1、第一講  有理數的巧算有理數運算是中學數學中一切運算的基礎它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性 1括號的使用 在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單例1 計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445例2 在數1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得

2、可能的最小非負數是多少？2用字母表示數我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：這是一個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為(a+b)(a-b)=_于是我們得到了一個重要的計算公式_這個公式叫_公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算例3 計算 3001×2999的值 練習1 計算 103×97×10 009的值 練習2 計算：練習3 計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) 練習4 計算：3觀察算式找規律例4 某班20名學生的數學期末考試成

3、績如下，請計算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88例5 計算1+3+5+7+1997+1999的值 例6 計算 1+5+52+53+599+5100的值例7 計算：練習一1計算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636

4、； (6)1+4+7+244； 2某小組20名同學的數學測驗成績如下，試計算他們的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第一講 有理數的巧算答案例1 計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445分析 直接計算很麻煩，根據運算規則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789

5、) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數巧算中的常用技巧例2 在數1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？分析與解 因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個奇數，即有999個奇數，所以任意添加符號“+”或“-”

6、之后，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小于1現考慮在自然數n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發我們將1，2，3，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負數是1說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化例3 計算 3001×2999的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例4 某班2

7、0名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90上下，所以可取90為基準數，大于90的數取“正”，小于90的數取“負”，考察這20個數與90的差，這樣會大大簡化運算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20

8、=89.95例5 計算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發現：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個2000)=2000×500從而有 S=500 000例6 計算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算 解 設S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，例7