1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小小量詞 全無(wú)煩惱-談含雙量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題中參數(shù)范圍的求解 安徽省樅陽(yáng)縣會(huì)宮中學(xué) 朱賢良E-MAIL:zxl.ah我們知道，含量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅考查到邏輯推理知識(shí)，還涉及到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和重要的數(shù)學(xué)思想方法.而求解含兩個(gè)量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題比求解單量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題更為復(fù)雜，是考查考生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握理解水平與數(shù)學(xué)思維能力的一種重要題型，在高考與競(jìng)賽中屢見(jiàn)不鮮.本文擬在對(duì)含單個(gè)量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題理解的基礎(chǔ)上，以含兩個(gè)量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題為研究對(duì)象，歸納總結(jié)出含雙量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題中參數(shù)范圍的求解方法.筆者將含有兩個(gè)量詞的數(shù)學(xué)命題歸結(jié)為三種類型：含雙全稱量詞的“任意-任意”型、含一個(gè)全稱量詞與

2、一個(gè)存在量詞的“任意-存在”型、含雙存在量詞的“存在-存在”型.現(xiàn)將對(duì)這三種類型數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解及參數(shù)范圍的求法分述如下：1 “任意-任意”型這類問(wèn)題的表現(xiàn)形式為：，不等式成立.例1（2008天津）已知函數(shù)，其中.若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.思路一：先看成關(guān)于的不等式恒成立，再看成關(guān)于的不等式恒成立,逐步確定主元由題知當(dāng)時(shí)，令，解得列表：00極大值極小值故在上的最大值為與的較大者.由題意,對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng),即，即對(duì)任意的成立從而得，所以滿足條件的的取值范圍是思路二：分離雙主元與，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)獨(dú)立函數(shù)的最值大小問(wèn)題，一步到位由題意, 任意的，不等式在上恒成立

3、 即總結(jié)：求解多元變量的不等式恒成立問(wèn)題，通常可以利用逐步確定主元的策略在本例中，涉及到的變量有三個(gè)，固定與，先解決關(guān)于的不等式恒成立問(wèn)題，進(jìn)而求解關(guān)于的不等式恒成立問(wèn)題，是為思路一一般地，若雙主元易于分離，可分離之，則問(wèn)題演變?yōu)椤啊保葍r(jià)于“時(shí)，”，從而實(shí)現(xiàn)一步到位，是為思路二2 “任意-存在”型這類問(wèn)題的表現(xiàn)形式有二：，等式成立；，不等式成立.例2（1）已知；設(shè)，若對(duì)任意，總存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）（2010山東）已知函數(shù).()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.解析：（1），時(shí)，函數(shù)值域是值域的子集.先求函數(shù)的值域：時(shí)，其值域?yàn)椋辉偾蠛瘮?shù)的值域：當(dāng)

4、時(shí)，在上遞增，其值域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上遞減，其值域?yàn)? 題意等價(jià)于或.（2）第()問(wèn)答案為：當(dāng)時(shí)，在減，增； 當(dāng)時(shí)，在減，增，減；當(dāng)時(shí)，在減.第（）問(wèn)中，使 ，時(shí)，.由（）知，時(shí)，.又， 當(dāng)時(shí)，故； 當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，故.綜上，.總結(jié)：這兩題中，都是主元，這種“任意-存在”型問(wèn)題的常見(jiàn)題型及具體轉(zhuǎn)化策略為：；.讀者可以小試下例：例3（1）（2008天津）設(shè)，若對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的取值的集合為（ ）ABCD（答案:由題意,） （2）設(shè)，若對(duì)于滿足,這時(shí)的取值范圍為 .（答案:由題意,，即）3 “存在-存在”型這類問(wèn)題的表現(xiàn)形式也有兩種：，等式成立；，不等式成立.例4（1）若實(shí)數(shù)，存在滿足

5、方程，這時(shí)的取值范圍為 .（2）若實(shí)數(shù)，存在滿足不等式，這時(shí)的取值范圍為 .解析:（1）記函數(shù)，.則題意中， 時(shí)，函數(shù)值域與值域的交集非空.即或， 即或.（2）題意中， 時(shí)，函數(shù).即或.總結(jié)：本例中這種雙主元的“存在-存在”型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化策略可總結(jié)為：；.通過(guò)對(duì)以上四例的求解與總結(jié)，我們可以感悟到在求解含雙量詞數(shù)學(xué)問(wèn)題中參數(shù)范圍時(shí)，關(guān)鍵要根據(jù)兩個(gè)量詞的性質(zhì)和問(wèn)題中等式、不等式的特征，借助函數(shù)、方程及邏輯等方面知識(shí)將問(wèn)題靈活準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化.這種轉(zhuǎn)化包括將含雙量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性、最值與值域問(wèn)題，以及將含雙量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題分兩步轉(zhuǎn)化為只含單量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題.數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)最有效的載體，通過(guò)對(duì)含雙量詞的數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，不僅能有效地提高我們對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)與函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，更能深層次地提升我們的數(shù)學(xué)思維能力，特別是邏輯推理能力.從這個(gè)意義上說(shuō)，小小量詞，全無(wú)煩惱；若不止于此，或許還能引領(lǐng)我們邁向更高更美妙的數(shù)學(xué)境界.作者概況：朱賢良，男，1981年12月生，安徽樅陽(yáng)人中學(xué)一級(jí)教師，任教于安徽省級(jí)示范高中樅陽(yáng)縣會(huì)宮中學(xué)主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究、高考試題研究與