1、等差數列求和及應用一等差數列的定義：一列數，如果相鄰兩個數的差相等，我們就說這個數列叫做等差數列；相等的差叫做這列數的公差，這列數的個數叫做項數，最小的數叫做首項，最大的數叫做末項。 （以下公式要求熟記）基本公式：和=（首項+末項）×項數÷2 末項=首項+（項數-1）×公差 項數=（末項-首項）÷公差+1 首項=末項-（項數-1）×公差 公差=例1、 計算：1+2+3+4+99+100=？例2、 計算：1+3+5+7+1995+1997+1999=？例3、 數列4，9，14，19，的第80項是多少？例4、 有一列數按如下規律排列：6，10，14

2、，18，這數列中前100個數的和是多少？例5、 求100至200之間被7除余2的所有三位數的和是多少？例6、 學校進行乒乓球選拔賽，每個參賽選手要和其他選手賽一場，如果一共有10外隊員，一共要進行多少場比賽？一共進行了78場比賽，有多少人參加了選拔賽？例7、 小紅家在一條胡同里，這條胡同門牌號從1開始，挨著號碼編下去。如果除小紅家外，其余各家的門牌號加起來，減去小紅家的門牌號數，恰好等于100。問小紅家的門牌是幾號？全胡同里共有幾家？例8、 若干個同樣的盒子排成一排，小明把50多個同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一個盒子沒有棋子，然后他外出了。小光從每個有棋子的盒子里各拿出一個其中放在空盒里，再

3、把盒子重新排列了一下，小明回來查看一番，沒發現有人動過。問：共有多少個盒子？家庭作業：【1】計算 2+4+6+8+198+200 3+10+17+24+31+94 77+74+71+11+8+5【2】已知等差數列3，7，11，15，195，問這個數列共有多少項？【3】已知等差數列2，7，12，17，它的第25項是多少？第36項是多少？【4】一個有30項的等差數列，公差是5，末項為154，這個數的首項是多少？【5】一個等差數列，首項是4，末項是88，公差是6，這列數的總和是多少？【6】有一列數，已知第一個數是9，從第二個數起，每個數都比前一個數多4，這列數的前50個數的和是多少？【7】學校舉行乒

4、乓球選拔賽，每個參賽選手都要和其他所有選手各賽一場，一共進行91場比賽，有多少人參加了選拔賽？【8】一個物體從空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，經過10秒到達地面，這個場體原來離地面的高是多少米？【9】上體育課時，我們幾個同學站成一排，從1開始順序報數，除我以外的其他同學報的數之和減去我報的數恰好等于72。問：共有多少個同學？我報的數是幾？【10】7個小隊共種樹100棵，各小隊種的棵數都不相同，其中種樹最多的小隊種了18棵樹，種樹最少的小隊至少種了多少棵樹？【11】編號為19的9個盒子里共放有351粒糖，已知每個盒子都比前一個盒子里多同樣數量的糖。如果1號盒子里放11粒糖

5、，那么后面的盒子比它前一個盒子里多放幾粒糖？如果3號盒子里放了23粒糖呢？體育比賽中的數學問題例1、 三年級一班組織了一次投籃比賽，規定投進一球得3分，投不進倒扣1分，小明投5個球，投進了3個，那么他應該得多少分？例2、 甲、乙、丙3人進行乒乓球循環賽，結果3人獲勝的場數各不相同，問第一名勝了幾場？例3、 甲、乙、丙、丁等4人進行乒乓球比賽，每2人都要賽一場，結果甲勝了丁，并且甲、乙、丙3人勝的場數相同，問丁勝了多少場？例4、 甲、乙、丙、丁與小華等5個人參加乒乓球比賽，每2人都要比賽1盤。到現在為止，甲已經賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤，小華賽了幾盤？例5、 世界杯足球小組賽，

6、每組四個隊進行單循環比賽。每場比賽勝隊得3 分，敗隊得0分。平局時兩隊各得1分，各小組之間全賽完以后，總積分最高的兩個隊出線進入下輪比賽。如果積分相同，要按小分排序。問一個隊至少要積幾分才能保證本隊出線？簡述理由。（2）在上述世界杯足球小組賽中，若有一個隊總積3分，問：這個隊有可能出線嗎？為什么？例6、有A,B,C三個足球隊,兩兩比賽1場,一共賽了3場球,每個隊的比分如下勝負平進球失球A262B1144C26你能根據上表寫出3場球的具體比分嗎？例7、A，B，C，D，E等五人參加乒乓球比賽。每兩個人都要賽一場，并且只賽一場，規定勝者得2分，負者得0分，已知比賽得結果如下：A與B并列第一名；（2）

7、C是第三名；D和E并列第四名。求C的得分。例8、六個足球隊進行單循環比賽，每兩隊都要比賽一場。如果踢平，每隊各得1分，否則勝隊得3分，負隊得0分。現在比賽已進行了四輪（每隊都已與4個隊比賽過），各隊4場得分之和都互不相同。已知總分居第三位的隊共得7分，并且有場球賽踢成平局，總得分居第五位的隊最多可得 分，最少可得 分。例9、 在某市舉行的一次乒乓球比賽中，有6名選手參賽。其中專業選手與業余選手各3名。比賽采用單循環方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場。為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分；每勝專業選手一場的加2分，每勝業余選手一場的加1分

8、；專業選手每負一場扣2分，業余選手每負一場扣1分。現問：一位業余選手至少要勝幾場才能保證他必定進入前三名？家庭作業：【1】三年級六個班舉行拔河循環賽，每個班要進行幾場比賽？一共要進行幾場比賽？【2】在一次排球聯賽中，所有參賽隊每兩隊都要賽1場，共賽21場，問有多少個隊參加？【3】某校五年級五個班各派一隊參加小足球比賽，每兩隊都要比賽一場，到現在為止，一班賽了4場，二班賽了3場，三班賽了1場，那么五班賽了 場。【4】甲、乙、丙、丁與小明等五位同學進入象棋比賽。每兩人都要比賽1盤，每勝1盤得2分，和1盤得1分，輸一盤得0分。到現在為止，甲賽了4盤，共得2分；乙賽了3盤，得了4分；丙賽了2盤，得了1

9、分，丁賽了1盤，得了2分，那么小明現在已賽了 盤，得 分。【5】五所小學進行足球賽，每兩所學校賽一場，每場勝的隊得3分，負的隊得0分，踢平各和1分。已知四所小學的得分分別為8、7、4、1，第五所小學的得分最多是 。【6】六個排球隊進行比賽，每兩隊都剛好比賽一次，現知各隊的得分都各個相同（排隊賽中沒有平局，贏隊得1分，輸隊得0分）；且A隊名列第三，B隊名列第四。試問：在A、B兩隊比賽時，誰贏了誰？試加以論證。【7】德國隊、意大利和荷蘭進行一次足球比賽，每一隊與另外兩隊各賽一場，現在知道：意大利隊總進球數是0，并且有一場平局；荷蘭隊總進取球數是1，總失球數是2，并且它恰好勝了一場。按規定，勝一場得

10、2分，平一場得1分，負一場得0分，那么德國隊共得 分。【8】德國隊、意大利隊和荷蘭隊進行一次足球賽，每隊與另外兩隊各比賽一場。現在知道： 意大利總進球是0。并且有一場打了平局。 荷蘭隊總進球數是1，總失球數是2，并且經恰好勝過1場。按照規則勝1場得2分，平一場得1分，負一場得0分。那么，德國隊得了 分。【9】四個足球隊進行單循環比賽，每兩隊都要賽一場，如果踢平，每隊各得1分，否則勝隊得3分，負隊得0分。比賽結果各隊得分恰好是連續自然數，問：輸給第一名的隊的總分是多少？【10】四名棋手進行循環比賽，勝一局得2分，平一局得1分，負一局得0分。如果各人得的總分不同，第一名不是全勝，那么至少多有 局是

11、平局。【11】1994年“世界杯”足球賽中，甲、乙、丙、丁4支足球隊分在同一小組。在小組賽中這4支隊伍中的每支隊伍都要與其他3隊比賽1場，根據規定：每場比賽勝隊可得3分，負隊得0分，如果雙方踢平，兩隊各記1分。已知：這4支隊比賽得總得分為4個連續奇數；乙隊總得分排在第一；丁隊恰有兩場同對方踢平，其中有一場是與丙隊踢平的。根據以上條件可以推斷：總分排在第四位的是 隊。圖形的切拼例1、 用兩塊相同的直角三角板（不等腰）可以拼成哪幾種圖形？例2、 長方形的長和寬各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小形狀都相等的兩塊，并使它們拼成一個正方形。例3、 把下面16個小方體方格分成兩塊，然后拼成一個正方形。 例

12、4、 把下面切成兩塊，拼成一個正方形。例5、 請把一面兩個圖中的一個分成3塊，使它們能拼成一個正方形。（單位：厘米）例6、 把圖中的不規則圖形分成形狀大小相同的四塊，然后拼成一個正方形。只剪兩刀。例7、 將圖剪成一個中間有一個方孔的正方形。例8、 用四塊形狀和大小完全一樣的三角形，拼拼搭搭（不能重疊），能出現多少個邊長不同的正方形？請畫出示意圖。例9、 將下圖分成三塊，然后把這三塊拼成一個正方形。家庭作業【1】用兩塊相同的直角三角板（等腰）可以拼成哪幾種圖形？【2】一個長方形的長和寬分別是8厘米和2厘米，要把它剪成大小形狀都相同的兩塊，并使它們拼成一個正方形。【3】把圖分成兩塊，然后拼成一個5

13、×6的長方形。【4】將右圖切成大小相等、形狀相同的4個小方塊相連的4塊，拼成一個正方形。【5】將圖形切成3塊，再拼成一個正方形。【6】下圖是一塊長方形鐵皮，現在要把它剪成形狀、大小都相同的2塊，然后拼成一個正方形，拼成的正方形的邊長應是多少？（單位：厘米）【7】把圖中的長方形切成兩塊，然后拼成一個正方形。【8】把一個平行四邊形剪成兩塊拼成一個長方形。（畫圖表示）【9】這是一個階梯的方格圖，順著哪條方格線剪一刀，就可以拼成一個長方形？【10】這是一張塔形的方格紙，沿著哪條方格線剪開后，可以拼成一個正方形？圖形的分割例1、 用一條線段把一個長方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法？

14、例2、 在一塊長方形的地里有一口正方形的水池，如圖，試著畫一條直線把除開水池外的這塊地平均分成兩塊。例3、 如圖是5個面積為1的正方形拼成的，試用一直線將此圖形劃分為面積相等的兩塊。例4、 試將下圖分割成4個大小相等、形狀相同的圖形。例5、 將圖分割成五個大小相等的圖形。左下圖是一個3×4的方格紙，請用四種不同的方法將它分割在完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整。例6、 把圖沿格線分成面積、形狀完全相同的五部分，用圖表示分割方法。例7、 將圖分成四個大小相等、形狀相同的圖形。例8、 把圖中分割成大小、形狀完全相同的四部分，使每部分都含有一個“”，應怎樣分割？例9、 如圖是一塊“

15、H”形的地，地里栽了8棵樹，現在要把這塊地劃分成面積相等、形狀一樣的4塊地，要求每塊地里各有2棵樹，應如何劃分？家庭作業【1】用一條線段把一個正方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法？【2】在一塊正方形的地里有一條長方形的水槽，如圖，試畫一條直線把除開水槽外的這塊地平分成兩塊。【3】圖是由7個面積為1的正方形拼成的，試用一直線將此圖形劃分為面積相等的兩塊。【4】如圖是6個面積為1的正方形拼成的，試用一直線將此圖形劃分為面積相等的兩塊。【5】右上圖是一個4×4的方格紙，請用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整。【6】試將圖分成形狀、大小都一樣的四塊。

16、【7】將右圖切成大小相等、形狀相同的4個小方塊相連的4塊，拼成一個正方形。【8】將圖分割成兩個大小相等、形狀相同的圖形。【9】將圖分成大小、形狀相同的4塊，每塊帶一個小圓圈。【10】把圖分成形狀、大小完全相同的4塊，而且每塊中有1個字母。【11】將圖分割成5個大小相等、形狀相同的圖形。【12】將圖形分成大小、形狀相同的3塊，并且每塊帶一個小圓圈。幻方及應用幻方：是指將給定的數，填入3×3，4×4的方格表中，使得每一橫行、每一豎列以及每條對角線的3個或者4個數的和相等，這樣的方格表我們就稱之為幻方。這個相等的和叫做幻和。小學主要研究3×3的幻方（簡稱三階幻方）一、幻

17、方的基本構成方法例1、 將1-9這九個數填入右圖，使它成為一個三階幻方。例2、 用“楊輝法”將3-11這九個數制成三階幻方。例3、 將右圖中的數重新排列，使得橫行、豎行、對角線上的三個數的和都相等。 二、幻方的應用例4、 圖所示的三階幻方的幻和是30，請把圖所示的幻方填完整。例5、 將9個連續自然數填入3行3列的9個方格中，使每橫行、每一豎行及每一對角線的3數之和都等于51。例6、 要使圖中的3×3的方格表中每行、每列、每條對角線上三個數的和都相等，中間的空格（即第二行第二列的空格）內應該填入什么數？例7、 圖中有九個方格，要求每個方格中填入互不相同的數，使得每一橫行、豎行、斜行三個

18、數的和都相等。圖中左上角的數是 。例8、 在方格表中的格子填上數，每一行、每一列及兩條對角線上所填的數的和均相等，則x的值為 。例9、 在如圖方格表的每個方格中，填入一個數字，使和每行、每列以及兩條對角線上的四個方格中的數字都是1，3，5，7，那么表中帶的兩個方格中的數字之和等于 。例10、 諸葛亮只有360名士兵，全部駐守在城上，為了迷惑敵人，不論從哪一面觀察，都有100名全副武裝的士兵守城，如圖，為了打退敵人的圍攻，諸葛亮決定抽調一些士兵突襲敵人，并且不論從哪一面看士兵反而增加了25名，試填出兵力分布圖，并求出最多抽調了多少名士兵？家庭作業【1】 把2-10填入方格中，使幻方成立。【2】 試用“楊輝法”將715這九個數制成三階幻方。【3】 把6、8、10、12、14填入空格中，使幻方的幻和是30。【4】 在圖中的每個沒有數的格內填入一個數，使得每行、每列及每條對角線的三個格中的三數之和都等于3000。那么，畫有？的格內所填的數是 。【5】 用19這九個數補全圖中的幻方，并求出幻和。【6】 把3、4、5、6、8、10填入空格中，使每行、每列以及兩個斜向中三個數的和相等。【7】 圖中的3×3方格表示中行、每列、每條對角線上三個數的和都相等。正中間方格內填的數是 。【8】 如圖是一個三階幻方。圖中右上角的數是多少