1、第 2 講橢圓、雙曲線、拋物線的基本問題(建議用時： 60 分鐘 )一、選擇題24x的焦點到雙曲線2y2()1拋物線 yx3 1 的漸近線的距離是13A.2B 2C 1D 3解析2的焦點，雙曲線2y2的漸近線是±，拋物線 y 4xx1yF(1,0)33x即 3x±y 0，故所求距離為|3±0|332 ±122.選B.答案Bx2y2F(3,0)，過222(2013 ·新課標全國卷 )已知橢圓 E：a b 1(a>b>0)的右焦點為點 F 的直線交橢圓于 A，B 兩點若 AB 的中點坐標為 (1， 1)，則 E 的方程為()x2y2x2

2、y2A.45361B36271x2y2x2y2C.27181D189 1解析直線 AB 的斜率 k011，31222x1y11122)，所以a2b2122設 A(x， y )， B(x ，yx2y2a2b21，y y2x x222bb112.又 x1x22，y1y2 2，所以 k得2·2×，x1x2ay1 y2a 2b21所以 a22，又 a2 b2c29，22x2y2由得 a 18，b 9.故橢圓 E 的方程為 1891.答案 Dx2y224x3已知雙曲線 a2b2 1(a>0，b>0)的一個焦點與拋物線y的焦點重合，且雙曲線的離心率等于5，則該雙曲線的方程為

3、()24 2x2y2A 5x5y1B541y2x225 2C.5 4 1D5x4y1解析由于拋物線 y24x的焦點為，即，又 c5，可得aF(1,0)c1ea522224 5 ，結合條件有 abc 1，可得 b 5，又焦點在 x 軸上，則所求的2 5 2雙曲線的方程為 5x 4y 1.答案D2x2y24(2014 ·湖州一模 )已知拋物線y4px(p 0)與雙曲線 a2b21(a0， b0)有相同的焦點 F，點 A 是兩曲線的交點，且 AFx 軸，則雙曲線的離心率為()5 1B 21A.2C 31D2 212解析依題意，得 F(p,0)，因為 AFx 軸，設 A(p，y)，y>

4、0，y24p2，所以 yp24p2c22p.所以 A(p,2p)又點 A 在雙曲線上，所以 a2 b2 1.又因為 cp，所以 a24c242 24c 4c 22 22 1，化簡，得 c 6a c a 0，即 a6 a 10.所以 e 3c a2 2，e21.答案B已知雙曲線C 與橢圓x2 y2 1 有共同的焦點 F，F，且離心率互為倒數 若516 1212雙曲線右支上一點 P 到右焦點 F2 的距離為 4，則 PF2 的中點 M 到坐標原點O 的距離等于()A 3B4C 2D1解析由橢圓的標準方程， 可得橢圓的半焦距 c16 122，故橢圓的離心率 e121，則雙曲線的離心率e2 1 2.因

5、為橢圓和雙曲線有共同的焦42e1x2y2點，所以雙曲線的半焦距也為 c2.設雙曲線 C 的方程為 a2b2 1(a>0，b>0)，c22222則有 a e2 21，b2 ca 2 1 3，所以雙曲線的標準方程為2y212x3 1.因為點 P在雙曲線的右支上， 則由雙曲線的定義， 可得 |PF|PF |2a 2，又 |PF2| 4，所以 |PF1|6.因為坐標原點O 為 F1F2 的中點， M 為PF2 的中點1所以 |MO |2|PF1| 3.答案 Ax2y26(2014 ·重慶卷 )設 F1，F2 分別為雙曲線 a2b21(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲

6、線上存在一點P，使得 |PF1 2 ，129|PF |3b|PF| ·|PF|4ab，則該雙曲線的離心率為()45A.3B3C9D34解析不妨設 P 為雙曲線右支上一點， |PF1 1，2 2 ，根據雙曲線的| r|PF | r定義，得 r 1r 2 2a，1213b 2a23b 2a1293b2a 3b2a又 r r 3b，故 r2，r2.又 r·r4ab，所以2· 29b4ca2b2b 24 24ab，解得 a3(負值舍去 )，故 eaa2a 13 153，故選 B.答案B·山東卷 拋物線1：y1 2的焦點與雙曲線2：x22的右焦C2px (p>

7、;0)3y 17 (2013)C點的連線交 C1 于第一象限的點 M .若 C1 在點 M 處的切線平行于 C2 的一條漸近線，則 p()33A. 16B 82343C 3D 31 22p解析拋物線 C1： y2px的標準方程為 x 2py，其焦點為 F 0，2；雙曲x2231線 C2：3 y 1的右焦點 F 為(2,0)，其漸近線方程為 y ±3 x.由 y px，1333 p所以 px 3，得 x 3 p，所以點 M 的坐標為3 p，6 .由點 F，F ，M 三4 3點共線可求 p 3 .答案二、填空題Dx2y28(2013 ·陜西卷 )雙曲線 16 m1(m>0

8、)的離心率為54，則m 等于 _由題意得 c 16m，所以16m 5解析44，解得 m9.答案9x2y29(2014 ·遼寧卷 )已知橢圓 C：94 1，點 M 與 C 的焦點不重合，若 M 關于 C 的焦點的對稱點分別為 A，B，線段 MN 的中點在 C 上，則 |AN|BN|_.x2y2解析橢圓 94 1 中， a3.如圖，設 MN 的中點為 D，則 |DF 1| |DF 2| 2a6.D，F1，F2 分別為 MN，AM，BM 的中點，|BN| 2|DF 2|， |AN|2|DF 1|，|AN| |BN|2(|DF1|DF2 |)12.答案1210(2014 ·合肥二模

9、 )設拋物線 y28x 的焦點為 F，準線為 l ，P 為拋物線上一點，PAl ，A 為垂足，如果 AF 的斜率為3，那么 |PF| _.解析拋物線的焦點為F(2,0)，準線為 x 2，因為 PA準線l，設 P(m，n)，則 A( 2，n)，因為 AF 的斜率為 3，所以n3，得 n4 3，點22P 在拋物線上，所以8m(4 3)2 48，m 6.因此 P(6,43)，|PF|PA| |6(2)|8.答案 8x2y211(2013 ·福建卷 )橢圓 T：a2b2 1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1， F2，焦距為 2c.若直線 y 3(xc)與橢圓 T 的一個交點 M

10、 滿足 MF1 F22MF 2F1，則該橢圓的離心率等于 _解析 直線 y 3(xc)過點 F1，且傾斜角為 60°，所以MF 1F2 60°，從而MF 2 F1 30°，所以 MF 1MF 2，在 RtMF 1F2 中， |MF 1|c，|MF 2|3c，所2c2c以該橢圓的離心率e2ac3c 31.答案3112(2013 ·江卷浙 )設 F 為拋物線 C：y2 4x 的焦點，過點 P(1,0)的直線 l 交拋物線 C 于 A， B 兩點，點 Q 為線段 AB 的中點，若 |FQ| 2，則直線 l 的斜率等于 _解析設直線 l 的方程為 yk(x 1)

11、，A(x1 ， 1，2 ， 2，Q(x0， 0y )B(x y )y )yk x1 ，由y24x，得： k2x2 (2k24)xk20，42k2則 x1 x2 k2 ，4y1y2k(x1 x22) k，2 k22故 x0 k2，y0k.由 x01 2 y0 0 22，22k222 2 k 4.得k2所以 k±1.答案±1三、解答題13已知過拋物線y22px(p0)的焦點，斜率為 22的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點，且 |AB|9.(1)求該拋物線的方程；(2)O 為坐標原點， C 為拋物線上一點，若 OCOAOB，求 的值解 (1)直線

12、AB 的方程是 y2 2 x p2 ，與 y22px 聯立，從而有 4x2 5pxp20，所以 x1 x25p4，5p由拋物線定義，得 |AB|x1x2p 4 p 9，所以 p 4，從而拋物線方程為y2 8x.(2)由于 p4,4x25pxp2 0 可簡化為 x25x40，從而 x1 1，x2 4，y1 2 2，y2 4 2，即 A(1， 2 2)， B(4,4 2)；設 C(x3 ，y3)，則 OC(x3， y3 )(1， 2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)，又 y23 8x3，即2 2(2 1)28(41)，即(21)2 41，解得 0 或 2.14設拋物線 C：y2 4x，F

13、為 C 的焦點，過 F 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點(1)設 l 的斜率為 1，求 |AB|的大??；(2)求證： OA·OB是一個定值(1)解由題意可知拋物線的焦點F 為(1,0)，準線方程為 x 1，直線 l 的方程為 yx1，設 A(x1， y1 )， B(x2，y2)，yx1，由 y24x得 x2 6x10，x1x2 6，由直線 l 過焦點，則 |AB| |AF|BF| x1 x228.(2)證明設直線 l 的方程為 xky1，xky1，由 y24x得 y2 4ky 4 0. y1y2 4k，y1y2 4， (x1，y1，(x2，y2OA)OB)OA·OB

14、x1x2y1y2 (ky11)(ky2 1)y1y2 k2y1y2k(y1 y2)1y1y2 4k24k214 3.OA·OB是一個定值x2y215在平面直角坐標系xOy 中，已知橢圓 C1：a2b21(a>b>0)的左焦點為 F1 (1,0)，且點 P(0，1)在 C1 上(1)求橢圓 C1 的方程；(2)設直線 l 同時與橢圓 C1 和拋物線 C2： y24x 相切，求直線 l 的方程解 (1)因為橢圓 C1 的左焦點為 F1( 1,0)，所以 c1.x2y2將點 P(0,1)代入橢圓方程 a2b2 1，1得b21，即 b1.所以 a2b2c2 2.2所以橢圓 C1 的方程為 x2 y2 1.(2)由題意可知，直線 l 的斜率顯然存在且不等于 0，設直線 l 的方程