x )c(c 0)00004、函數y1的單調減區間為 Bxx(A) (,0)(B) 1,0)(0,1(C

3、)(,11，)(D) 1，)5、曲線yxe xB(A)在(,2) 是凹的，在 (2,) 是凸的(B)在 (,2)是凸的，在 (2,) 是凹的(C)在(,) 是凸的(D)在 (,) 是凹的6、設F ( x)為f (x)的一個原函數，則下列正確的是 D(A) df ( x)dxF ( x)(B)F ' ( x)dxf (x) c(C)F ' ( x)dx f ( x)(D)df ( x)dxf ( x)dxx0x，7、已知f (x)dx 1，其中 f ( x)ce ,1 B 0,則 c其它 .(A) e1(B)11(C)1(D) 1ee三、計算題（ 39分）lim 1x2 n1、（

4、 8分）討論函數 f ( x)2 n的連續性，若有間斷點，判別其類型.n1x- 1 -1x2nx,x1,解： f ( x)lim0,x1,， -4分1x2nnx,x1.在 x1 處， limf ( x)lim(x)1,x1x 1limf ( x)limx1,x1x1limf ( x)limf ( x) -6分x1x1所以 x1為第一類跳躍間斷點 .在 x1 處， limf ( x)lim x1,x 1x 1limf (x)lim(x)1,x1x 1limf (x)lim f (x)x1x 1所以 x1 為第一類跳躍間斷點.-8分xyx0 所確定的隱函數的導數dy .2、（ 7 分）求由方程et

5、 dtcostdt00dxxytx0 左右兩邊同時對 x 求導得解：對方程costdtedt00exy ( y xy' )cos x0-5分即dyyexycos x-7分dxxexy3、（ 8 分）計算不定積分arctanxdx解： 設 xt ,則 xt 2, 即dx2tdt ，從而-2 分arctan xdx2t arctan tdtarctan t dt 24分t 2 arctan tt 2d arctan tt 2 arctan tt 22 dt1tt21t 212t arctan t C6分arctan t1t2dtt arctan t(x1)arctanxxC8分212 ,x

6、 0,4、（ 8 分）求1)dx，其中 f ( x)1xf (x0xex2,其它 .解：設 x1t ,則dxdt ，從而21)dx10f (t)dt1f ( xf (t)dt1f (t )dt-4分0100t 2dt112 dtte0 1t11et201-61arctant分201e-8分245、（ 8 分）求常數k的值使得曲線yx2與直線xk, x k2, y0 所圍圖形的面積最小。解 : 選x為積分變量 ,變化區間為k ,k 2, 面積元素dAx2 dx ,所求面積為A kk2kkx2dx,-4分要求 k 使A k取最小值,A k 是積分上(下)限函數 , 故dAk2k24 k 1dA0

7、,dk2, 令dk解得駐點 k1,-6分因為d2 A則 k1 為A k,40,在內唯一極小值點,即當k1,所圍成圖形的面積dk2時最小 .-8分- 2 -四、證明題（16 分）1、（ 8 分）設函數f ( x), g( x) 在 a, b 上連續，在(a, b) 內可導，且f (a)f (b)0，證明存在(a,b) ，使得f ' ( ) f ( ) g ' ( )0.證明：做輔助函數 F ( x)f ( x)eg ( x)，則-4分F ( x) 在 a, b 上連續，在(a,b) 內可導，且 F (a)F (b) ，- 6分由羅爾中值定理得存在(a,b) ，使得F'()f ' ( )eg ( )f ( ) g' ( )eg ( )0 .而eg ( )0 ，從而f'( )f ( )g ' ( ) 0-8分2、（ 8 分）設函數F ( x)x2t ) f (t )dt ，其中f ( x)在(, ) 上連續，且單調減( x0少，證明F ( x) 單調增加.xf (t) dtxtf (t )dt , 則-2證明： F