1、2.2 等差數列等差數列(一一)課題導入課題導入1. 在現實生活中，我們經常這樣數數，在現實生活中，我們經常這樣數數，從從0開始，每隔開始，每隔5數一次，可以得到數數一次，可以得到數列：列：0, 5,_,_,_,_,.2. 2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項運會上，女子舉重被正式列為比賽項目目.該項目共設置了該項目共設置了7個級別個級別.其中較輕其中較輕的的4個級別體重組成數列個級別體重組成數列(單位：單位：kg)：48，53，58，63.課題導入課題導入3. 水庫的管理人員為了保證優質魚類有水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環

2、境，用定期放水清理水庫良好的生活環境，用定期放水清理水庫的雜魚的雜魚.如果一個水庫的水位為如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低自然放水每天水位降低2.5m，最低降至，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列數列(單位：單位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5.課題導入課題導入4. 我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息金計算下一期的利息. 按照單利計算

3、本按照單利計算本利和的公式是：利和的公式是：本利和本利和=本金本金(1+利率利率寸期寸期).例如，按活期存入例如，按活期存入10 000元錢，年利率元錢，年利率是是0.72%.那么按照單利，那么按照單利，5年內各年末年內各年末的本利和分別是：的本利和分別是：時間時間年初本金年初本金(元元)年末本利和年末本利和(元元)第第1年年10 00010 072第第2年年10 00010 144第第3年年10 00010 216第第4年年10 00010 288第第5年年10 00010 360課題導入課題導入各年末的本利和各年末的本利和(單位：元單位：元)組成了數列：組成了數列：10 072，10 14

4、4，10 216，10 288，10 360.思考思考:0, 5, 10, 15, 20 48, 53, 58, 6318, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.510 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360觀察一下上面的這四個數列：觀察一下上面的這四個數列： 這些數列有什么共同特點呢？這些數列有什么共同特點呢？ 思考思考:0, 5, 10, 15, 20 48, 53, 58, 6318, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.510 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360觀察一下上面的這四個數列：觀察一下上面的這四個

5、數列： 這些數列有什么共同特點呢？這些數列有什么共同特點呢？ 以上四個數列以上四個數列從第從第2項起，每一項與項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數前一項的差都等于同一個常數(即：即：每個每個都具有相鄰兩項差為同一個常數都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點的特點).講授新課講授新課等差數列等差數列講授新課講授新課 一般地，如果一個數列從第一般地，如果一個數列從第2項起，項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做數，那么這個數列就叫做等差數列等差數列. 這這個常數叫做個常數叫做等差數列的公差等差數列的公差，公差通常，公差通常用字母用字母d表示

6、表示. 等差數列等差數列BCA注意注意(1)公差公差d一定是由一定是由后項減前項后項減前項所得，而不所得，而不 能用前項減后項來求；能用前項減后項來求；BCA注意注意(1)公差公差d一定是由一定是由后項減前項后項減前項所得，而不所得，而不 能用前項減后項來求；能用前項減后項來求；(2)對于數列對于數列an，若，若anan1 d(d是與是與n 無關的數或字母無關的數或字母)，n2，則此數列是，則此數列是 等差數列等差數列，d 為公差為公差；BCA注意注意(1)公差公差d一定是由一定是由后項減前項后項減前項所得，而不所得，而不 能用前項減后項來求；能用前項減后項來求；(2)對于數列對于數列an，若

7、，若anan1 d(d是與是與n 無關的數或字母無關的數或字母)，n2，則此數列是，則此數列是 等差數列等差數列，d 為公差為公差；(3)若若d0，則該數列為，則該數列為常數列常數列 思考思考1. 你能舉一些生活中的等差數列的例子你能舉一些生活中的等差數列的例子嗎？嗎？思考思考2. 如果在如果在a與與b的中間插入一個數的中間插入一個數A，使，使a, A, b成等差數列，那么成等差數列，那么A應該滿足什應該滿足什么條件？么條件？思考思考2. 如果在如果在a與與b的中間插入一個數的中間插入一個數A，使，使a, A, b成等差數列，那么成等差數列，那么A應該滿足什應該滿足什么條件？么條件？,AbaA

8、分析：分析：由由a, A, b成等差數列得：成等差數列得： 思考思考2. 如果在如果在a與與b的中間插入一個數的中間插入一個數A，使，使a, A, b成等差數列，那么成等差數列，那么A應該滿足什應該滿足什么條件？么條件？,AbaA分析：分析：由由a, A, b成等差數列得：成等差數列得： .2baA 思考思考2. 如果在如果在a與與b的中間插入一個數的中間插入一個數A，使，使a, A, b成等差數列，那么成等差數列，那么A應該滿足什應該滿足什么條件？么條件？,AbaA分析：分析：由由a, A, b成等差數列得：成等差數列得： .2baA 反之，若反之，若,2baA 思考思考2. 如果在如果在a

9、與與b的中間插入一個數的中間插入一個數A，使，使a, A, b成等差數列，那么成等差數列，那么A應該滿足什應該滿足什么條件？么條件？,AbaA分析：分析：由由a, A, b成等差數列得：成等差數列得： .2baA 反之，若反之，若,2baA ,AbaA 即即思考思考2. 如果在如果在a與與b的中間插入一個數的中間插入一個數A，使，使a, A, b成等差數列，那么成等差數列，那么A應該滿足什應該滿足什么條件？么條件？,AbaA分析：分析：由由a, A, b成等差數列得：成等差數列得： .2baA 反之，若反之，若,2baA ,AbaA 即即即即a, A, b成等差數列成等差數列.思考思考2. 如

10、果在如果在a與與b的中間插入一個數的中間插入一個數A，使，使a, A, b成等差數列，那么成等差數列，那么A應該滿足什應該滿足什么條件？么條件？bAabaA,2 ,AbaA分析：分析：由由a, A, b成等差數列得：成等差數列得： 成等差數列成等差數列. .2baA 反之，若反之，若,2baA ,AbaA 即即即即a, A, b成等差數列成等差數列.等差中項：等差中項： 由三個數由三個數a，A，b組成的等差數列可組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做叫做a與與b的的等差中項等差中項.等差中項：等差中項： 由三個數由三個數a，A，b組成的等差數列可組成

11、的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做叫做a與與b的的等差中項等差中項. 不難發現，在一個等差數列中，從第不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的都是它的前一項與后一項的等差中項等差中項.等差中項：等差中項：等差中項：等差中項：數列：數列：1，3，5，7，9，11，13等差中項：等差中項：數列：數列：1，3，5，7，9，11，135是是3和和7的等差中項，的等差中項，1和和9的等差中項；的等差中項；等差中項：等差中項：數列：數列：1，3，5，7，9，11，135是是3和

12、和7的等差中項，的等差中項，1和和9的等差中項；的等差中項；9是是7和和11的等差中項，的等差中項，5和和13的等差中項的等差中項.等差中項：等差中項：數列：數列：1，3，5，7，9，11，13a2a4a1a55是是3和和7的等差中項，的等差中項，1和和9的等差中項；的等差中項；9是是7和和11的等差中項，的等差中項，5和和13的等差中項的等差中項.等差中項：等差中項：數列：數列：1，3，5，7，9，11，13a2a4a1a5a4a6a3a75是是3和和7的等差中項，的等差中項，1和和9的等差中項；的等差中項；9是是7和和11的等差中項，的等差中項，5和和13的等差中項的等差中項.在等差數列在

13、等差數列an中，中，若若mnpq, 則則amanapaq. 等差中項：等差中項：數列：數列：1，3，5，7，9，11，13a2a4a1a5a4a6a3a75是是3和和7的等差中項，的等差中項，1和和9的等差中項；的等差中項；9是是7和和11的等差中項，的等差中項，5和和13的等差中項的等差中項.思考：思考： 對于以上的等差數列，我們能不能用對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？通項公式將它們表示出來呢？思考：思考： 對于以上的等差數列，我們能不能用對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？通項公式將它們表示出來呢？ 以以a1為首項，為首項，d為公差的等差數列

14、為公差的等差數列an的通項公式為：的通項公式為：思考：思考： 對于以上的等差數列，我們能不能用對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？通項公式將它們表示出來呢？ 以以a1為首項，為首項，d為公差的等差數列為公差的等差數列an的通項公式為：的通項公式為：ana1(n1)d.講解范例講解范例:例例1. (1)求等差數列求等差數列8，5，2，的第的第20項項. (2)401是不是等差數列是不是等差數列5，9，13，的項？如果是，是第幾項？的項？如果是，是第幾項？講解范例講解范例:例例2. (1)在等差數列在等差數列an中，已知中，已知a510， a1231，求首項，求首項a1與與d

15、； (2)已知數列已知數列an為等差數列，為等差數列，,437 a,453 a求求a15的值的值.講解范例講解范例:例例3. 梯子最高一級寬梯子最高一級寬33cm，最低一級寬，最低一級寬為為110cm，中間還有，中間還有10級，各級的寬度級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度 例例4. 三個數成等差數列，它們的和為三個數成等差數列，它們的和為18，它們的平方和為它們的平方和為116，求這三個數，求這三個數.講解范例講解范例:例例5. 已知四個數成等差數列，它們的和已知四個數成等差數列，它們的和為為28，中間兩項的積為，中間兩項的積為40，求這四個數，求這四個數.講解范例講解范例:講解范例講解范例:例例6. 某市出租車的計價標準為某市出租車的計價標準為1.2元元/km，起步價為起步價為10元，即最初的元，即最初的4km(不含不含4千千米米)計費計費10元元.如果某人乘坐該市的出租車如果某人乘